Chứng minh với mọi n thuộc N sao, (1 + căn bậc hai 2)^n, (1- căn bậc hai 2)^n

Giải Chuyên đề Toán 10 Bài 1: Phương pháp quy nạp toán học

Luyện tập 2 trang 26 Chuyên đề Toán 10: Chứng minh với mọi n ∈ ℕ^*,${(1+\sqrt{2})}^n$, ${(1-\sqrt{2})}^n$ lần lượt viết được ở dạng $a_n+b_n\sqrt{2},$$a_n-b_n\sqrt{2}$ , trong đó a_n, b_n là các số nguyên dương.

Lời giải:

+) Khi n = 1, ta có:

 ${(1+\sqrt{2})}^1=1+\sqrt{2}=1+1.\sqrt{2}\Rightarrow$a₁ = 1, b₁ = 1.

Vậy mệnh đề đúng với n = 1.

+) Với k là một số nguyên dương tuỳ ý mà mệnh đề đúng, ta phải chứng minh mệnh đề cũng đúng với k + 1, tức là: ${(1+\sqrt{2})}^{k+1}$ viết được dưới dạng $a_{k+1}+b_{k+1}\sqrt{2},$ trong đó a_{k + 1}, b_{k + 1} là các số nguyên dương.

Thật vậy, theo giả thiết quy nạp ta có:

${(1+\sqrt{2})}^k = a_k+b_k\sqrt{2},$ với a_k, b_k là các số nguyên dương.

Khi đó:

Vì a_k, b_k là các số nguyên dương nên a_k + 2b_k và a_k + b_k cũng là các số nguyên dương.

Vậy mệnh đề cũng đúng với n = k + 1. Do đó theo nguyên lí quy nạp toán học, mệnh đề đã cho đúng với mọi n ∈ ℕ^*.

+) Theo chứng minh trên ta có:

Với mọi n ∈ ℕ^* thì ${(1+\sqrt{2})}^n$= $a_n-b_n\sqrt{2}$  với a_n, b_n là các số nguyên dương.

Chứng minh tương tự ta được:

Với mọi n ∈ ℕ^* thì ${(1-\sqrt{2})}^n$ = $c_n-d_n\sqrt{2}$ với c_n, d_n là các số nguyên dương.

Giờ ta chứng minh a_n = c_n và b_n = d_n với mọi n  ℕ^*.

Cách 1:

Xét mệnh đề P(n): a_n = c_n và b_n = d_n với mọi n ∈ ℕ^*.

+) Khi n = 1, ta có:

${(1+\sqrt{2})}^1=1+\sqrt{2}=1+1.\sqrt{2}\Rightarrow$ a₁ = 1, b₁ = 1.

${(1-\sqrt{2})}^1=1-\sqrt{2}=1-1.\sqrt{2}\Rightarrow$ c₁ = 1, d₁ = 1.

Vậy a₁ = c₁, b₁ = d₁.

Vậy mệnh đề P(n) đúng với n = 1.

+) Với k là một số nguyên dương tuỳ ý mà mệnh đề đúng, ta phải chứng minh mệnh đề P(n) cũng đúng với k + 1, tức là: a_{k + 1} = c_{k + 1} và b_{k + 1} = d_{k + 1}.

Thật vậy, theo giả thiết quy nạp ta có: a_k = c_k và b_k = d_k (1).

Mặt khác:

 a_{k + 1} = a_k + 2b_k, b_{k + 1} = a_k + b_k (2).

nên c_{k + 1} = c_k + 2d_k, d_{k + 1} = c_k + d_k (3)

Từ (1), (2) và (3) ta suy ra a_{k + 1} = c_{k + 1} và b_{k + 1} = d_{k + 1}.

Vậy mệnh đề cũng đúng với n = k + 1. Do đó theo nguyên lí quy nạp toán học, mệnh đề đã cho đúng với mọi n ∈ ℕ^*.

Vậy bài toán đã được chứng minh.

Cách 2:

Ta có:

${(1+\sqrt{2})}^n{\left(1-\sqrt{2}\right)}^n={\left[\left(1+\sqrt{2}\right)\left(1-\sqrt{2}\right)\right]}^n={\left(-1\right)}^n$

Từ (2) ta suy ra $a_n{d}_n=b_n{c}_n\Rightarrow \frac{a_n}{c_n}=\frac{b_n}{d_n}=k$ với k > 0 (vì a_n, b_n, c_n, d_n  là các số nguyên dương)

$\Rightarrow a_n=k{c}_n,b_n=k{d}_n.$ Thế vào (1) ta được:

$\left(k{c}_n\right)c_n-2\left(k{d}_n\right)d_n={\left(-1\right)}^n\Rightarrow k\left(c_n^2-2d_n^2\right)={\left(-1\right)}^n$

$\Rightarrow 1⋮k\Rightarrow k=1\Rightarrow$a_n = c_n và b_n = d_n.

