Công thức tính tích vô hướng của hai vectơ lớp 10 (hay, chi tiết)

Bài viết Công thức tính tích vô hướng của hai vectơ lớp 10 trình bày đầy đủ công thức, ví dụ minh họa có lời giải chi tiết và các bài tập tự luyện giúp học sinh nắm vững kiến thức trọng tâm về Công thức tính tích vô hướng của hai vectơ thông qua tọa độ của vectơ đó từ đó học tốt môn Toán.

Công thức tính tích vô hướng của hai vectơ lớp 10 (hay, chi tiết)

1. Công thức

- Tích vô hướng của hai vectơ $\overrightarrow{u}=(x;y)$ và $\overrightarrow{v}(x\text{'};y\text{'})$ được xác định bởi công thức:

$\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=xx\text{'}+yy\text{'}$.

- Bình phương vô hướng của vectơ $\overrightarrow{u}=(x;y)$ là ${\overrightarrow{u}}^2=x^2+y^2$.

- Tính chất của tích vô hướng: Với ba vectơ $\overrightarrow{u},\overrightarrow{v},\overrightarrow{w}$ và số thực k bất kì ta có:

+ $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=\overrightarrow{v}.\overrightarrow{u}$.

+ $\overrightarrow{u}.\left(\overrightarrow{v}\pm \overrightarrow{w}\right)=\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}\pm \overrightarrow{u}.\overrightarrow{w}$.

+ $\left(k\overrightarrow{u}\right).\overrightarrow{v}=\left(k\overrightarrow{v}\right).\overrightarrow{u}=k(\overrightarrow{v}.\overrightarrow{u})$.

+ ${(\overrightarrow{u}\pm \overrightarrow{v})}^2={\overrightarrow{u}}^2\pm 2\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}+{\overrightarrow{v}}^2$.

+ $\left(\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}\right)(\overrightarrow{u}-\overrightarrow{v})={\overrightarrow{u}}^2-{\overrightarrow{v}}^2$.

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Cho $\overrightarrow{u}=(0;2)$, $\overrightarrow{v}=(1;6)$ và $\overrightarrow{w}=(-3;4)$. Tính các tích vô hướng sau:

a) $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}$.

b) $2\overrightarrow{v}.\overrightarrow{w}$.

c) $\overrightarrow{u}(\overrightarrow{w}-\overrightarrow{v})$.

Hướng dẫn giải:

a) Ta có $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=0.1+2.6=12$.

b) $2\overrightarrow{v}.\overrightarrow{w}=2.(\overrightarrow{v}.\overrightarrow{w})=2\left(1.(-3)+6.4\right)=2.21=42$.

c) $\overrightarrow{u}(\overrightarrow{w}-\overrightarrow{v})=\overrightarrow{u}.\overrightarrow{w}-\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=\left(0.(-3)+2.4\right)-(0.1+2.6)=8-12=-4$.

Ví dụ 2. Cho tam giác ABC có tọa độ các điểm A(6; 5), B(–2;5), C(–1; –4). Tính các tích vô hướng sau:

a) $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}$.

b) ${(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC})}^2$.

c) $\left(\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{AC}\right)\left(\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{AC}\right)$.

Hướng dẫn giải:

a) Ta có

$\overrightarrow{AB}=(-2-6;5-5)=(-8;0)$, $\overrightarrow{AC}=(-1-6;-4-5)=(-7;-9)$.

Suy ra $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=-8.(-7)+0.(-9)=56$.

b) Ta có ${(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC})}^2={\overrightarrow{AB}}^2+2\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}+{\overrightarrow{AC}}^2$.

$={(-8)}^2+0^2+2.56+{\left(-7\right)}^2+{\left(-9\right)}^2=64+112+49+81=306$.

c) $\left(\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{AC}\right)\left(\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{AC}\right)={\overrightarrow{BC}}^2-{\overrightarrow{AC}}^2$

Ta có $\overrightarrow{BC}=(-1+2;-4-5)=(1;-9)$, $\overrightarrow{AC}=(-7;-9)$.

Suy ra

$\left(\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{AC}\right)\left(\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{AC}\right)={\overrightarrow{BC}}^2-{\overrightarrow{AC}}^2=1^2+{\left(-9\right)}^2-{\left(-7\right)}^2-{\left(-9\right)}^2=1+49=50$

3. Bài tập tự luyện

Bài 1. Cho $\overrightarrow{a}=(1;-1)$, $\overrightarrow{b}=(3;8)$. Tính $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}$.

Bài 2. Cho $\overrightarrow{u}=(7;4)$ và $\overrightarrow{v}=(6;2)$. Tính $2\overrightarrow{u}.\overrightarrow{k}$, biết $\overrightarrow{k}=\overrightarrow{u}-4\overrightarrow{v}$.

Bài 3. Cho $\overrightarrow{a}=(3;4)$, $\overrightarrow{b}=(-1;2)$. Tính $\overrightarrow{c}.\overrightarrow{d}$, biết $\overrightarrow{c}=\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b};\overrightarrow{d}=\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$.

Bài 4. Cho $\overrightarrow{a}=(3;-2)$, $\overrightarrow{b}=(n;5)$, $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=2$. Tìm giá trị của n.

Bài 5. Cho $\overrightarrow{a}=(1;4)$, $\overrightarrow{b}=(-2;m)$, biết $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ cùng phương. Tính $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}$.

Xem thêm các bài viết về công thức Toán hay, chi tiết khác:

• Liên hệ giữa vectơ pháp tuyến và vectơ chỉ phương của đường thẳng

• Công thức xác định vị trí tương đối của hai đường thẳng

• Công thức tính góc giữa hai vectơ, hai đường thẳng

• Công thức tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng

• Công thức xác định tâm, bán kính của đường tròn

---