Hoạt động 4 trang 6 Toán 12 Tập 2 Cánh diều

Giải Toán 12 Bài 1: Nguyên hàm - Cánh diều

Hoạt động 4 trang 6 Toán 12 Tập 2: Cho f(x), g(x) là hai hàm số liên tục trên K.

a) Giả sử F(x), G(x) lần lượt là nguyên hàm của các hàm số f(x), g(x) trên K. Hỏi F(x) + G(x) có phải là nguyên hàm của hàm số f(x) + g(x) trên K hay không?

b) Giả sử H(x), F(x) lần lượt là nguyên hàm của các hàm số f(x) + g(x), f(x) trên K. Đặt G(x) = H(x) – F(x) trên K. Hỏi G(x) có phải là nguyên hàm của hàm số g(x) trên K hay không?

c) Nêu nhận xét về $\int \left[f\left(x\right)+g\left(x\right)\right]dx$ và $\int f\left(x\right)dx+\int g\left(x\right)dx$

Lời giải:

a) Vì F(x), G(x) lần lượt là nguyên hàm của các hàm số f(x), g(x) trên K nên ta suy ra F'(x) = f(x), G'(x) = g(x).

Do đó, F'(x) + G'(x) = f(x) + g(x).

Mà F'(x) + G'(x) = [F(x) + G(x)]' nên [F(x) + G(x)]' = f(x) + g(x).

Từ đó suy ra F(x) + G(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) + g(x) trên K.

b) Vì H(x), F(x) lần lượt là nguyên hàm của các hàm số f(x) + g(x), f(x) trên K nên ta suy ra H'(x) = f(x) + g(x), F'(x) = f(x).

Ta có G(x) = H(x) – F(x).

Suy ra G'(x) = [H(x) – F(x)]' = H'(x) – F'(x) = f(x) + g(x) – f(x) = g(x).

Vậy G(x) là một nguyên hàm của hàm số g(x) trên K.

c) Từ câu a, ta suy ra $\int \left[f\left(x\right)+g\left(x\right)\right]dx=F\left(x\right)+G\left(x\right)+C$ . (1)

Lại có $\int f\left(x\right)dx+\int g\left(x\right)dx=\left[F\left(x\right)+C_1\right]+\left[G\left(x\right)+C_2\right]=F\left(x\right)+G\left(x\right)+\left(C_1+C_2\right)$ .

Vì C, C₁, C₂ là các hằng số tùy ý trên K nên ta có C₁ + C₂ = C tùy ý trên K.

Do đó, $\int f\left(x\right)dx+\int g\left(x\right)dx=F\left(x\right)+G\left(x\right)+C$ . (2)

Từ (1) và (2) suy ra $\int \left[f\left(x\right)+g\left(x\right)\right]dx=\int f\left(x\right)dx+\int g\left(x\right)dx$

Lời giải bài tập Toán 12 Bài 1: Nguyên hàm hay, chi tiết khác:

• Câu hỏi khởi động trang 3 Toán 12 Tập 2: Một hòn đá rơi từ mỏm đá có độ cao 150 m so với mặt đất theo phương thẳng đứng....

• Hoạt động 1 trang 3 Toán 12 Tập 2: Cho hàm số F(x) = x³, x ∈ (– ∞; + ∞). Tính F'(x).....

• Luyện tập 1 trang 4 Toán 12 Tập 2: Hàm số F(x) = cot x là nguyên hàm của hàm số nào? Vì sao? ....

• Hoạt động 2 trang 4 Toán 12 Tập 2: Cho hàm số F(x) = x³ – 1, x ∈ ℝ và G(x) = x³ + 5, x ∈ ℝ.....

• Luyện tập 2 trang 4 Toán 12 Tập 2: Tìm tất cả các nguyên hàm của hàm số f(x) = cos x trên ℝ. ....

• Luyện tập 3 trang 5 Toán 12 Tập 2: Chứng tỏ rằng $\int k{x}^{2}dx=\frac{k}{3}{x}^3+C\left(k\ne 0\right)$.....

• Hoạt động 3 trang 5 Toán 12 Tập 2: Cho f(x) là hàm số liên tục trên K, k là hằng số thực khác 0. Giả sử F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K....

• Luyện tập 4 trang 6 Toán 12 Tập 2: Chứng tỏ rằng $\int \left(n+1\right)x^{n}dx=x^{n+1}+C$ với n là số nguyên dương. ....

• Luyện tập 5 trang 7 Toán 12 Tập 2: Tìm $\int \left(2x^2-3x+5\right)dx$ .....

• Bài 1 trang 7 Toán 12 Tập 2: Hàm số F(x) = x³ + 5 là nguyên hàm của hàm số....

• Bài 2 trang 7 Toán 12 Tập 2: Tìm nguyên hàm của các hàm số sau: a) f(x) = 3x² + x;....

• Bài 3 trang 7 Toán 12 Tập 2: Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số f(x) = 6x⁵ + 2x – 3, biết F(– 1) = – 5.....

• Bài 4 trang 8 Toán 12 Tập 2: Một vườn ươm cây cảnh bán một cây sau 6 năm trồng và uốn tạo dáng. Tốc độ tăng trưởng trong suốt 6 năm được tính xấp xỉ bởi công thức h'(t) = 1,5t + 5....

• Bài 5 trang 8 Toán 12 Tập 2: Tại một lễ hội dân gian, tốc độ thay đổi lượng khách tham dự được biểu diễn bằng hàm số...

• Bài 6 trang 8 Toán 12 Tập 2: Đối với các dự án xây dựng, chi phí nhân công lao động được tính theo số ngày công.....

Xem thêm lời giải bài tập Toán lớp 12 Cánh diều hay, chi tiết khác:

• Toán 12 Bài 2: Nguyên hàm của một số hàm số sơ cấp

• Toán 12 Bài 3: Tích phân

• Toán 12 Bài 4: Ứng dụng hình học của tích phân

• Toán 12 Bài tập cuối chương 4

• Toán 12 Chủ đề 2: Thực hành tạo đồng hồ Mặt Trời

Xem thêm các tài liệu học tốt lớp 12 hay khác:

• Giải sgk Toán 12 Cánh diều
• Giải Chuyên đề học tập Toán 12 Cánh diều
• Giải SBT Toán 12 Cánh diều
• Giải lớp 12 Cánh diều (các môn học)
• Giải lớp 12 Kết nối tri thức (các môn học)
• Giải lớp 12 Chân trời sáng tạo (các môn học)

---