Chứng minh rằng, với mọi n thuộc N sao, ta có 5^2n -1 chia hết cho 24

Giải Chuyên đề Toán 10 Bài 1: Phương pháp quy nạp toán học

Bài 2 trang 32 Chuyên đề Toán 10: Chứng minh rằng, với mọi $n\in {\mathrm{\mathbb{N}}}^{*}$, ta có:

a) 5²ⁿ – 1 chia hết cho 24;

b) n³ + 5n chia hết cho 6.

Lời giải:

a) Bước 1. Với n = 1, ta có 5^2.1 – 1 = 24 ⁝ 24. Do đó khẳng định đúng với n = 1.

Bước 2. Giả sử khẳng định đúng với n = k ≥ 1, nghĩa là có: 5^2k – 1 ⁝ 24.

Ta cần chứng minh đẳng thức đúng với n = k + 1, nghĩa là cần chứng minh:

5^{2(k + 1)} – 1 ⁝ 24.

Sử dụng giả thiết quy nạp, ta có:

5^{2(k + 1)} – 1 = 5^{2k + 2} – 1 = 25 . 5^2k – 1 = 24 . 5^2k + (5^2k – 1)

Vì 24 . 5^2k và (5^2k – 1) đều chia hết cho 24 nên 24 . 5^2k + (5^2k – 1) ⁝ 24 hay 5^{2(k + 1)} – 1 ⁝ 24.

Vậy khẳng định đúng với n = k + 1.

Theo nguyên lí quy nạp toán học, khẳng định đúng với mọi số tự nhiên n ≥ 1.

b) Bước 1. Với n = 1, ta có 1³ + 5 . 1 = 6 ⁝ 6. Do đó khẳng định đúng với n = 1.

Bước 2. Giả sử khẳng định đúng với n = k ≥ 1, nghĩa là có: k³ + 5k ⁝ 6.

Ta cần chứng minh đẳng thức đúng với n = k + 1, nghĩa là cần chứng minh:

(k + 1)³ + 5(k + 1) ⁝ 6.

Sử dụng giả thiết quy nạp, ta có:

(k + 1)³ + 5(k + 1) = k³ + 3k² + 3k + 1 + 5k + 5 = (k³ + 5k) + (3k² + 3k) + 6

= (k³ + 5k) + 3k(k + 1) + 6.

Vì k và k + 1 là hai số tự nhiên liên tiếp nên có một số chia hết cho 2, do đó 3k(k + 1) ⁝ 6.

Do đó (k³ + 5k) và 3k(k + 1) đều chia hết cho 6, suy ra (k³ + 5k) + 3k(k + 1) + 6 ⁝ 6 hay (k + 1)³ + 5(k + 1) ⁝ 6.

Vậy khẳng định đúng với n = k + 1.

Theo nguyên lí quy nạp toán học, khẳng định đúng với mọi số tự nhiên n ≥ 1.

Xem thêm lời giải bài tập Chuyên đề học tập Toán 10 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác:

• Khởi động trang 27 Chuyên đề Toán 10: Trong một trò chơi domino, các quân domino được xếp theo thứ tự từ quân đầu tiên đến quân cuối cùng. Biết rằng xảy ra hai điều sau: ....

• Khám phá 1 trang 27 Chuyên đề Toán 10: Bằng cách tô màu trên lưới ô vuông như hình dưới đây, một học sinh phát hiện ra công thức sau: ....

• Thực hành 1 trang 29 Chuyên đề Toán 10: Chứng minh rằng đẳng thức sau đúng với mọi $n\in {\mathrm{\mathbb{N}}}^{*}$ ....

• Thực hành 2 trang 29 Chuyên đề Toán 10: Chứng minh rằng bất đẳng thức sau đúng với mọi số tự nhiên n ≥ 3: 2^{n + 1} > n² + n + 2....

• Thực hành 3 trang 31 Chuyên đề Toán 10: Chứng minh rằng n³ + 2n chia hết cho 3 với mọi $n\in {\mathrm{\mathbb{N}}}^{*}$ ....

• Thực hành 4 trang 31 Chuyên đề Toán 10: Chứng minh rằng đẳng thức sau đúng với mọi $n\in {\mathrm{\mathbb{N}}}^{*}$ ....

• Thực hành 5 trang 31 Chuyên đề Toán 10: Chứng minh rằng trong mặt phẳng, n đường thẳng khác nhau cùng đi qua một điểm chia mặt phẳng thành 2n phần ($n\in {\mathrm{\mathbb{N}}}^{*}$) ....

• Vận dụng trang 31 Chuyên đề Toán 10: (Công thức lãi kép) Một khoản tiền A đồng (gọi là vốn) được gửi tiết kiệm có kì hạn ở một ngân hàng theo thể thức lãi kép (tiền lãi sau mỗi kì hạn nếu không rút ra thì được cộng vào vốn của kì kế tiếp) ....

• Bài 1 trang 32 Chuyên đề Toán 10: Chứng minh các đẳng thức sau đúng với mọi $n\in {\mathrm{\mathbb{N}}}^{*}$ ....

• Bài 3 trang 32 Chuyên đề Toán 10: Chứng minh rằng nếu x > –1 thì (1 + x)ⁿ ≥ 1 + nx với mọi $n\in {\mathrm{\mathbb{N}}}^{*}$ ....

• Bài 4 trang 32 Chuyên đề Toán 10: Cho a, b ≥ 0. Chứng minh rằng bất đẳng thức sau đúng với mọi $n\in {\mathrm{\mathbb{N}}}^{*}:$ ....

• Bài 5 trang 32 Chuyên đề Toán 10: Chứng minh rằng bất đẳng thức sau đúng với mọi số tự nhiên n ≥ 2: ....

• Bài 6 trang 32 Chuyên đề Toán 10: Trong mặt phẳng, cho đa giác A₁ A₂ A₃... A_n có n cạnh (n ≥ 3). Gọi S_n là tổng số đo các góc trong của đa giác. ....

• Bài 7 trang 32 Chuyên đề Toán 10: Hàng tháng, một người gửi vào ngân hàng một khoản tiền tiết kiệm không đổi a đồng. Giả sử lãi suất hằng tháng là r không đổi và theo thể thức lãi kép (tiền lãi của tháng trước được cộng vào vốn của tháng kế tiếp) ....

Săn shopee siêu SALE :

• Sổ lò xo Art of Nature Thiên Long màu xinh xỉu
• Biti's ra mẫu mới xinh lắm
• Tsubaki 199k/3 chai
• L'Oreal mua 1 tặng 3

---