Hàng tháng, một người gửi vào ngân hàng một khoản tiền tiết kiệm không đổi a đồng

Giải Chuyên đề Toán 10 Bài 1: Phương pháp quy nạp toán học

Bài 7 trang 32 Chuyên đề Toán 10:

Hàng tháng, một người gửi vào ngân hàng một khoản tiền tiết kiệm không đổi a đồng. Giả sử lãi suất hằng tháng là r không đổi và theo thể thức lãi kép (tiền lãi của tháng trước được cộng vào vốn của tháng kế tiếp). Gọi T_n (n ≥ 1) là tổng tiền vốn và lãi của người đó có trong ngân hàng tại thời điểm ngay sau khi gửi vào khoản thứ n + 1.

a) Tính T₁, T₂, T₃.

b) Dự đoán công thức tính T_n và chứng minh công thức đó bằng phương pháp quy nạp toán học.

Lời giải:

a)

– T₁ là tổng tiền vốn và lãi của người đó có trong ngân hàng tại thời điểm ngay sau khi gửi vào khoản thứ 2:

T₁ = (a + ar) + a = a(1 + r) + a = a[(1 + r) + 1].

– T₂ là tổng tiền vốn và lãi của người đó có trong ngân hàng tại thời điểm ngay sau khi gửi vào khoản thứ 3:

T₂ = T₁ + T₁ . r + a

= a[(1 + r) + 1] + a[(1 + r) + 1]r + a

= a[(1 + r) + 1](1 + r) + a

= a(1 + r)² + a(1 + r) + a

= a[(1 + r)² + (1 + r) + 1].

– T₃ là tổng tiền vốn và lãi của người đó có trong ngân hàng tại thời điểm ngay sau khi gửi vào khoản thứ 4:

T₃ = T₂ + T₂ . r + a

= a[(1 + r)² + (1 + r) + 1] + a[(1 + r)² + (1 + r) + 1]r + a

= a[(1 + r)² + (1 + r) + 1](1 + r) + a

= a(1 + r)³ + a(1 + r)² + a(1 + r) + a

= a[(1 + r)³ + (1 + r)² + (1 + r) + 1].

b) Từ câu a) ta có thể dự đoán:

T_n = a[(1 + r)ⁿ + ... + (1 + r)² + (1 + r) + 1]

$=a.\frac{1-{(1+r)}^{n+1}}{1-(1+r)}=a.\frac{1-{(1+r)}^{n+1}}{-r}=a.\frac{{(1+r)}^{n+1}-1}{r}.$

Ta chứng minh bằng quy nạp toán học.

Bước 1. Với n = 1 ta có:

T₁ = a[(1 + r) + 1]$=a.\frac{r^2+2r}{r}=a.\frac{(r^2+2r+1)-1}{r}=a.\frac{{(1+r)}^2-1}{r}=a.\frac{{(1+r)}^{1+1}-1}{r}.$          

Như vậy khẳng định đúng cho trường hợp n = 1.

Bước 2. Giả sử khẳng định đúng với n = k ≥ 1, tức là ta có: T_k = $a.\frac{{(1+r)}^{k+1}-1}{r}.$

Ta sẽ chứng minh rằng khẳng định cũng đủng với n = k + 1, nghĩa là ta sẽ chứng minh: T_{k + 1} = $a.\frac{{(1+r)}^{(k+1)+1}-1}{r}.$

Thật vậy,

T_{k + 1} = T_k + T_k . r + a

$=a.\frac{{(1+r)}^{k+1}-1}{r}+a.\frac{{(1+r)}^{k+1}-1}{r}.r+a$

$=a[\frac{{(1+r)}^{k+1}-1}{r}+\frac{{(1+r)}^{k+1}-1}{r}.r+1]$

$=a[\frac{{(1+r)}^{k+1}-1}{r}+\frac{[{(1+r)}^{k+1}-1]r}{r}+\frac{r}{r}]$

$=a.\frac{{(1+r)}^{k+1}-1+[{(1+r)}^{k+1}-1]r+r}{r}$

$=a.\frac{{(1+r)}^{k+1}-1+r{(1+r)}^{k+1}-r+r}{r}$

$=a.\frac{{(1+r)}^{k+1}-1+r{(1+r)}^{k+1}}{r}$

$=a.\frac{(1+r){(1+r)}^{k+1}-1}{r}$

$=a.\frac{{(1+r)}^{k+2}-1}{r}$

$=a.\frac{{(1+r)}^{(k+1)+2}-1}{r}.$

Vậy khẳng định đúng với n = k + 1.

