Toạ độ của vectơ (Lý thuyết Toán lớp 10) - Chân trời sáng tạo
Với tóm tắt lý thuyết Toán 10 Bài 1: Toạ độ của vectơ sách Chân trời sáng tạo hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh nắm vững kiến thức trọng tâm, ôn luyện để học tốt môn Toán 10.
Toạ độ của vectơ (Lý thuyết Toán lớp 10) - Chân trời sáng tạo
Lý thuyết Toạ độ của vectơ
1. Tọa độ của vectơ đối với một hệ trục tọa độ
1.1. Trục tọa độ
Trục tọa độ (gọi tắt là trục) là một đường thẳng trên đó đã xác định một điểm O (gọi là điểm gốc) và một vectơ có độ dài bằng 1 gọi là vectơ đơn vị của trục.
Ta kí hiệu trục đó là .
1.2. Hệ trục tọa độ
Hệ trục tọa độgồm hai trục và vuông góc với nhau. Điểm gốc O chung của hai trục gọi là gốc tọa độ. Trục được gọi là trục hoành và kí hiệu là Ox, trục được gọi là trục tung và kí hiệu là Oy. Các vectơ và là các vectơ đơn vị trên Ox và Oy. Hệ trục tọa độ còn được kí hiệu là Oxy.
Chú ý: Mặt phẳng mà trên đó đã cho một hệ trục tọa độ Oxy được gọi là mặt phẳng tọa độ Oxy, hay gọi tắt là mặt phẳng Oxy.
1.3. Tọa độ của một vectơ
Trong mặt phẳng Oxy, cặp số (x; y) trong biểu diễn được gọi là tọa độ của vectơ , kí hiệu , x gọi là hoành độ, y gọi là tung độ của vectơ .
Ví dụ:
+) Cho .
Ta có cặp số (3; 2) là tọa độ của vectơ .
Ta kí hiệu là .
Trong đó 3 là hoành độ của vectơ và 2 là tung độ của vectơ .
+) Cho .
Ta có cặp số (0; –5) là tọa độ của vectơ .
Ta kí hiệu là .
Trong đó 0 là hoành độ của vectơ và –5 là tung độ của vectơ .
Chú ý:
• .
Ví dụ:
+) Ta có .
Nghĩa là, .
1.4. Tọa độ của một điểm
Trong mặt phẳng tọa độ, cho một điểm M tùy ý. Tọa độ của vectơ được gọi là tọa độ của điểm M.
Nhận xét:
• Nếu thì cặp số (x; y) là tọa độ của điểm M, kí hiệu M(x; y), x gọi là hoành độ, y gọi là tung độ của điểm M.
• M(x; y) .
Ví dụ:
+) Nếu thì cặp số (–3; 8) là tọa độ của điểm M.
Ta kí hiệu là M(–3; 8).
Trong đó –3 là hoành độ của điểm M và 8 là tung độ của điểm M.
+) Cho điểm M(4; 9) .
Chú ý: Hoành độ của điểm M còn được kí hiệu là xM, tung độ của điểm M còn được kí hiệu là yM. Khi đó ta viết M(xM; yM).
Ví dụ: Trong mặt phẳng Oxy, cho ba điểm M, N, P được biểu diễn như hình bên.
a) Hãy biểu diễn các vectơ qua hai vectơ và .
b) Tìm tọa độ của các vectơ và các điểm M, N, P.
Hướng dẫn giải
a) Ta có:
b) Từ kết quả ở câu a), ta có:
2. Biểu thức tọa độ của các phép toán vectơ
Cho hai vectơ và số thực k. Khi đó:
Ví dụ: Cho hai vectơ.
a) Tìm tọa độ của các vectơ
b) Tính các tích vô hướng
Hướng dẫn giải
a) Với ta có:
b) Với ta có:
+) ;
+) Từ kết quả câu a), ta có và .
Ta suy ra và .
Khi đó ta có .
Vậy và .
3. Áp dụng của tọa độ vectơ
3.1. Liên hệ giữa tọa độ của điểm và tọa độ của vectơ trong mặt phẳng
Cho hai điểm A(xA; yA), B(xB; yB). Ta có: .
Ví dụ: Cho ba điểm A(2; 5), B(–1; 1), C(5; –7). Tìm tọa độ của các vectơ .
Hướng dẫn giải
Với A(2; 5), B(–1; 1), C(5; –7) ta có:
3.2. Tọa độ trung điểm của đoạn thẳng và trọng tâm của tam giác
Cho hai điểm A(xA; yA) và B(xB; yB). Tọa độ trung điểm M(xM; yM) của đoạn thẳng AB là:
.
Cho ∆ABC có A(xA; yA), B(xB; yB), C(xC; yC). Tọa độ trọng tâm G(xG; yG) của tam giác ABC là:
.
Ví dụ: Cho ∆DEF có tọa độ các đỉnh là D(3; 1), E(5; 8), F(9; 4).
a) Tìm tọa độ trung điểm H của cạnh EF.
b) Tìm tọa độ trọng tâm G của ∆DEF.
Hướng dẫn giải
a) Với E(5; 8), F(9; 4):
Vì H là trung điểm của cạnh EF.
Vậy H(7; 6).
b) Với D(3; 1), E(5; 8), F(9; 4):
Vì G là trọng tâm của ∆DEF.
Vậy .
3.3. Ứng dụng biểu thức tọa độ của các phép toán vectơ
Cho hai vectơ và hai điểm A(xA; yA), B(xB; yB). Ta có:
• ;
• và cùng phương ⇔ a1b2 – a2b1 = 0;
• ;
• ;
• ( ,khác ).
