Đường tròn trong mặt phẳng toạ độ (Lý thuyết Toán lớp 10) - Chân trời sáng tạo
Với tóm tắt lý thuyết Toán 10 Bài 3: Đường tròn trong mặt phẳng toạ độ sách Chân trời sáng tạo hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh nắm vững kiến thức trọng tâm, ôn luyện để học tốt môn Toán 10.
Đường tròn trong mặt phẳng toạ độ (Lý thuyết Toán lớp 10) - Chân trời sáng tạo
Lý thuyết Đường tròn trong mặt phẳng toạ độ
1. Phương trình đường tròn
Trong mặt phẳng Oxy, cho đường tròn (C) tâm I(a; b), bán kính R.
Phương trình (x – a)2 + (y – b)2 = R2 được gọi là phương trình đường tròn tâm I(a; b), bán kính R.
Ví dụ: Viết phương trình đường tròn (C) trong các trường hợp sau:
a) (C) có tâm I(2; –3), bán kính R = 2.
b) (C) có đường kính AB với A(1; 6), B(–3; 2).
c) (C) đi qua ba điểm A(–2; 4), B(5; 5), C(6; –2).
Hướng dẫn giải
a) Đường tròn (C) có tâm I(2; –3), bán kính R = 2.
Vậy phương trình đường tròn (C): (x – 2)2 +(y + 3)2 = 4.
b) Gọi I(a; b) là tâm của đường tròn (C).
Vì đường tròn (C) có tâm I(a; b) và đường kính AB nên I là trung điểm AB.
Với A(1; 6), B(–3; 2).
Khi đó ta có tọa độ I(–1; 4).
Ta có .
Suy ra .
Đường tròn (C) có tâm I(–1; 4), bán kính .
Vậy phương trình đường tròn (C): (x + 1)2 + (y – 4)2 = 8.
c) Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, AC.
Ta có M là trung điểm AB với A(–2; 4), B(5; 5).
Khi đó ta có .
Tương tự, ta có N(2; 1).
Với A(–2; 4), B(5; 5), C(6; –2) ta có .
Đường trung trực d1 của đoạn thẳng AB đi qua điểm <![if !vml]><![endif]>, có vectơ pháp tuyến .
Suy ra phương trình d1: .
Tương tự, ta có phương trình đường trung trực d2 của đoạn thẳng AC:
8(x – 2) – 6(y – 1) = 0 ⇔ 4x – 3y – 5 = 0.
Vì đường tròn (C) có tâm I(a; b) và (C) đi qua ba điểm A, B, C nên IA = IB = IC (= R).
Vì IA = IB nên I nằm trên đường trung trực d1 của đoạn thẳng AB.
Tương tự, ta có I nằm trên đường trung trực d2 của đoạn thẳng AC.
Vì vậy ta suy ra I là giao điểm của d1 và d2.
Khi đó tọa độ điểm I là nghiệm của hệ phương trình:
Suy ra I(2; 1).
Với I(2; 1) và A(–2; 4) ta có .
Suy ra .
Vậy phương trình đường tròn (C): (x – 2)2 + (y – 1)2 = 25.
Ví dụ: Tìm tâm và bán kính của đường tròn (C) có phương trình trong mỗi trường hợp sau:
a) (x – 4)2 + (y – 10)2 = 9.
b) (x + 2)2 + (y – 5)2 = 64.
c) x2 + (y – 1)2 = 36.
Hướng dẫn giải
a) (x – 4)2 + (y – 10)2 = 9
Đường tròn (C) có tâm I(4; 10), bán kính .
b) (x + 2)2 + (y – 5)2 = 64
Đường tròn (C) có tâm I(–2; 5), bán kính .
c) x2 + (y – 1)2 = 36.
Đường tròn (C) có tâm I(0; 1), bán kính .
Nhận xét: Ta có (x – a)2 + (y – b)2 = R2
⇔ x2 + y2 – 2ax – 2by + (a2 + b2 – R2) = 0.
