Đường tròn trong mặt phẳng toạ độ (Lý thuyết Toán lớp 10) - Chân trời sáng tạo

Với tóm tắt lý thuyết Toán 10 Bài 3: Đường tròn trong mặt phẳng toạ độ sách Chân trời sáng tạo hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh nắm vững kiến thức trọng tâm, ôn luyện để học tốt môn Toán 10.

Đường tròn trong mặt phẳng toạ độ (Lý thuyết Toán lớp 10) - Chân trời sáng tạo

Lý thuyết Đường tròn trong mặt phẳng toạ độ

1. Phương trình đường tròn

Quảng cáo

Trong mặt phẳng Oxy, cho đường tròn (C) tâm I(a; b), bán kính R.

Đường tròn trong mặt phẳng toạ độ (Lý thuyết Toán lớp 10) | Chân trời sáng tạo

Phương trình (x – a)2 + (y – b)2 = R2 được gọi là phương trình đường tròn tâm I(a; b), bán kính R.

Ví dụ: Viết phương trình đường tròn (C) trong các trường hợp sau:

a) (C) có tâm I(2; –3), bán kính R = 2.

b) (C) có đường kính AB với A(1; 6), B(–3; 2).

c) (C) đi qua ba điểm A(–2; 4), B(5; 5), C(6; –2).

Quảng cáo


Hướng dẫn giải

a) Đường tròn (C) có tâm I(2; –3), bán kính R = 2.

Vậy phương trình đường tròn (C): (x – 2)2 +(y + 3)2 = 4.

b) Gọi I(a; b) là tâm của đường tròn (C).

Vì đường tròn (C) có tâm I(a; b) và đường kính AB nên I là trung điểm AB.

Với A(1; 6), B(–3; 2).

Đường tròn trong mặt phẳng toạ độ (Lý thuyết Toán lớp 10) | Chân trời sáng tạo

Khi đó ta có tọa độ I(–1; 4).

Ta có IA=2;2.

Quảng cáo

Suy ra R=IA=IA=22+22=22.

Đường tròn (C) có tâm I(–1; 4), bán kính 22.

Vậy phương trình đường tròn (C): (x + 1)2 + (y – 4)2 = 8.

c) Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, AC.

Đường tròn trong mặt phẳng toạ độ (Lý thuyết Toán lớp 10) | Chân trời sáng tạo

Ta có M là trung điểm AB với A(–2; 4), B(5; 5).

Đường tròn trong mặt phẳng toạ độ (Lý thuyết Toán lớp 10) | Chân trời sáng tạo

Quảng cáo

Khi đó ta có M32;92.

Tương tự, ta có N(2; 1).

Với A(–2; 4), B(5; 5), C(6; –2) ta có AB=7;1, AC=8;6.

Đường trung trực d1 của đoạn thẳng AB đi qua điểm <![if !vml]><![endif]>, có vectơ pháp tuyến AB=7;1.

Suy ra phương trình d1: 7x32+1y92=07x+y15=0.

Tương tự, ta có phương trình đường trung trực d2 của đoạn thẳng AC:

8(x – 2) – 6(y – 1) = 0 ⇔ 4x – 3y – 5 = 0.

Vì đường tròn (C) có tâm I(a; b) và (C) đi qua ba điểm A, B, C nên IA = IB = IC (= R).

Vì IA = IB nên I nằm trên đường trung trực d1 của đoạn thẳng AB.

Tương tự, ta có I nằm trên đường trung trực d2 của đoạn thẳng AC.

Vì vậy ta suy ra I là giao điểm của d1 và d2.

Khi đó tọa độ điểm I là nghiệm của hệ phương trình:

Đường tròn trong mặt phẳng toạ độ (Lý thuyết Toán lớp 10) | Chân trời sáng tạo

Suy ra I(2; 1).

Với I(2; 1) và A(–2; 4) ta có IA=4;3.

Suy ra R=IA=IA=42+32=5.

Vậy phương trình đường tròn (C): (x – 2)2 + (y – 1)2 = 25.

Ví dụ: Tìm tâm và bán kính của đường tròn (C) có phương trình trong mỗi trường hợp sau:

a) (x – 4)2 + (y – 10)2 = 9.

b) (x + 2)2 + (y – 5)2 = 64.

c) x2 + (y – 1)2 = 36.

