Bằng phương pháp quy nạp, chứng minh: n^5 - n chia hết cho 5 với mọi n thuộc N sao

Giải Chuyên đề Toán 10 Bài 2: Nhị thức newton

Bài 9 trang 38 Chuyên đề Toán 10: Bằng phương pháp quy nạp, chứng minh:

a) n⁵ – n chia hết cho 5 ∀ n ∈ ℕ^*;

b) n⁷ – n chia hết cho 7 ∀ n ∈ ℕ^*.

Lời giải:

a)

+) Với n = 1, ta có: 1⁵ – 1 = 0 ⁝ 5.

Vậy mệnh đề đúng với n = 1.

+) Với k là một số nguyên dương tuỳ ý mà mệnh đề đúng, ta phải chứng minh mệnh đề cũng đúng với k + 1, tức là: (k + 1)⁵ – (k + 1) ⁝ 5.

Thật vậy, theo giả thiết quy nạp ta có: k⁵ – k ⁝ 5.

Khi đó:

Mà (k⁵ - k) và (5k⁴ + 10k³ + 10k² + 5k)  đều chia hết cho 5, do đó

(k⁵ - k) + (5k⁴ + 10k³ + 10k² + 5k) ⁝ 5 hay (k + 1)⁵ – (k + 1) ⁝ 5.

Vậy mệnh đề cũng đúng với n = k + 1. Do đó theo nguyên lí quy nạp toán học, mệnh đề đã cho đúng với mọi n ∈ ℕ^*.

b)

+) Với n = 1, ta có: 1⁷ – 1 = 0 ⁝ 7.

Vậy mệnh đề đúng với n = 1.

+) Với k là một số nguyên dương tuỳ ý mà mệnh đề đúng, ta phải chứng minh mệnh đề cũng đúng với k + 1, tức là: (k + 1)⁷ – (k + 1) ⁝ 7.

Thật vậy, theo giả thiết quy nạp ta có: k⁷ – k ⁝ 7.

Khi đó:

(k + 1)⁷ – (k + 1)

= (k⁷ + 7k⁶ + 21k⁵ + 35k³ + 21k² + 7k +1) - (k+ 1)

= (k⁷ - k) + (7k⁶ + 21k⁵ + 35k³ + 21k² + 7k)

Mà (k⁷ - k) và (7k⁶ + 21k⁵ + 35k³ + 21k² + 7k)  đều chia hết cho 7, do đó

(k⁷ - k) + (7k⁶ + 21k⁵ + 35k³ + 21k² + 7k) ⁝ 7 hay (k + 1)⁷ – (k + 1) ⁝ 7.

Vậy mệnh đề cũng đúng với n = k + 1. Do đó theo nguyên lí quy nạp toán học, mệnh đề đã cho đúng với mọi n ∈ ℕ^*.

Xem thêm lời giải bài tập Chuyên đề học tập Toán 10 Cánh diều hay, chi tiết khác:

• Hoạt động 1 trang 31 Chuyên đề Toán 10: a) Chọn số thích hợp cho ? trong khai triển biểu thức sau: ${(a+b)}^3=C_3^{?}{a}^{3-?}+C_3^{?}{a}^{3-?}{b}^1+C_3^{?}{a}^{3-?}{b}^2+C_3^{?}{a}^{3-?}{b}^3.$ ....

• Luyện tập 1 trang 32 Chuyên đề Toán 10: Khai triển biểu thức (x + 2)⁷ ....

• Luyện tập 2 trang 32 Chuyên đề Toán 10: Cho n ∈ ℕ*. Chứng minh $C_n^0+{\text{C}}_n^1+{\text{C}}_n^2+\dots +{\text{C}}_n^{n-1}+{\text{C}}_n^n=2^n.$ ....

• Hoạt động 2 trang 33 Chuyên đề Toán 10: Ta đã biết: (a+b)^2 = C_2^0a^2 + C_2^1ab + C_2^2b^2 ....

• Luyện tập 3 trang 34 Chuyên đề Toán 10: Sử dụng tam giác Pascal để khai triển:a) (x + y)⁷; b) (x – 2)⁷ ....

• Hoạt động 3 trang 35 Chuyên đề Toán 10: Xét dãy các hệ số trong khai triển nhị thức (a + b)⁴ ( Hình 7a) và nhị thức (a + b)⁵ (Hình 7b) sau: ....

• Luyện tập 4 trang 35 Chuyên đề Toán 10: Tìm hệ số lớn nhất trong khai triển của :a) (a + b)²⁰²²; b) (a + b)²⁰²³ ....