Vậy ta có điều phải chứng minh.

Xem thêm lời giải bài tập Chuyên đề học tập Toán 10 Cánh diều hay, chi tiết khác:

• Hoạt động trang 23 Chuyên đề Toán 10: Xét mệnh đề chứa biến P(n) : "1 + 3 + 5 + ... + (2n – 1) = n²" với n là số nguyên dương.
  a) Chứng tỏ rằng P(1) là mệnh đề đúng ....

• Luyện tập 1 trang 25 Chuyên đề Toán 10: Chứng minh rằng với mọi n ∈ ℕ* ta có: a, 1/(√1+√2)+ 1/(√2+√3)+ ... + 1/(√n+√(n+1)) = √(n+1)- 1 ....

• Luyện tập 3 trang 26 Chuyên đề Toán 10: Chứng minh 16ⁿ – 15n – 1 chia hết cho 225 với mọi n ∈ ℕ* ....

• Bài 1 trang 29 Chuyên đề Toán 10: Cho S_n = 1 + 2 + 2² +... + 2ⁿ và T_n = 2ⁿ⁺¹ – 1, với n ∈ ℕ*.
  a) So sánh S1 và T1; S2 và T2; S3 và T3 ....

• Bài 2 trang 29 Chuyên đề Toán 10: Cho $S_n=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\dots +\frac{1}{2^n}$ và $T_n=2-\frac{1}{2^n}$, với n ∈ ℕ^*
  a) So sánh S1 và T1; S2 và T2; S3 và T3 ....

• Bài 3 trang 29 Chuyên đề Toán 10: Cho $S_n=\frac{1}{1.5}+\frac{1}{5.9}+\frac{1}{9.13}+\dots +\frac{1}{(4n-3)(4n+1)}$, với n ∈ ℕ^* ....

• Bài 4 trang 29 Chuyên đề Toán 10: Cho q là số thực khác 1. Chứng minh: 1 + q + q² +... + q^{n – 1} = $\frac{1-q^n}{1-q},$  với n ∈ ℕ^* ....

• Bài 5 trang 29 Chuyên đề Toán 10: Chứng minh với mọi n ∈ ℕ*, ta có:
  a) 4ⁿ + 15n – 1 chia hết cho 9; ....

• Bài 6 trang 29 Chuyên đề Toán 10: Chứng minh nⁿ > (n + 1)^{n - 1} với n ∈ ℕ*, n ≥ 2 ....

• Bài 7 trang 29 Chuyên đề Toán 10: Chứng minh aⁿ – bⁿ = (a – b)(a^{n – 1} + a^{n – 2}b + ... + ab^{n –2} + b^{n – 1}) với n ∈ ℕ* ....

• Bài 8 trang 29 Chuyên đề Toán 10: Cho tam giác đều màu xanh (Hình thứ nhất).
  a) Nêu quy luật chọn tam giác đều màu trắng ở Hình thứ hai.
  b) Nêu quy luật chọn các tam giác đều màu trắng ở Hình thứ ba ....

• Bài 9 trang 30 Chuyên đề Toán 10: Quan sát Hình 6. a) Nêu quy luật sắp xếp các chấm đỏ và vàng xen kẽ nhau khi xếp các chấm đó từ góc trên bên trái xuống góc dưới bên phải (tạo thành hinh vuông) ....

• Bài 10 trang 30 Chuyên đề Toán 10: Giả sử năm đầu tiên, cô Hạnh gửi vào ngân hàng A (đồng) với lãi suất r%/năm. Hết năm đầu tiên, cô Hạnh không rút tiền ra và gửi thêm A (đồng) nữa. Hết năm thứ hai, cô Hạnh cũng không rút tiền ra và lại gửi thêm A (đồng) nữa. Cứ tiếp tục như vậy cho những năm sau ....

• Bài 11 trang 30 Chuyên đề Toán 10: Một người gửi số tiền A (đồng) vào ngân hàng. Biểu lãi suất của ngân hàng như sau: Chia mỗi năm thành m kì hạn và lãi suất r%/năm. Biết rằng nếu không rút tiền ra khỏi ngân hàng thi cứ sau mỗi kì hạn, số tiển lãi sẽ được nhập vào vốn ban đầu ....

Xem thêm các tài liệu học tốt lớp 10 hay khác:

• Giải Chuyên đề học tập Toán 10 Kết nối tri thức
• Giải Chuyên đề học tập Toán 10 Chân trời sáng tạo
• Giải Chuyên đề học tập Toán 10 Cánh diều
• Giải lớp 10 Kết nối tri thức (các môn học)
• Giải lớp 10 Chân trời sáng tạo (các môn học)
• Giải lớp 10 Cánh diều (các môn học)

---