Bài 7 trang 94 Toán 11 Tập 1 Cánh diều

Giải Toán 11 Bài 1: Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian - Cánh diều

Bài 7 trang 94 Toán 11 Tập 1: Cho hình tứ diện ABCD. Gọi I là trung điểm cạnh CD. Gọi M, N lần lượt là trọng tâm các tam giác BCD, CDA.

a) Chứng minh rằng các điểm M, N thuộc mặt phẳng (ABI).

b) Gọi G là giao điểm của AM và BN. Chứng minh rằng: $\frac{GM}{GA}=\frac{GN}{GB}=\frac{1}{3}$ .

c) Gọi P, Q lần lượt là trọng tâm các tam giác DAB, ABC. Chứng minh rằng các đường thẳng CP, DQ cùng đi qua điểm G và $\frac{GP}{GC}=\frac{GQ}{GD}=\frac{1}{3}$ .

Lời giải:

a)

+) Xét tam giác BCD có: I là trung điểm của CD nên BI là đường trung tuyến.

Mà M là trọng tâm tam giác BCD nên BI đi qua M.

Do đó M ∈ BI.

Lại có AI ⊂ (ABI) nên M ∈ (ABI).

+) Xét tam giác ACD có: I là trung điểm của CD nên AI là đường trung tuyến.

Mà N là trọng tâm tam giác ACD nên AI đi qua N.

Do đó N ∈ AI.

Lại có BI ⊂ (ABI) nên N ∈ (ABI).

b) Trong $∆$BCD có M là trọng tâm tam giác nên $\frac{MI}{BI}=\frac{1}{3}$ .

Trong $∆$ACD có N là trọng tâm tam giác nên $\frac{NI}{AI}=\frac{1}{3}$ .

Xét $∆$ABI có: $\frac{NI}{AI}=\frac{MI}{BI}=\frac{1}{3}$  nên MN // AB (theo định lí Thalès đảo).

Xét $∆$ABI và MN // AB, theo hệ quả định lí Thalès ta có $\frac{MN}{AB}=\frac{NI}{AI}=\frac{MI}{BI}=\frac{1}{3}$ .

Xét $∆$ABG và MN // AB, theo hệ quả định lí Thalès ta có $\frac{GM}{GA}=\frac{GN}{GB}=\frac{MN}{AB}=\frac{1}{3}$ .

c)

• Gọi G’ là giao điểm của AM và CP; G’’ là giao điểm của AM và DQ.

Chứng minh tương tự câu b, ta có: $\frac{G^{\text{'}}M}{G^{\text{'}}A}=\frac{G^{\text{'}}P}{G^{\text{'}}C}=\frac{PM}{AC}=\frac{1}{3}$  và $\frac{{G^{\text{'}}}^{\text{'}}M}{{G^{\text{'}}}^{\text{'}}A}=\frac{{G^{\text{'}}}^{\text{'}}Q}{{G^{\text{'}}}^{\text{'}}D}=\frac{QM}{AD}=\frac{1}{3}$

Do đó $\frac{GM}{GA}=\frac{G^{\text{'}}M}{G^{\text{'}}A}=\frac{{G^{\text{'}}}^{\text{'}}M}{{G^{\text{'}}}^{\text{'}}A}=\frac{1}{3}$ .

Mà G, G’, G’’ cùng nằm trên AM nên G ≡ G’ ≡ G’’.

Vậy các đường thẳng CP, DQ cùng đi qua điểm G.

• Xét tam giác ABC, kẻ đường trung tuyến AE (E ∈ BC).

Ta có: Q là trọng tâm DABC nên $\frac{AQ}{AE}=\frac{2}{3}$.

Xét tam giác ABD, kẻ đường trung tuyến AF (F ∈ BD).

Ta có: P là trọng tâm $∆$ABD nên $\frac{AP}{AF}=\frac{2}{3}$.

+) Trong mặt phẳng (AEF), có: $\frac{AQ}{AE}=\frac{AP}{AF}=\frac{2}{3}$ nên PQ // EF (định lí Thalès đảo)

Mà EF // CD (đường trung bình tam giác BCD).

Suy ra PQ // CD

Theo hệ quả định lí Thalès ta có: $\frac{GP}{GC}=\frac{GQ}{GD}=\frac{QP}{CD}=\frac{QP}{2EF}=\frac{1}{2}.\frac{2}{3}=\frac{1}{3}$ .

Lời giải bài tập Toán 11 Bài 1: Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian hay, chi tiết khác:

• Hoạt động 1 trang 85 Toán 11 Tập 1: Sân vận động Old Trafford (Hình 2) ở thành phố Manchester, có biệt danh là “Nhà hát của những giấc mơ”, với sức chứa 75 635 người, là sân vận động lớn thứ hai ở Vương quốc Anh. ....

• Luyện tập 1 trang 86 Toán 11 Tập 1: Nêu ví dụ trong thực tiễn minh họa hình ảnh của một phần mặt phẳng. ....

• Hoạt động 2 trang 86 Toán 11 Tập 1: Quan sát Hình 1, nếu coi mặt sân Napoléon là một phần của mặt phẳng (P) thì đỉnh của kim tự tháp có thuộc mặt phẳng (P) hay không?....

• Luyện tập 2 trang 87 Toán 11 Tập 1: Vẽ hình biểu diễn của mặt phẳng (P) và đường thẳng a xuyên qua nó.....