• Hoạt động 4 trang 36 Chuyên đề Toán 10: Quan sát khai triển nhị thức: (ax + b)^n = C_n^0(ax)^n + C_n^1(ax)^(n – 1)b + C_n^2(ax)^(n – 2)b^2 +…+ C_n^(n-1)(ax)b^(n – 1) + C_n^nb^n ....

• Luyện tập 5 trang 36 Chuyên đề Toán 10: Xét khai triển của (x + 5)¹⁵. a) Nêu số hạng chứa x⁷, từ đó nêu hệ số của x⁷ ....

• Bài 1 trang 37 Chuyên đề Toán 10: Khai triển các biểu thức sau: a) (2x + y)⁶; b) (x – 3y)⁶; ....

• Bài 2 trang 37 Chuyên đề Toán 10: Tính: a) S = C_2022^0.9^2022 + C_2022^1.9^2021 +…+ C_2022^k.9^(2022 – k) + … + C_2022^2021.9 + C_2022^2022 ....

• Bài 3 trang 37 Chuyên đề Toán 10: Chứng minh: C_n^0 + C_n^1.3^(n – 1) + … + C_n^1.3^(n – 1) + C_n^n = C_n^0 + C_n^1.3 + … + C_n^k.3^k + … + C_n^(n – 1) .3 + C_n^n.3^n ....

• Bài 4 trang 37 Chuyên đề Toán 10: Xác định hệ số của: a) x¹² trong khai triển của (x + 4)³⁰; b) x¹⁰ trong khai triển của (3 + 2x)³⁰; ....

• Bài 5 trang 37 Chuyên đề Toán 10: Xét khai triển của ${\left(x+\frac{5}{2}\right)}^{12}.$. a) Xác định hệ số của x⁷ ....

• Bài 6 trang 37 Chuyên đề Toán 10: Xét khai triển của ${\left(\frac{x}{2}+\frac{1}{5}\right)}^{21}.$. a) Xác định hệ số của x¹⁰ ....

• Bài 7 trang 37 Chuyên đề Toán 10: Tìm hệ số lớn nhất trong khai triển của :a) (a + b)⁸; b) (a + b)⁹ ....

• Bài 8 trang 38 Chuyên đề Toán 10: Chứng minh công thức nhị thức Newton bằng phương pháp quy nạp: ${(a+b)}^n=C_n^0{a}^n+C_n^1{a}^{n-1}b+\mathrm{...}+C_n^{n-1}a{b}^{n-1}+C_n^n{b}^n$ với  n ∈ ℕ^* ....

• Bài 10 trang 38 Chuyên đề Toán 10: Cho tập hợp A = {x₁; x₂; x₃; ... ; x_n} có n phần tử. Tính số tập hợp con của A ....

• Bài 11 trang 38 Chuyên đề Toán 10: Một nhóm gồm 10 học sinh tham gia chiến dịch Mùa hè xanh. Nhà trường muốn chọn ra một đội công tác có ít nhất hai học sinh trong những học sinh trên. Hỏi có bao nhiêu cách lập đội công tác như thế? ....

• Bài 12 trang 38 Chuyên đề Toán 10: Để tham gia một cuộc thi làm bánh, bạn Tiến làm 12 chiếc bánh có màu khác nhau và chọn ra số nguyên dương chẵn chiếc bánh để cho vào một hộp trưng bày. Hỏi bạn Tiến có bao nhiêu cách để chọn bánh cho vào hộp trưng bày đó? ....

• Bài 13 trang 38 Chuyên đề Toán 10: Bác Thành muốn mua quà cho con nhân dịp sinh nhật nên đã đến một cửa hàng đồ chơi. Bác dự định chọn một trong năm loại đồ chơi. Ở cửa hàng, mỗi loại đồ chơi đó chỉ có 10 sản phẩm khác nhau bày bán ....

• Bài 14 trang 38 Chuyên đề Toán 10: Giả sử tính trạng ở một loài cây được quy định do tác động cộng gộp của n cặp alen phân li độc lập A₁a₁, A₂a₂, ..., A_na_n. Cho cây F₁ dị hợp về n cặp alen giao phối với nhau ....

Săn shopee siêu SALE :

• Sổ lò xo Art of Nature Thiên Long màu xinh xỉu
• Biti's ra mẫu mới xinh lắm
• Tsubaki 199k/3 chai
• L'Oreal mua 1 tặng 3

---