Theo nguyên lí quy nạp toán học, khẳng định đúng với mọi số tự nhiên n ≥ 1.

Vậy T_n = $a.\frac{{(1+r)}^{n+1}-1}{r}$ với mọi số tự nhiên n ≥ 1.

Xem thêm lời giải bài tập Chuyên đề học tập Toán 10 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác:

• Khởi động trang 27 Chuyên đề Toán 10: Trong một trò chơi domino, các quân domino được xếp theo thứ tự từ quân đầu tiên đến quân cuối cùng. Biết rằng xảy ra hai điều sau: ....

• Khám phá 1 trang 27 Chuyên đề Toán 10: Bằng cách tô màu trên lưới ô vuông như hình dưới đây, một học sinh phát hiện ra công thức sau: ....

• Thực hành 1 trang 29 Chuyên đề Toán 10: Chứng minh rằng đẳng thức sau đúng với mọi $n\in {\mathrm{\mathbb{N}}}^{*}$ ....

• Thực hành 2 trang 29 Chuyên đề Toán 10: Chứng minh rằng bất đẳng thức sau đúng với mọi số tự nhiên n ≥ 3: 2^{n + 1} > n² + n + 2....

• Thực hành 3 trang 31 Chuyên đề Toán 10: Chứng minh rằng n³ + 2n chia hết cho 3 với mọi $n\in {\mathrm{\mathbb{N}}}^{*}$ ....

• Thực hành 4 trang 31 Chuyên đề Toán 10: Chứng minh rằng đẳng thức sau đúng với mọi $n\in {\mathrm{\mathbb{N}}}^{*}$ ....

• Thực hành 5 trang 31 Chuyên đề Toán 10: Chứng minh rằng trong mặt phẳng, n đường thẳng khác nhau cùng đi qua một điểm chia mặt phẳng thành 2n phần ($n\in {\mathrm{\mathbb{N}}}^{*}$) ....

• Vận dụng trang 31 Chuyên đề Toán 10: (Công thức lãi kép) Một khoản tiền A đồng (gọi là vốn) được gửi tiết kiệm có kì hạn ở một ngân hàng theo thể thức lãi kép (tiền lãi sau mỗi kì hạn nếu không rút ra thì được cộng vào vốn của kì kế tiếp) ....

• Bài 1 trang 32 Chuyên đề Toán 10: Chứng minh các đẳng thức sau đúng với mọi $n\in {\mathrm{\mathbb{N}}}^{*}$ ....

• Bài 2 trang 32 Chuyên đề Toán 10: Chứng minh rằng, với mọi $n\in {\mathrm{\mathbb{N}}}^{*}$, ta có: ....

• Bài 3 trang 32 Chuyên đề Toán 10: Chứng minh rằng nếu x > –1 thì (1 + x)ⁿ ≥ 1 + nx với mọi $n\in {\mathrm{\mathbb{N}}}^{*}$ ....

• Bài 4 trang 32 Chuyên đề Toán 10: Cho a, b ≥ 0. Chứng minh rằng bất đẳng thức sau đúng với mọi $n\in {\mathrm{\mathbb{N}}}^{*}:$ ....

• Bài 5 trang 32 Chuyên đề Toán 10: Chứng minh rằng bất đẳng thức sau đúng với mọi số tự nhiên n ≥ 2: ....

• Bài 6 trang 32 Chuyên đề Toán 10: Trong mặt phẳng, cho đa giác A₁ A₂ A₃... A_n có n cạnh (n ≥ 3). Gọi S_n là tổng số đo các góc trong của đa giác. ....

Xem thêm các tài liệu học tốt lớp 10 hay khác:

• Giải Chuyên đề học tập Toán 10 Kết nối tri thức
• Giải Chuyên đề học tập Toán 10 Chân trời sáng tạo
• Giải Chuyên đề học tập Toán 10 Cánh diều
• Giải lớp 10 Kết nối tri thức (các môn học)
• Giải lớp 10 Chân trời sáng tạo (các môn học)
• Giải lớp 10 Cánh diều (các môn học)

---