Hướng dẫn giải

a) (x – 4)2 + (y – 10)2 = 9

Đường tròn (C) có tâm I(4; 10), bán kính R=9=3.

b) (x + 2)2 + (y – 5)2 = 64

Đường tròn (C) có tâm I(–2; 5), bán kính R=64=8.

c) x2 + (y – 1)2 = 36.

Đường tròn (C) có tâm I(0; 1), bán kính R=36=6.

Nhận xét: Ta có (x – a)2 + (y – b)2 = R2

⇔ x2 + y2 – 2ax – 2by + (a2 + b2 – R2) = 0.

Vậy phương trình đường tròn (x – a)2 + (y – b)2 = R2 có thể được viết dưới dạng x2 + y2 – 2ax – 2by + c = 0, trong đó c = a2 + b2 – R2.

Ngược lại, phương trình x2 + y2 – 2ax – 2by + c = 0 là phương trình của đường tròn (C) khi và chỉ khi a2 + b2 – c > 0. Khi đó đường tròn (C) có tâm I(a; b) và bán kính R=a2+b2c.

Ví dụ: Phương trình nào trong các phương trình sau đây là phương trình đường tròn? Nếu là phương trình đường tròn, hãy tìm tọa độ tâm và bán kính của đường tròn đó.

a) x2 + y2 + 2x – 6y – 15 = 0.

b) 2x2 + 2y2 + 4x + 8y + 14 = 0.

Hướng dẫn giải

a) Phương trình đã cho có dạng: x2 + y2 – 2ax – 2by + c = 0, với a = –1, b = 3, c = –15.

Ta có a2 + b2 – c = 1 + 9 + 15 = 25 > 0.

Vậy phương trình đã cho là phương trình đường tròn có tâm I(–1; 3), bán kính R = 5.

b) Ta có 2x2 + 2y2 + 4x + 8y + 14 = 0 ⇔ x2 + y2 + 2x + 4y + 7 = 0.

Phương trình trên có dạng x2 + y2 – 2ax – 2by + c = 0, với a = –1, b = –2, c = 7.

Ta có a2 + b2 – c = 1 + 4 – 7 = –2 < 0.

Vậy phương trình đã cho không phải là phương trình đường tròn.

2. Phương trình tiếp tuyến của đường tròn

Đường tròn trong mặt phẳng toạ độ (Lý thuyết Toán lớp 10) | Chân trời sáng tạo

Phương trình tiếp tuyến của đường tròn tâm I(a; b) tại điểm M0(x0; y0) nằm trên đường tròn là:

(a – x0)(x – x0) + (b – y0)(y – y0) = 0.

Ví dụ: Viết phương trình tiếp tuyến d của đường tròn (C): (x – 2)2 + (y + 3)2 = 5 tại điểm M(3; –1).

Hướng dẫn giải

Ta có (3 – 2)2 + (–1 + 3)2 = 5.

Suy ra M ∈ (C).

Đường tròn (C) có tâm I(2; –3).

Phương trình tiếp tuyến d của đường tròn (C) tại điểm M(3; –1) là:

(2 – 3)(x – 3) + [–3 – (–1)].[y – (–1)] = 0.

⇔ –1.(x – 3) + (–2).(y + 1) = 0.

⇔ –x – 2y + 1 = 0.

Vậy phương trình tiếp tuyến d của đường tròn (C) cần tìm là –x – 2y + 1 = 0.

Bài tập Đường tròn trong mặt phẳng toạ độ

Bài 1. Lập phương trình đường tròn (C) trong các trường hợp sau:

a) (C) đi qua ba điểm A(–1; 3), B(1; 4), C(3; 2).

b) (C) có tâm I(–1; 2) và tiếp xúc với đường thẳng ∆: x – 2y + 7 = 0.

c) (C) có tâm thuộc đường thẳng d: 2x – y – 5 = 0 và đi qua hai điểm A(1; 2), B(4; 1).

Hướng dẫn giải

a) Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, AC.

Đường tròn trong mặt phẳng toạ độ (Lý thuyết Toán lớp 10) | Chân trời sáng tạo

Ta có M là trung điểm AB với A(–1; 3), B(1; 4).

Đường tròn trong mặt phẳng toạ độ (Lý thuyết Toán lớp 10) | Chân trời sáng tạo

Khi đó ta có M0;72.

