Biểu thức tọa độ của các phép toán vectơ lớp 10 (hay, chi tiết)

Bài viết Biểu thức tọa độ của các phép toán vectơ trình bày đầy đủ công thức, ví dụ minh họa có lời giải chi tiết và các bài tập tự luyện giúp học sinh nắm vững kiến thức trọng tâm về Biểu thức tọa độ của các phép toán vectơ từ đó học tốt môn Toán.

Biểu thức tọa độ của các phép toán vectơ lớp 10 (hay, chi tiết)

1. Công thức

a) Biểu thức tọa độ của các phép toán vectơ

Cho $\overrightarrow{u}(x;y)$ và $\overrightarrow{v}(x\text{'};y\text{'})$, khi đó ta có:

• $\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}=(x+x\text{'};y+y\text{'})$
• $\overrightarrow{u}-\overrightarrow{v}=(x-x\text{'};y-y\text{'})$
• $k\overrightarrow{u}=\left(kx;ky\right)$, với k ∈ ℝ.

b) Các tính chất:

- Tính chất của phép cộng vectơ:

• Tính chất giao hoán: $\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}=\overrightarrow{v}+\overrightarrow{u}$.
• Tính chất kết hợp: $(\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v})+\overrightarrow{w}=\overrightarrow{u}+(\overrightarrow{v}+\overrightarrow{w})$.
• Tính chất cộng với vectơ - không: $\overrightarrow{u}+\overrightarrow{0}=\overrightarrow{0}+\overrightarrow{u}=\overrightarrow{u}$.

- Tính chất của nhân vectơ với một số: Với hai vectơ $\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}$ và hai số thực k, t ta có:

• $k\left(t\overrightarrow{u}\right)=\left(kt\right)\overrightarrow{u}$.
• $k(\overrightarrow{u}\pm \overrightarrow{v})=k\overrightarrow{u}\pm k\overrightarrow{v}$.
• $(k+t)\overrightarrow{u}=k\overrightarrow{u}+t\overrightarrow{u}$.
• $1.\overrightarrow{u}=\overrightarrow{u};(-1).\overrightarrow{u}=-\overrightarrow{u}$.

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Cho các vectơ $\overrightarrow{u}(1;-2)$, $\overrightarrow{v}(0;5)$ và $\overrightarrow{w}(3;8)$. Tìm tọa độ vectơ của các vectơ sau:

a) $\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}$.

b) $\overrightarrow{u}-\overrightarrow{v}$.

c) $4\overrightarrow{w}$.

Hướng dẫn giải:

a) $\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}=(1+0;-2+5)=(1;3)$.

b) $\overrightarrow{u}-\overrightarrow{v}=(1-0;-2-5)=(1;-7)$.

c) $4\overrightarrow{w}=(4.3;4.8)=(12;32)$.

Ví dụ 2. Cho $\overrightarrow{u}(-4;-1)$, $\overrightarrow{v}(8;6)$ và $\overrightarrow{w}(3;0)$. Tìm tọa độ các vectơ sau:

a) $2\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}$.

b) $\overrightarrow{u}-\overrightarrow{v}-\overrightarrow{w}$.

c) $\overrightarrow{u}+3\overrightarrow{v}-\overrightarrow{w}$.

Hướng dẫn giải:

a) Ta có $2\overrightarrow{u}=(-8;-2)$.

$2\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}=(-8+8;-2+6)=(0;4)$.

b) Ta có $\overrightarrow{u}-\overrightarrow{v}=(-4-8;-1-6)=(-12;-7)$.

Vậy $\overrightarrow{u}-\overrightarrow{v}-\overrightarrow{w}=(-12-3;-7-0)=(-15;-7)$.

c) Ta có .

Vậy .

3. Bài tập tự luyện

Bài 1. Cho $\overrightarrow{a}(0;3)$ và $\overrightarrow{b}(1;0)$. Tìm tọa độ vectơ $2\overrightarrow{a}-3\overrightarrow{b}$.

Bài 2. Cho $\overrightarrow{a}(-1;-2)$, $\overrightarrow{b}(2;7)$ và $\overrightarrow{c}\left(3;9\right)$. Tìm tọa độ vectơ $\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}$.

Bài 3. Cho $\overrightarrow{u}(10;7)$ và $\overrightarrow{v}\left(4;\frac{11}{2}\right)$. Tìm tọa độ của vectơ $-\overrightarrow{u}-4\overrightarrow{v}$.

Bài 4. Cho $\overrightarrow{u}(8;-1)$ và $\overrightarrow{v}\left(0;\frac{1}{4}\right)$. Biết $\overrightarrow{w}=\overrightarrow{u}+8\overrightarrow{v}$, tính tổng hoành độ và tung độ của vectơ $\overrightarrow{w}$.

Bài 5. Cho $\overrightarrow{k}(m-2;3)$ và $\overrightarrow{h}(2;9+n)$. Biết $\overrightarrow{k}-\overrightarrow{h}=(-1;5)$, tìm m và n.

Xem thêm các bài viết về công thức Toán hay, chi tiết khác:

• Liên hệ giữa tọa độ điểm và tọa độ của một vectơ trong mặt phẳng

• Công thức tọa độ trung điểm của đoạn thẳng và trọng tâm của tam giác

• Công thức liên quan đến tọa độ về điều kiện để hai vectơ vuông góc, cùng phương

• Công thức tính độ dài của vectơ thông qua tọa độ của vectơ đó

• Công thức tính tích vô hướng của hai vectơ thông qua tọa độ của vectơ đó

---