Vậy phương trình đường tròn (x – a)2 + (y – b)2 = R2 có thể được viết dưới dạng x2 + y2 – 2ax – 2by + c = 0, trong đó c = a2 + b2 – R2.
Ngược lại, phương trình x2 + y2 – 2ax – 2by + c = 0 là phương trình của đường tròn (C) khi và chỉ khi a2 + b2 – c > 0. Khi đó đường tròn (C) có tâm I(a; b) và bán kính .
Ví dụ: Phương trình nào trong các phương trình sau đây là phương trình đường tròn? Nếu là phương trình đường tròn, hãy tìm tọa độ tâm và bán kính của đường tròn đó.
a) x2 + y2 + 2x – 6y – 15 = 0.
b) 2x2 + 2y2 + 4x + 8y + 14 = 0.
Hướng dẫn giải
a) Phương trình đã cho có dạng: x2 + y2 – 2ax – 2by + c = 0, với a = –1, b = 3, c = –15.
Ta có a2 + b2 – c = 1 + 9 + 15 = 25 > 0.
Vậy phương trình đã cho là phương trình đường tròn có tâm I(–1; 3), bán kính R = 5.
b) Ta có 2x2 + 2y2 + 4x + 8y + 14 = 0 ⇔ x2 + y2 + 2x + 4y + 7 = 0.
Phương trình trên có dạng x2 + y2 – 2ax – 2by + c = 0, với a = –1, b = –2, c = 7.
Ta có a2 + b2 – c = 1 + 4 – 7 = –2 < 0.
Vậy phương trình đã cho không phải là phương trình đường tròn.
2. Phương trình tiếp tuyến của đường tròn
Phương trình tiếp tuyến của đường tròn tâm I(a; b) tại điểm M0(x0; y0) nằm trên đường tròn là:
(a – x0)(x – x0) + (b – y0)(y – y0) = 0.
Ví dụ: Viết phương trình tiếp tuyến d của đường tròn (C): (x – 2)2 + (y + 3)2 = 5 tại điểm M(3; –1).
Hướng dẫn giải
Ta có (3 – 2)2 + (–1 + 3)2 = 5.
Suy ra M ∈ (C).
Đường tròn (C) có tâm I(2; –3).
Phương trình tiếp tuyến d của đường tròn (C) tại điểm M(3; –1) là:
(2 – 3)(x – 3) + [–3 – (–1)].[y – (–1)] = 0.
⇔ –1.(x – 3) + (–2).(y + 1) = 0.
⇔ –x – 2y + 1 = 0.
Vậy phương trình tiếp tuyến d của đường tròn (C) cần tìm là –x – 2y + 1 = 0.
Bài tập Đường tròn trong mặt phẳng toạ độ
Bài 1. Lập phương trình đường tròn (C) trong các trường hợp sau:
a) (C) đi qua ba điểm A(–1; 3), B(1; 4), C(3; 2).
b) (C) có tâm I(–1; 2) và tiếp xúc với đường thẳng ∆: x – 2y + 7 = 0.
c) (C) có tâm thuộc đường thẳng d: 2x – y – 5 = 0 và đi qua hai điểm A(1; 2), B(4; 1).
Hướng dẫn giải
a) Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, AC.
Ta có M là trung điểm AB với A(–1; 3), B(1; 4).
Khi đó ta có .
Tương tự, ta có .
Với A(–1; 3), B(1; 4), C(3; 2) ta có .
Đường trung trực d1 của đoạn thẳng AB đi qua điểm , có vectơ pháp tuyến .
Suy ra phương trình d1: .
Tương tự, ta có phương trình đường trung trực d2 của đoạn thẳng AC:
.
Vì đường tròn (C) có tâm I(a; b) và (C) đi qua ba điểm A, B, C nên IA = IB = IC (= R).
Vì IA = IB nên I nằm trên đường trung trực d1 của đoạn thẳng AB.
Tương tự, ta có I nằm trên đường trung trực d2 của đoạn thẳng AC.
