Cho tứ diện OABC có ba cạnh OA, OB, OC đôi một vuông góc

SBT Toán 11 Kết nối tri thức Bài 23: Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

Bài 7.7 trang 28 SBT Toán 11 Tập 2: Cho tứ diện OABC có ba cạnh OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau. Gọi H là chân đường vuông góc hạ từ O đến mặt phẳng (ABC). Chứng minh rằng:

a) BC $\perp$ (OAH);

b) H là trực tâm của tam giác ABC;

c) $\frac{1}{O{H}^2}=\frac{1}{O{A}^2}+\frac{1}{O{B}^2}+\frac{1}{O{C}^2}$ .

Lời giải:

a) Vì OA $\perp$ OB, OA $\perp$ OC nên OA $\perp$ (OBC). Suy ra OA $\perp$ BC.

Mà OH $\perp$ (ABC) nên OH $\perp$ BC. Do đó BC $\perp$ (OAH).

b) Vì BC $\perp$ (OAH) nên BC $\perp$ AH, do đó AH là đường cao của tam giác ABC. (1)

Có OH $\perp$ (ABC) nên OH $\perp$ AC.

Có OB $\perp$ OA, OC $\perp$ OB nên OB $\perp$ (OAC) nên OB $\perp$ AC mà OH $\perp$ AC, từ đó suy ra AC $\perp$ (OBH), suy ra CA $\perp$ BH, do đó BH là đường cao của tam giác ABC. (2)

Từ (1) và (2) suy ra H là giao hai đường cao của tam giác ABC.

Do đó H là trực tâm của tam giác ABC.

c) Gọi K là giao điểm của AH với BC.

Vì OA $\perp$ (OBC) nên OA $\perp$ OK .

Xét tam giác OAK vuông tại O, có OH là đường cao nên $\frac{1}{O{H}^2}=\frac{1}{O{A}^2}+\frac{1}{O{K}^2}$ .

Vì AK $\perp$ BC mà OA $\perp$ BC nên BC $\perp$ (OAK), suy ra OK $\perp$ BC.

Xét tam giác OBC vuông tại O, có OK là đường cao nên $\frac{1}{O{K}^2}=\frac{1}{O{B}^2}+\frac{1}{O{C}^2}$ .

Do đó $\frac{1}{O{H}^2}=\frac{1}{O{A}^2}+\frac{1}{O{B}^2}+\frac{1}{O{C}^2}$ .

Lời giải SBT Toán 11 Bài 23: Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng hay khác:

• Bài 7.6 trang 28 SBT Toán 11 Tập 2: Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với mặt phẳng (ABC) và đáy là tam giác ABC vuông tại B ....

• Bài 7.8 trang 28 SBT Toán 11 Tập 2: Cho tứ diện ABCD có AB = AC và DB = DC. Chứng minh rằng AD $\perp$ BC ....

• Bài 7.9 trang 28 SBT Toán 11 Tập 2: Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A'B'C' có AA' vuông góc với mặt phẳng (ABC) và đáy là tam giác ABC vuông tại B ....

• Bài 7.10 trang 28 SBT Toán 11 Tập 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O và SA = SC, SB = SD. Chứng minh rằng ....

• Bài 7.11 trang 28 SBT Toán 11 Tập 2: Cho hình chóp S.ABC có SA $\perp$ (ABC), tam giác ABC nhọn. Gọi H, K lần lượt là trực tâm của tam giác ABC và SBC ....

• Bài 7.12 trang 28 SBT Toán 11 Tập 2: Một cây cột được dựng trên một sàn phẳng. Người ta thả dây dọi và ngắm thấy cột song song với dây dọi ....

Xem thêm lời giải Sách bài tập Toán 11 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

• SBT Toán 11 Bài 24: Phép chiếu vuông góc. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

• SBT Toán 11 Bài 25: Hai mặt phẳng vuông góc

• SBT Toán 11 Bài 26: Khoảng cách

• SBT Toán 11 Bài 27: Thể tích

• SBT Toán 11 Bài tập cuối chương 7

Xem thêm các tài liệu học tốt lớp 11 hay khác:

• Giải sgk Toán 11 Kết nối tri thức
• Giải Chuyên đề học tập Toán 11 Kết nối tri thức
• Giải SBT Toán 11 Kết nối tri thức

---