Chứng minh với mọi n thuộc N sao, (1 + căn bậc hai 2)^n, (1- căn bậc hai 2)^n

Giải Chuyên đề Toán 10 Bài 1: Phương pháp quy nạp toán học

Luyện tập 2 trang 26 Chuyên đề Toán 10: Chứng minh với mọi n ∈ ℕ^*, ${(1 + \sqrt{2})}^{n}$ , ${(1 - \sqrt{2})}^{n}$ lần lượt viết được ở dạng $a_{n} + b_{n} \sqrt{2},$ $a_{n} - b_{n} \sqrt{2}$ , trong đó a_n, b_n là các số nguyên dương.

Quảng cáo

Lời giải:

+) Khi n = 1, ta có:

${(1 + \sqrt{2})}^{1} = 1 + \sqrt{2} = 1 + 1 . \sqrt{2} \Rightarrow$ a₁ = 1, b₁ = 1.

Vậy mệnh đề đúng với n = 1.

+) Với k là một số nguyên dương tuỳ ý mà mệnh đề đúng, ta phải chứng minh mệnh đề cũng đúng với k + 1, tức là: ${(1 + \sqrt{2})}^{k + 1}$ viết được dưới dạng $a_{k + 1} + b_{k + 1} \sqrt{2},$ trong đó a_{k + 1}, b_{k + 1} là các số nguyên dương.

Thật vậy, theo giả thiết quy nạp ta có:

${(1 + \sqrt{2})}^{k} = a_{k} + b_{k} \sqrt{2},$ với a_k, b_klà các số nguyên dương.

Khi đó:

Chứng minh với mọi n thuộc N sao, (1 + căn bậc hai 2)^n, (1- căn bậc hai 2)^n (ảnh 1)

Vì a_k, b_klà các số nguyên dương nên a_k + 2b_k và a_k + b_k cũng là các số nguyên dương.

Vậy mệnh đề cũng đúng với n = k + 1. Do đó theo nguyên lí quy nạp toán học, mệnh đề đã cho đúng với mọi n ∈ ℕ^*.

+) Theo chứng minh trên ta có:

Với mọi n ∈ ℕ^* thì ${(1 + \sqrt{2})}^{n}$ = $a_{n} - b_{n} \sqrt{2}$ với a_n, b_nlà các số nguyên dương.

Chứng minh tương tự ta được:

Với mọi n ∈ ℕ^* thì ${(1 - \sqrt{2})}^{n}$ = $c_{n} - d_{n} \sqrt{2}$ với c_n, d_nlà các số nguyên dương.

Giờ ta chứng minh a_n = c_n và b_n = d_n với mọi n ℕ^*.

Cách 1:

Xét mệnh đề P(n): a_n = c_n và b_n = d_n với mọi n ∈ ℕ^*.

+) Khi n = 1, ta có:

${(1 + \sqrt{2})}^{1} = 1 + \sqrt{2} = 1 + 1 . \sqrt{2} \Rightarrow$ a₁ = 1, b₁ = 1.

${(1 - \sqrt{2})}^{1} = 1 - \sqrt{2} = 1 - 1 . \sqrt{2} \Rightarrow$ c₁ = 1, d₁ = 1.

Vậy a₁ = c₁, b₁ = d₁.

Vậy mệnh đề P(n) đúng với n = 1.

+) Với k là một số nguyên dương tuỳ ý mà mệnh đề đúng, ta phải chứng minh mệnh đề P(n) cũng đúng với k + 1, tức là: a_{k + 1} = c_{k + 1} và b_{k + 1} = d_{k + 1}.

Thật vậy, theo giả thiết quy nạp ta có: a_k = c_k và b_k = d_k(1).

Mặt khác:

Chứng minh với mọi n thuộc N sao, (1 + căn bậc hai 2)^n, (1- căn bậc hai 2)^n (ảnh 1)

a_{k + 1} = a_k + 2b_k, b_{k + 1} = a_k + b_k (2).

Chứng minh với mọi n thuộc N sao, (1 + căn bậc hai 2)^n, (1- căn bậc hai 2)^n (ảnh 1)

nên c_{k + 1} = c_k + 2d_k, d_{k + 1} = c_k + d_k (3)

Từ (1), (2) và (3) ta suy ra a_{k + 1} = c_{k + 1} và b_{k + 1} = d_{k + 1}.

Vậy mệnh đề cũng đúng với n = k + 1. Do đó theo nguyên lí quy nạp toán học, mệnh đề đã cho đúng với mọi n ∈ ℕ^*.

Vậy bài toán đã được chứng minh.

Cách 2:

Ta có:

${(1 + \sqrt{2})}^{n} {(1 - \sqrt{2})}^{n} = {[(1 + \sqrt{2}) (1 - \sqrt{2})]}^{n} = {(- 1)}^{n}$

Chứng minh với mọi n thuộc N sao, (1 + căn bậc hai 2)^n, (1- căn bậc hai 2)^n (ảnh 1)

Từ (2) ta suy ra $a_{n} d_{n} = b_{n} c_{n} \Rightarrow \frac{a_{n}}{c_{n}} = \frac{b_{n}}{d_{n}} = k$ với k > 0 (vì a_n, b_n, c_n, d_nlà các số nguyên dương)