• Hoạt động 3 trang 87 Toán 11 Tập 1: Hình 9 là hình ảnh xà ngang trong môn Nhảy cao.....

• Hoạt động 4 trang 87 Toán 11 Tập 1: Quan sát Hình 10. Đó là hình ảnh bếp củi với kiềng ba chân. “Kiềng ba chân” là vận dụng bằng sắt, có hình vòng cung được gắn ba chân....

• Hoạt động 5 trang 89 Toán 11 Tập 1: Hình 15 mô tả một phần của phòng học. Nếu coi bức tường chứa bảng và sàn nhà là hình ảnh của hai mặt phẳng thì giao hai mặt phẳng đó là gì? ....

• Luyện tập 3 trang 89 Toán 11 Tập 1: Trong Ví dụ 4 xác định giao tuyến của hai mặt phẳng (SAC) và (SBD). ....

• Hoạt động 6 trang 90 Toán 11 Tập 1: Cho điểm A không thuộc đường thẳng d. Lấy hai điểm B và C thuộc đường thẳng d (Hình 18). ....

• Hoạt động 7 trang 90 Toán 11 Tập 1: Cho hai đường thẳng a và b cắt nhau tại O. Lấy điểm A trên đường thẳng a (A khác O), lấy điểm B trên đường thẳng b (B khác O) (Hình 19). ....

• Luyện tập 4 trang 90 Toán 11 Tập 1: Trong mặt phẳng (P) cho tam giác ABC. Điểm D không thuộc mặt phẳng (P). Hỏi qua hai đường thẳng AD và BC có xác định được một mặt phẳng không? ...

• Hoạt động 8 trang 91 Toán 11 Tập 1: Hình 22 là hình ảnh của một hộp quà lưu niệm có dạng hình chóp tứ giác đều S.ABCD. Quan sát Hình 22 và trả lời các câu hỏi: ....

• Luyện tập 5 trang 92 Toán 11 Tập 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh SA và AD....

• Hoạt động 9 trang 92 Toán 11 Tập 1: Hình 25 là hình ảnh của khối rubik tam giác (Pyraminx). Quan sát Hình 25 và trả lời các câu hỏi: ...

• Luyện tập 6 trang 93 Toán 11 Tập 1: Cho tứ diện ABCD. Các điểm M, N, P lần lượt thuộc các cạnh AB, AD, BC sao cho $\frac{AM}{AB}=\frac{1}{3},\frac{AN}{AD}=\frac{2}{3},\frac{BP}{BC}=\frac{3}{4}$....

• Bài 1 trang 94 Toán 11 Tập 1: Khi trát tường, dụng cụ không thể thiếu của người thợ là thước dẹt dài (Hình 28). Công dụng của thước dẹt này là gì? Giải thích. ....

• Bài 2 trang 94 Toán 11 Tập 1: Hình 29 là hình ảnh của chặn giấy gỗ có bốn mặt phân biệt là các tam giác. Vẽ hình biểu diễn của chặn giấy bằng gỗ đó. ....

• Bài 3 trang 94 Toán 11 Tập 1: Cho ba đường thẳng a, b, c không cùng nằm trong một mặt phẳng và đôi một cắt nhau. Chứng minh rằng ba đường thẳng a, b, c cùng đi qua một điểm, hay còn gọi là ba đường thẳng đồng quy. ....

• Bài 4 trang 94 Toán 11 Tập 1: Cho hình chóp S.ABCD có AC cắt BD tại O và AB cắt CD tại P. Điểm M thuộc cạnh SA (M khác S, M khác A). ...

• Bài 5 trang 94 Toán 11 Tập 1: Cho hình chóp S.ABC. Các điểm M, N lần lượt thuộc các cạnh SA, SC sao cho MA = 2MS, NS = 2NC....

• Bài 6 trang 94 Toán 11 Tập 1: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy không là hình thang. Gọi M là trung điểm của SA.....

Các bài học để học tốt Toán 11 Bài 1: Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian:

• Giải SBT Toán 11 Bài 1: Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian

  Xem lời giải

• Lý thuyết Toán 11 Bài 1: Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian

  Xem chi tiết

• Trắc nghiệm Toán 11 Bài 1: Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian

  Xem chi tiết

Xem thêm lời giải bài tập Toán lớp 11 Cánh diều hay, chi tiết khác:

• Toán 11 Chủ đề 1: Một số hình thức đầu tư tài chính

• Toán 11 Bài 2: Hai đường thẳng song song trong không gian

• Toán 11 Bài 3: Đường thẳng và mặt phẳng song song

• Toán 11 Bài 4: Hai mặt phẳng song song

• Toán 11 Bài 5: Hình lăng trụ và hình hộp

• Toán 11 Bài 6: Phép chiếu song song. Hình biểu diễn của một hình không gian

Xem thêm các tài liệu học tốt lớp 11 hay khác:

• Giải sgk Toán 11 Cánh diều
• Giải Chuyên đề học tập Toán 11 Cánh diều
• Giải SBT Toán 11 Cánh diều
• Giải lớp 11 Cánh diều (các môn học)
• Giải lớp 11 Kết nối tri thức (các môn học)
• Giải lớp 11 Chân trời sáng tạo (các môn học)

---