Tương tự, ta có N1;52.

Với A(–1; 3), B(1; 4), C(3; 2) ta có AB=2;1, AC=4;1.

Đường trung trực d1 của đoạn thẳng AB đi qua điểm M0;72, có vectơ pháp tuyến AB=2;1.

Suy ra phương trình d1: 2x0+1y72=02x+y72=0.

Tương tự, ta có phương trình đường trung trực d2 của đoạn thẳng AC:

4x11y52=04xy32=0.

Vì đường tròn (C) có tâm I(a; b) và (C) đi qua ba điểm A, B, C nên IA = IB = IC (= R).

Vì IA = IB nên I nằm trên đường trung trực d1 của đoạn thẳng AB.

Tương tự, ta có I nằm trên đường trung trực d2 của đoạn thẳng AC.

Vì vậy I là giao điểm của d1 và d2.

Khi đó tọa độ điểm I là nghiệm của hệ phương trình:

Đường tròn trong mặt phẳng toạ độ (Lý thuyết Toán lớp 10) | Chân trời sáng tạo

Suy ra I56;116.

Với I56;116và A(–1; 3) ta có IA=116;76.

Suy ra R=IA=IA=1162+762=1706.

Vậy phương trình đường tròn (C): x562+y1162=8518.

b) (C) có tâm I(–1; 2) và tiếp xúc với đường thẳng ∆: x – 2y + 7 = 0.

Đường tròn trong mặt phẳng toạ độ (Lý thuyết Toán lớp 10) | Chân trời sáng tạo

Vì (C) tiếp xúc với đường thẳng ∆ nên ta có:

Đường tròn trong mặt phẳng toạ độ (Lý thuyết Toán lớp 10) | Chân trời sáng tạo

Vậy phương trình đường tròn (C): x+12+y22=45.

c) (C) có tâm thuộc đường thẳng d: 2x – y – 5 = 0 và đi qua hai điểm A(1; 2), B(4; 1).

Đường tròn trong mặt phẳng toạ độ (Lý thuyết Toán lớp 10) | Chân trời sáng tạo

Phương trình đường thẳng d: 2x – y – 5 = 0 ⇔ y = 2x – 5.

Giả sử I(a; b).

Vì I ∈ d nên ta có I(a; 2a – 5).

Với A(1; 2), B(4; 1) và I(a; 2a – 5) ta có:

AI=a1;2a7, BI=a4;2a6.

Vì đường tròn (C) đi qua hai điểm A(1; 2), B(4; 1).

Ta suy ra AI = BI (= R).

⇔ AI2 = BI2.

⇔ (a – 1)2 + (2a – 7)2 = (a – 4)2 + (2a – 6)2

⇔ a2 – 2a + 1 + 4a2 – 28a + 49 = a2 – 8a + 16 + 4a2 – 24a + 36

⇔ 2a = 2.

⇔ a = 1.

Với a = 1, ta có b = 2a – 5 = 2.1 – 5 = –3.

Suy ra I(1; –3), bán kính R = AI = 112+2.172= 5.

Vậy phương trình đường tròn (C): (x – 1)2 + (y + 3)2 = 25.

Bài 2. Phương trình nào trong các phương trình sau đây là phương trình đường tròn? Nếu là phương trình đường tròn, hãy tìm tâm và bán kính của đường tròn đó.

a) x2 + y2 + 2x – 4y + 9 = 0.

b) x2 + y2 – 6x + 4y + 13 = 0.

c) 2x2 + 2y2 – 6x – 4y – 1 = 0.

d) 2x2 + y2 + 2x – 3y + 9 = 0.

Hướng dẫn giải

a) Phương trình đã cho có dạng: x2 + y2 – 2ax – 2by + c = 0, với a = –1, b = 2, c = 9.

Ta có a2 + b2 – c = 1 + 4 – 9 = –4 < 0.

Vì vậy phương trình đã cho không phải là phương trình đường tròn.

b) Phương trình đã cho có dạng: x2 + y2 – 2ax – 2by + c = 0, với a = 3, b = –2, c = 13.

Ta có a2 + b2 – c = 9 + 4 – 13 = 0.

Vì vậy phương trình đã cho không phải là phương trình đường tròn.

c) Ta có 2x2 + 2y2 – 6x – 4y – 1 = 0.

x2+y23x2y12=0.