Ví dụ: Trong mặt phẳng Oxy, cho ∆MNP có M(2; 1), N(–3; –2), P(7; –8).
a) Tìm tọa độ H là chân đường cao của ∆MNP kẻ từ N.
b) Giải tam giác MNP.
Hướng dẫn giải
a) Với M(2; 1), N(–3; –2), P(7; –8).
Gọi H(x; y).
Ta có:
Vì H(x; y) là chân đường cao của ∆MNP kẻ từ N nên ta có NH ⊥ MP.
Do đó .
⇔ (x + 3).5 + (y + 2).( –9) = 0.
⇔ 5x – 9y – 3 = 0(1).
Ta thấy hai vectơ cùng phương
⇔ (x – 2).( –9) – (y – 1).5 = 0.
⇔ –9x – 5y + 23 = 0(2).
Từ (1), (2), ta có hệ phương trình:
Vậy .
b) Với M(2; 1), N(–3; –2), P(7; –8) ta có:
+) và
.
+) .
.
+) .
.
+) .
Suy ra .
+) .
Suy ra .
+) Ta có (định lí tổng ba góc của một tam giác).
.
Vậy
Bài tập Toạ độ của vectơ
Bài 1. Trong mặt phẳng Oxy, cho .
a) Tìm tọa độ các vectơ .
b) Tìm tọa độ của , với
c) Tìm tọa độ của , với .
d) Tìm các số thực h, k sao cho <![if !vml]><![endif]>.
Hướng dẫn giải
a) Ta có:
b) Ta có:
c) Ta có .
d) Ta có:
Vậy thỏa yêu cầu bài toán.
Bài 2. Trong mặt phẳng Oxy, cho ∆ABC biết A(–3; 2), B(4; 3) và điểm C nằm trên trục Ox.
a) Tìm tọa độ trọng tâm G của ∆ABC và điểm C, biết G nằm trên trục Oy.
b) Giải ∆ABC.
c) Tìm tọa độ trực tâm H của ∆ABC.
Hướng dẫn giải
a) Vì C nằm trên trục Ox nên ta có tọa độ C(xC; 0).
Vì G nằm trên trục Oy nên ta có tọa độ G(0; yG).
Ta có G là trọng tâm của ∆ABC.
Ta suy ra
Vậy .
b) Với A(–3; 2), B(4; 3), C(–1; 0) ta có:
+)
Suy ra
+)
Do đó .
Suy ra .
+) Ta có (định lí tổng ba góc của một tam giác).
.
Vậy
.
c)
Gọi H(x; y).
=> và .
Ta có H(x; y) là trực tâm của ∆ABC.
Suy ra
Khi đó ta có
Vậy .
Bài 3. Trong mặt phẳng Oxy, cho ba vectơ. Tìm m để cùng phương với .
Hướng dẫn giải
Ta có .
Ta suy ra .
Ta có cùng phương với ⇔ (m – 3).5 – (2m + 1).6 = 0.
⇔ –7m – 21 = 0
⇔ m = –3.
Vậy m = –3 thỏa yêu cầu bài toán.
Học tốt Toạ độ của vectơ
Các bài học để học tốt Toạ độ của vectơ Toán lớp 10 hay khác:
Xem thêm tóm tắt lý thuyết Toán lớp 10 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác:
- Lý thuyết Toán 10 Bài 2: Đường thẳng trong mặt phẳng toạ độ
- Lý thuyết Toán 10 Bài 3: Đường tròn trong mặt phẳng toạ độ
- Lý thuyết Toán 10 Bài 4: Ba đường conic trong mặt phẳng toạ độ
- Tổng hợp lý thuyết Toán 10 Chương 9
- Lý thuyết Toán 10 Bài 1: Không gian mẫu và biến cố
Xem thêm các tài liệu học tốt lớp 10 hay khác:
- Giải sgk Toán 10 Chân trời sáng tạo
- Giải Chuyên đề học tập Toán 10 Chân trời sáng tạo
- Giải SBT Toán 10 Chân trời sáng tạo
- Giải lớp 10 Chân trời sáng tạo (các môn học)
- Giải lớp 10 Kết nối tri thức (các môn học)
- Giải lớp 10 Cánh diều (các môn học)
Tủ sách VIETJACK shopee lớp 10-11 cho học sinh và giáo viên (cả 3 bộ sách):
Đã có app VietJack trên điện thoại, giải bài tập SGK, SBT Soạn văn, Văn mẫu, Thi online, Bài giảng....miễn phí. Tải ngay ứng dụng trên Android và iOS.
Theo dõi chúng tôi miễn phí trên mạng xã hội facebook và youtube:Nếu thấy hay, hãy động viên và chia sẻ nhé! Các bình luận không phù hợp với nội quy bình luận trang web sẽ bị cấm bình luận vĩnh viễn.
- Soạn văn 10 (hay nhất) - CTST
- Soạn văn 10 (ngắn nhất) - CTST
- Soạn văn 10 (siêu ngắn) - CTST
- Giải Toán 10 - CTST
- Giải Tiếng Anh 10 Global Success
- Giải Tiếng Anh 10 Friends Global
- Giải sgk Tiếng Anh 10 iLearn Smart World
- Giải sgk Tiếng Anh 10 Explore New Worlds
- Giải sgk Vật lí 10 - CTST
- Giải sgk Hóa học 10 - CTST
- Giải sgk Sinh học 10 - CTST
- Giải sgk Địa lí 10 - CTST
- Giải sgk Lịch sử 10 - CTST
- Giải sgk Kinh tế và Pháp luật 10 - CTST
- Giải sgk Hoạt động trải nghiệm 10 - CTST