Công thức 7 Hằng đẳng thức (đầy đủ nhất)

Bài viết Công thức Bảy hằng đẳng thức đáng nhớ (hay 7 hằng đẳng thức đáng nhớ) trình bày đầy đủ công thức, ví dụ minh họa có lời giải chi tiết và các bài tập tự luyện giúp học sinh lớp 8 nắm vững kiến thức trọng tâm về 7 hằng đẳng thức đáng nhớ từ đó học tốt môn Toán.

Công thức 7 Hằng đẳng thức (đầy đủ nhất)

1. Công thức 7 hằng đẳng thức đáng nhớ

a) Bình phương của một tổng:

(A + B)² = A² + 2AB + B².

b) Bình phương của một hiệu:

(A – B)² = A² – 2AB + B².

c) Hiệu hai bình phương:

A² – B² = (A – B) . (A + B).

d) Lập phương của một tổng:

(A + B)³ = A³ + 3A²B + 3AB² + B³.

e) Lập phương của một hiệu:

(A – B)³ = A³ – 3A²B + 3AB² – B³.

f) Tổng hai lập phương:

A³ + B³ = (A + B) . (A² – AB + B²).

g) Hiệu hai lập phương:

A³ – B³ = (A – B) . (A² + AB + B²).

Chú ý: Các hằng đẳng thức mở rộng:

(A + B + C)² = A² + B² + C² + 2AB + 2BC + 2AC.

(A – B + C)² = A² + B² + C² – 2AB – 2BC + 2AC.

(A – B – C)² = A² + B² + C² – 2AB + 2BC – 2AC.

(A + B – C) ² = A² + B² + C² + 2 . (AB – AC – BC).

(A + B + C)³ = A³ + B³ + C³ + 3 . (A + B) . (A + C) . (B + C).

A⁴ + B⁴  = (A + B) . (A³ – A²B + AB² – B³).

A⁴ – B⁴  =  (A – B) . (A³ + A²B + AB²  + B³).

2. Ví dụ minh họa Các hằng đẳng thức

Ví dụ 1. Khai triển các biểu thức sau:

a) (3x – 1)².

b) (x + 6)².

c) (2 – x)³.

d) (2x + 3y)³.

e) (x + 2y – 1)².

f) (2 + x + y)³.

Hướng dẫn giải:

a) (3x – 1)² = (3x)² – 2 . 3x . 1 + 1² = 9x² – 6x + 1.

b) (x + 6)² = x² + 2 . x . 6 + 6² = x² + 12x + 36.

c) (2 – x)³ = 2³ – 3 . 2² . x + 3 . 2 . x² – x³ = 8 – 12x + 6x² – x³.

d) (2x + 3y)³ = (2x)³ + 3 . (2x)² . 3y + 3 . 2x . (3y)² + (3y)³ = 8x³ + 36x²y + 54xy² + 27y³.

e) (x + 2y – 1)² = x² + (2y)² + 1² + 2 . (2xy – x – 2y) =  x² + 4y² + 1 + 4xy – 2x – 4y.

f) (2 + x + y)³ = 2³ + x³ + y³ + 3 . (2 + x) . (x + y) . (2 + y)

  = 8 + x³ + y³ + (6 + 3x)(x + y) (2 + y).

  = 8 + x³ + y³ + (6x + 6y + 3x² + 3xy)(2 + y)

  = 8 + x³ + y³ + (12x + 6xy + 12y + 6y² + 6x² + 3x²y + 6xy + 3xy²)

  = 8 + x³ + y³ + 12x + 12xy + 12y + 6y² + 6x² + 3x²y + 3xy².

Ví dụ 2. Viết các biểu thức sau dưới dạng tích:

a) 4 – 4x + x².

b) 9x² + 12x + 4.  

c) 8 – 27x³.

d) x³ + 64y³.

e) y⁴ – 16.

Hướng dẫn giải:

a) 4 – 4x + x² = 2² – 2 . 2 . x + x² = (2 – x)².

b) 9x² + 12x + 4 = (3x)² + 2 . 3x . 2 + 2² = (3x + 2)².

c) 8 – 27x³ = 2³ – (3x)³ = (2 – 3x) . [2² + 2 . 3x + (3x)²] = (2 – 3x) . (4 + 6x + 9x²).

d) x³ + 64y³ = x³ + (4y)³ = (x + 4y) . [x² – x . 4y + (4y)²] = (x + 4y) . (x² – 4xy + 16y²).

e) y⁴ – 16 = y⁴ – 2⁴ = (y – 2) . (y³ + y² . 2 + y . 2² + 2³) = (y – 2) . (y³ + 2y² + 4y + 8).

3. Bài tập tự luyện

Bài 1. Rút gọn các biểu thức sau:

a) (x – 10)² + (x – 3) . (x + 3).

b) (x + 2)² + 2 . (x + 2) . (x – 2) + (x – 2)².

c) x³ + 9x² + 27x + 27 + (x – 1)³.

Bài 2. Tính giá trị của biểu thức A = 81 – 54x + 9x² tại x = 3.

Bài 3. Tính nhanh: 201² – 2 . 201 . 1 + 1².

Bài 4. Viết các đa thức sau thành tích:

a) 8 – y³.

b) 4x² – 64.

c) x³ + 27y³.

Bài 5. Viết biểu thức tính diện tích hình vuông có cạnh 4x – 5 dưới dạng đa thức.

Xem thêm các bài viết về công thức Toán hay, chi tiết khác:

• Công thức nhân đơn thức với đa thức, nhân đa thức với đa thức, chia đa thức cho đơn thức

• Công thức tính xác suất của biến cố ngẫu nhiên trong một số trò chơi đơn giản

• Công thức tính xác suất thực nghiệm của một biến cố trong một số trò chơi đơn giản

Loạt bài 500 Công thức, Định Lí, Định nghĩa Toán, Vật Lí, Hóa học, Sinh học được biên soạn bám sát nội dung chương trình học các cấp.

---