Vì vậy I là giao điểm của d1 và d2.
Khi đó tọa độ điểm I là nghiệm của hệ phương trình:
Suy ra .
Với và A(–1; 3) ta có .
Suy ra .
Vậy phương trình đường tròn (C): .
b) (C) có tâm I(–1; 2) và tiếp xúc với đường thẳng ∆: x – 2y + 7 = 0.
Vì (C) tiếp xúc với đường thẳng ∆ nên ta có:
Vậy phương trình đường tròn (C): .
c) (C) có tâm thuộc đường thẳng d: 2x – y – 5 = 0 và đi qua hai điểm A(1; 2), B(4; 1).
Phương trình đường thẳng d: 2x – y – 5 = 0 ⇔ y = 2x – 5.
Giả sử I(a; b).
Vì I ∈ d nên ta có I(a; 2a – 5).
Với A(1; 2), B(4; 1) và I(a; 2a – 5) ta có:
.
Vì đường tròn (C) đi qua hai điểm A(1; 2), B(4; 1).
Ta suy ra AI = BI (= R).
⇔ AI2 = BI2.
⇔ (a – 1)2 + (2a – 7)2 = (a – 4)2 + (2a – 6)2
⇔ a2 – 2a + 1 + 4a2 – 28a + 49 = a2 – 8a + 16 + 4a2 – 24a + 36
⇔ 2a = 2.
⇔ a = 1.
Với a = 1, ta có b = 2a – 5 = 2.1 – 5 = –3.
Suy ra I(1; –3), bán kính R = AI = = 5.
Vậy phương trình đường tròn (C): (x – 1)2 + (y + 3)2 = 25.
Bài 2. Phương trình nào trong các phương trình sau đây là phương trình đường tròn? Nếu là phương trình đường tròn, hãy tìm tâm và bán kính của đường tròn đó.
a) x2 + y2 + 2x – 4y + 9 = 0.
b) x2 + y2 – 6x + 4y + 13 = 0.
c) 2x2 + 2y2 – 6x – 4y – 1 = 0.
d) 2x2 + y2 + 2x – 3y + 9 = 0.
Hướng dẫn giải
a) Phương trình đã cho có dạng: x2 + y2 – 2ax – 2by + c = 0, với a = –1, b = 2, c = 9.
Ta có a2 + b2 – c = 1 + 4 – 9 = –4 < 0.
Vì vậy phương trình đã cho không phải là phương trình đường tròn.
b) Phương trình đã cho có dạng: x2 + y2 – 2ax – 2by + c = 0, với a = 3, b = –2, c = 13.
Ta có a2 + b2 – c = 9 + 4 – 13 = 0.
Vì vậy phương trình đã cho không phải là phương trình đường tròn.
c) Ta có 2x2 + 2y2 – 6x – 4y – 1 = 0.
.
Phương trình trên có dạng: x2 + y2 – 2ax – 2by + c = 0, với
Vì vậy phương trình đã cho là phương trình đường tròn.
Đường tròn có tâm , bán kính .
d) Phương trình đã cho không có dạng: x2 + y2 – 2ax – 2by + c = 0.
Vậy phương trình đã cho không phải là phương trình đường tròn.
Bài 3. Lập phương trình tiếp tuyến d của đường tròn (C) trong các trường hợp sau:
a) (C): x2 + y2 – 2x = 0 tại điểm M(1; 1).
b) (C): x2 + y2 – 2x + 4y + 4 = 0, biết rằng tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng ∆: x + 2y + 5 = 0.
Hướng dẫn giải
a) Phương trình (C) có dạng: x2 + y2 – 2ax – 2by + c = 0, với a = 1, b = c = 0.
Ta có a2 + b2 – c = 1 + 0 – 0 = 1 > 0.
Vì vậy phương trình (C) đã cho là phương trình đường tròn.
Đường tròn (C) có tâm I(1; 0).
