Bài 5.26 trang 124 Toán 11 Tập 1 - Kết nối tri thức

Trang trước Trang sau

Giải Toán 11 Bài tập cuối Chương 5 - Kết nối tri thức

Giải sgk Toán 11 Bài tập cuối Chương 5

Bài 5.26 trang 124 Toán 11 Tập 1: Tìm giới hạn của các dãy số có số hạng tổng quát cho bởi công thức sau:

a) $u_{n} = \frac{n^{2}}{3 n^{2} + 7 n - 2}$ ;

b) $v_{n} = \sum_{k = 0}^{n} \frac{3^{k} + 5^{k}}{6^{k}}$ ;

c) $w_{n} = \frac{\sin n}{4 n}$ .

Quảng cáo

Lời giải:

a) $u_{n} = \frac{n^{2}}{3 n^{2} + 7 n - 2}$

Ta có: $\lim_{n \to + \infty} u_{n} = \lim_{n \to + \infty} \frac{n^{2}}{3 n^{2} + 7 n - 2}$ $= \lim_{n \to + \infty} \frac{n^{2}}{n^{2} (3 + \frac{7}{n} - \frac{2}{n^{2}})}$ $= \lim_{n \to + \infty} \frac{1}{3 + \frac{7}{n} - \frac{2}{n^{2}}} = \frac{1}{3}$

b) $v_{n} = \sum_{k = 0}^{n} \frac{3^{k} + 5^{k}}{6^{k}}$ $= \frac{3^{0} + 5^{0}}{6^{0}} + \frac{3^{1} + 5^{1}}{6^{1}} + \frac{3^{2} + 5^{2}}{6^{2}} + ... + \frac{3^{n} + 5^{n}}{6^{n}}$

$= (\frac{3^{0}}{6^{0}} + \frac{5^{0}}{6^{0}}) + (\frac{3^{1}}{6^{1}} + \frac{5^{1}}{6^{1}}) + (\frac{3^{2}}{6^{2}} + \frac{5^{2}}{6^{2}}) + ... + (\frac{3^{n}}{6^{n}} + \frac{5^{n}}{6^{n}})$

$= ({(\frac{1}{2})}^{0} + {(\frac{5}{6})}^{0}) + ({(\frac{1}{2})}^{1} + {(\frac{5}{6})}^{1}) + ({(\frac{1}{2})}^{2} + {(\frac{5}{6})}^{2}) + ... + ({(\frac{1}{2})}^{n} + {(\frac{5}{6})}^{n})$

Bài 5.26 trang 124 Toán 11 Tập 1 | Kết nối tri thức Giải Toán 11

Vì ${(\frac{1}{2})}^{1} + {(\frac{1}{2})}^{2} + ... + {(\frac{1}{2})}^{n}$ là tổng n số hạng đầu của cấp số nhân với số hạng đầu là ${(\frac{1}{2})}^{1} = \frac{1}{2}$ và công bội là $\frac{1}{2}$ nên

${(\frac{1}{2})}^{0} + {(\frac{1}{2})}^{1} + {(\frac{1}{2})}^{2} + ... + {(\frac{1}{2})}^{n} = {(\frac{1}{2})}^{0} + \frac{\frac{1}{2} (1 - {(\frac{1}{2})}^{n})}{1 - \frac{1}{2}}$ $= 1 + (1 - {(\frac{1}{2})}^{n}) = 2 - {(\frac{1}{2})}^{n}$ .

Tương tự, ta tính được:

${(\frac{5}{6})}^{0} + {(\frac{5}{6})}^{1} + {(\frac{5}{6})}^{2} + ... + {(\frac{5}{6})}^{n} = {(\frac{5}{6})}^{0} + \frac{\frac{5}{6} (1 - {(\frac{5}{6})}^{n})}{1 - \frac{5}{6}}$ $= 1 + 5 (1 - {(\frac{5}{6})}^{n}) = 6 - 5 \cdot {(\frac{5}{6})}^{n}$ .