Liên hệ giữa vectơ pháp tuyến và vectơ chỉ phương của đường thẳng (hay, chi tiết)

Bài viết Liên hệ giữa vectơ pháp tuyến và vectơ chỉ phương của đường thẳng trình bày đầy đủ công thức, ví dụ minh họa có lời giải chi tiết và các bài tập tự luyện giúp học sinh nắm vững kiến thức trọng tâm về Liên hệ giữa vectơ pháp tuyến và vectơ chỉ phương của đường thẳng từ đó học tốt môn Toán.

Liên hệ giữa vectơ pháp tuyến và vectơ chỉ phương của đường thẳng (hay, chi tiết)

1. Công thức

- Nếu đường thẳng d có vectơ chỉ phương (VTCP) $\overrightarrow{u}(a;b)$ thì có vectơ pháp tuyến (VTPT) $\overrightarrow{n}(b;-a)$ hoặc $\overrightarrow{n}(-b;a)$.

- Ta có $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{n}=0$.

- Chú ý:

+ Nếu đường thẳng d có vectơ chỉ phương (VTCP) $\overrightarrow{u}(a;b)$ thì $k\overrightarrow{u}$ (k ≠ 0) cũng là VTCP của đường thẳng d.

+ Nếu d // d' thì

+ Nếu d ⊥ d' thì

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Đường thẳng d có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u}(-1;2)$.

a) Tìm một vectơ chỉ phương khác của đường thẳng d.

b) Tìm một vectơ pháp tuyến của đường thẳng d.

Hướng dẫn giải:

a) Đường thẳng d có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u}(-1;2)$ nên một vectơ chỉ phương khác của đường thẳng d có dạng $k\overrightarrow{u}$ (k ≠ 0). Chọn k = 2 ta được vectơ (–2; 4) cũng là một vectơ chỉ phương của đường thẳng d.

b) Đường thẳng d có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u}(-1;2)$ nên một vectơ pháp tuyến của đường thẳng d là $\overrightarrow{n}(2;1)$.

Ví dụ 2.

a) Cho đường thẳng d có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}(5;3)$. Biết đường thẳng d' vuông góc với đường thẳng d, tìm một vectơ chỉ phương của đường thẳng d'.

b) Cho đường thẳng d có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u}(0;-2)$. Biết đường thẳng d' song song với đường thẳng d, tìm một vectơ pháp tuyến của đường thẳng d'.

Hướng dẫn giải:

a) Vì đường thẳng d' vuông góc với đường thẳng d nên vectơ pháp tuyến của đường thẳng d chính là vectơ chỉ phương của đường thẳng d'.

Suy ra một vectơ chỉ phương của đường thẳng d' là $\overrightarrow{u}(5;3)$.

b) Vì đường thẳng d song song với đường thẳng d nên vectơ chỉ phương của đường thẳng d chính là vectơ chỉ phương của đường thẳng d'.

Suy ra một vectơ chỉ phương của đường thẳng d' là $\overrightarrow{u}(0;-2)$.

Vậy một vectơ pháp tuyến của đường thẳng d' là $\overrightarrow{n}(2;0)$.

3. Bài tập tự luyện

Bài 1. Đường thẳng d có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}(0;4)$. Tìm một vectơ chỉ phương của đường thẳng d.

Bài 2. Cho đường thẳng d có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}(-1;-6)$. Biết đường thẳng d₁ song song với đường thẳng d, tìm một vectơ chỉ phương của đường thẳng d₁.

Bài 3. Cho đường thẳng d có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u}(10;15)$. Biết đường thẳng d₂ vuông góc với đường thẳng d, tìm một vectơ pháp tuyến của đường thẳng d₂.

Bài 4. Cho đường thẳng d có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u}(7;4)$. Biết đường thẳng d₃ song song với đường thẳng d có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}(a;b)$. Tính $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}$.

Bài 5. Cho đường thẳng d có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u_d}$ vuông góc với đường thẳng d₄ có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u_{d_4}}$. Tính $\overrightarrow{u_d}.\overrightarrow{u_{d_4}}$.

Xem thêm các bài viết về công thức Toán hay, chi tiết khác:

• Công thức xác định vị trí tương đối của hai đường thẳng

• Công thức tính góc giữa hai vectơ, hai đường thẳng

• Công thức tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng

• Công thức xác định tâm, bán kính của đường tròn

• Công thức xác định tọa độ đỉnh, tọa độ tiêu điểm, độ dài trục lớn, độ dài trục nhỏ và tiêu cự của Elip

---