Ta có 12 + 12 – 2.1 = 0.
Suy ra M ∈ (C).
Phương trình tiếp tuyến d của đường tròn (C) tại điểm M(3; –1) là:
(1 – 3)(x – 3) + (0 + 1).(y + 1) = 0.
⇔ –2.(x – 3) + y – 1 = 0.
⇔ –2x + y + 5 = 0.
Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là –2x + y + 5 = 0.
b) Phương trình (C) có dạng: x2 + y2 – 2ax – 2by + c = 0, với a = 1, b = –2, c = 4.
Ta có a2 + b2 – c = 1 + 4 – 4 = 1 > 0.
Vì vậy phương trình (C) đã cho là phương trình đường tròn.
Đường tròn (C) có tâm I(1; –2), bán kính R = 1.
Gọi d là tiếp tuyến cần tìm.
Gọi kd là hệ số góc của d.
Phương trình ∆: x + 2y + 5 = 0 .
Suy ra ∆ có hệ số góc .
Ta có d ⊥ ∆.
Suy ra kd.k∆ = –1.
.
⇔ kd = 2.
Khi đó phương trình d có dạng: y = 2x + m hay 2x – y + m = 0.
Ta có d là tiếp tuyến của đường tròn (C).
Ta suy ra d(I, d) = R.
Vậy có 2 tiếp tuyến d thỏa yêu cầu bài toán có phương trình là và .
Học tốt Đường tròn trong mặt phẳng toạ độ
Các bài học để học tốt Đường tròn trong mặt phẳng toạ độ Toán lớp 10 hay khác:
Xem thêm tóm tắt lý thuyết Toán lớp 10 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác:
- Lý thuyết Toán 10 Bài 4: Ba đường conic trong mặt phẳng toạ độ
- Tổng hợp lý thuyết Toán 10 Chương 9
- Lý thuyết Toán 10 Bài 1: Không gian mẫu và biến cố
- Lý thuyết Toán 10 Bài 2: Xác suất của biến cố
- Tổng hợp lý thuyết Toán 10 Chương 10
Xem thêm các tài liệu học tốt lớp 10 hay khác:
- Giải sgk Toán 10 Chân trời sáng tạo
- Giải Chuyên đề học tập Toán 10 Chân trời sáng tạo
- Giải SBT Toán 10 Chân trời sáng tạo
- Giải lớp 10 Chân trời sáng tạo (các môn học)
- Giải lớp 10 Kết nối tri thức (các môn học)
- Giải lớp 10 Cánh diều (các môn học)
Tủ sách VIETJACK shopee lớp 10-11 cho học sinh và giáo viên (cả 3 bộ sách):
Đã có app VietJack trên điện thoại, giải bài tập SGK, SBT Soạn văn, Văn mẫu, Thi online, Bài giảng....miễn phí. Tải ngay ứng dụng trên Android và iOS.
Theo dõi chúng tôi miễn phí trên mạng xã hội facebook và youtube:Nếu thấy hay, hãy động viên và chia sẻ nhé! Các bình luận không phù hợp với nội quy bình luận trang web sẽ bị cấm bình luận vĩnh viễn.
- Soạn văn 10 (hay nhất) - CTST
- Soạn văn 10 (ngắn nhất) - CTST
- Soạn văn 10 (siêu ngắn) - CTST
- Giải Toán 10 - CTST
- Giải Tiếng Anh 10 Global Success
- Giải Tiếng Anh 10 Friends Global
- Giải sgk Tiếng Anh 10 iLearn Smart World
- Giải sgk Tiếng Anh 10 Explore New Worlds
- Giải sgk Vật lí 10 - CTST
- Giải sgk Hóa học 10 - CTST
- Giải sgk Sinh học 10 - CTST
- Giải sgk Địa lí 10 - CTST
- Giải sgk Lịch sử 10 - CTST
- Giải sgk Kinh tế và Pháp luật 10 - CTST
- Giải sgk Hoạt động trải nghiệm 10 - CTST