Phương trình trên có dạng: x2 + y2 – 2ax – 2by + c = 0, với Đường tròn trong mặt phẳng toạ độ (Lý thuyết Toán lớp 10) | Chân trời sáng tạo

Đường tròn trong mặt phẳng toạ độ (Lý thuyết Toán lớp 10) | Chân trời sáng tạo

Vì vậy phương trình đã cho là phương trình đường tròn.

Đường tròn có tâm I32;1, bán kính R=152.

d) Phương trình đã cho không có dạng: x2 + y2 – 2ax – 2by + c = 0.

Vậy phương trình đã cho không phải là phương trình đường tròn.

Bài 3. Lập phương trình tiếp tuyến d của đường tròn (C) trong các trường hợp sau:

a) (C): x2 + y2 – 2x = 0 tại điểm M(1; 1).

b) (C): x2 + y2 – 2x + 4y + 4 = 0, biết rằng tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng ∆: x + 2y + 5 = 0.

Hướng dẫn giải

a) Phương trình (C) có dạng: x2 + y2 – 2ax – 2by + c = 0, với a = 1, b = c = 0.

Ta có a2 + b2 – c = 1 + 0 – 0 = 1 > 0.

Vì vậy phương trình (C) đã cho là phương trình đường tròn.

Đường tròn (C) có tâm I(1; 0).

Ta có 12 + 12 – 2.1 = 0.

Suy ra M ∈ (C).

Phương trình tiếp tuyến d của đường tròn (C) tại điểm M(3; –1) là:

(1 – 3)(x – 3) + (0 + 1).(y + 1) = 0.

⇔ –2.(x – 3) + y – 1 = 0.

⇔ –2x + y + 5 = 0.

Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là –2x + y + 5 = 0.

b) Phương trình (C) có dạng: x2 + y2 – 2ax – 2by + c = 0, với a = 1, b = –2, c = 4.

Ta có a2 + b2 – c = 1 + 4 – 4 = 1 > 0.

Vì vậy phương trình (C) đã cho là phương trình đường tròn.

Đường tròn (C) có tâm I(1; –2), bán kính R = 1.

Gọi d là tiếp tuyến cần tìm.

Gọi kd là hệ số góc của d.

Phương trình ∆: x + 2y + 5 = 0 y=12x52.

Suy ra ∆ có hệ số góc kΔ=12.

Ta có d ⊥ ∆.

Suy ra kd.k = –1.

kd.12=1.

⇔ kd = 2.

Khi đó phương trình d có dạng: y = 2x + m hay 2x – y + m = 0.

Ta có d là tiếp tuyến của đường tròn (C).

Ta suy ra d(I, d) = R.

Đường tròn trong mặt phẳng toạ độ (Lý thuyết Toán lớp 10) | Chân trời sáng tạo

Vậy có 2 tiếp tuyến d thỏa yêu cầu bài toán có phương trình là 2xy4+5=02xy45=0.

Học tốt Đường tròn trong mặt phẳng toạ độ

Các bài học để học tốt Đường tròn trong mặt phẳng toạ độ Toán lớp 10 hay khác:

Xem thêm tóm tắt lý thuyết Toán lớp 10 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác:

Xem thêm các tài liệu học tốt lớp 10 hay khác:

ĐỀ THI, GIÁO ÁN, SÁCH LUYỆN THI DÀNH CHO GIÁO VIÊN VÀ PHỤ HUYNH LỚP 10

Bộ giáo án, bài giảng powerpoint, đề thi, sách dành cho giáo viên và gia sư dành cho phụ huynh tại https://tailieugiaovien.com.vn/ . Hỗ trợ zalo VietJack Official

Tổng đài hỗ trợ đăng ký : 084 283 45 85

Đã có app VietJack trên điện thoại, giải bài tập SGK, SBT Soạn văn, Văn mẫu, Thi online, Bài giảng....miễn phí. Tải ngay ứng dụng trên Android và iOS.

Theo dõi chúng tôi miễn phí trên mạng xã hội facebook và youtube:

Nếu thấy hay, hãy động viên và chia sẻ nhé! Các bình luận không phù hợp với nội quy bình luận trang web sẽ bị cấm bình luận vĩnh viễn.


Giải bài tập lớp 10 Chân trời sáng tạo khác
Tài liệu giáo viên