Công thức tính độ dài của vectơ lớp 10 (hay, chi tiết)

Bài viết Công thức tính độ dài của vectơ lớp 10 trình bày đầy đủ công thức, ví dụ minh họa có lời giải chi tiết và các bài tập tự luyện giúp học sinh nắm vững kiến thức trọng tâm về Công thức tính độ dài của vectơ thông qua tọa độ của vectơ đó từ đó học tốt môn Toán.

Công thức tính độ dài của vectơ lớp 10 (hay, chi tiết)

1. Công thức

- Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho $\overrightarrow{u}(x;y)$. Khi đó độ dài |$\overrightarrow{u}$| = $\sqrt{x^2+y^2}$.

- Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho M(x; y). Khi đó độ dài |$\overrightarrow{OM}$| = $\sqrt{x^2+y^2}$.

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1.

a) Cho $\overrightarrow{a}=(2;2)$. Tính độ dài của $\overrightarrow{a}$.

b) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho ba điểm A(1; 4), B(–2; 0) và C(2; –2). So sánh khoảng cách từ A tới B và C.

c) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho M(1; 4), N(–4; –1). Hãy cho biết tam giác OMN là tam giác gì?

Hướng dẫn giải:

a) Vectơ $\overrightarrow{a}=(2;2)$ có độ dài là |$\overrightarrow{a}$| = $\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}$.

b) Ta có

$\overrightarrow{AB}=(-2-1;0-4)=(-3;-4)$, $\overrightarrow{AC}=(2-1;-2-4)=(1;-6)$.

AB = |$\overrightarrow{AB}$| = $\sqrt{{\left(-3\right)}^2+{\left(-4\right)}^2}=5$, AC = |$\overrightarrow{AC}$| = $\sqrt{1^2+{\left(-6\right)}^2}=\sqrt{37}$.

Vì $5<\sqrt{37}$ nên AB < AC.

Vậy khoảng cách từ A tới B nhỏ hơn khoảng cách từ A tới C.

c) Ta có $\overrightarrow{OM}=(1;4)$, $\overrightarrow{ON}=(-4;-1)$.

OM = |$\overrightarrow{OM}$| $=\sqrt{1^2+4^2}=\sqrt{17}$, ON = |$\overrightarrow{ON}$| = $\sqrt{{\left(-4\right)}^2+{\left(-1\right)}^2}=\sqrt{17}$.

Suy ra OM = ON.

Vậy tam giác OMN cân tại O.

Ví dụ 2. Cho tam giác ABC có tọa độ các điểm A(6; 5), B(–2;5), C(–1; –4).

a) Tính độ dài $\overrightarrow{AG}$, G là trọng tâm tam giác ABC.

b) Tính độ dài cạnh MN, biết M, N lần lượt là trung điểm của cạnh AB, AC.

c) Tính độ dài $\overrightarrow{u}=\overrightarrow{GM}+\overrightarrow{AC}$.

Hướng dẫn giải:

a) Tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC là $\left(\frac{6-2-1}{3};\frac{5+5-4}{3}\right)=(1;2)$.

Ta có $\overrightarrow{AG}=\left(1-6;2-5\right)=(-5;-3)$.

Vectơ $\overrightarrow{AG}=\left(-5;-3\right)$ có độ dài là |$\overrightarrow{AG}$| = $\sqrt{{\left(-5\right)}^2+{\left(-3\right)}^2}=\sqrt{34}$.

b) Vì M, N là trung điểm của AB, AC nên MN là đường trung bình của tam giác ABC.

Suy ra $MN=\frac{1}{2}BC$.

Ta có $\overrightarrow{BC}=(-1+2;-4-5)=(1;-9)$.

BC = |$\overrightarrow{BC}$| = $\sqrt{1^2+{\left(-9\right)}^2}=\sqrt{82}$.

Vậy $MN=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}.\sqrt{82}=\frac{\sqrt{82}}{2}$.

c) Vì M là trung điểm của AB nên tọa độ điểm M là $\left(\frac{6-2}{2};\frac{5+5}{2}\right)=\left(2;5\right)$.

$\overrightarrow{GM}=(2-1;5-2)=(1;3)$, $\overrightarrow{AC}=(-1-6;-4-5)=(-7;-9)$.

Suy ra $\overrightarrow{u}=\overrightarrow{GM}+\overrightarrow{AC}=(1-7;3-9)=(-6;-6)$.

|$\overrightarrow{u}$| $=\sqrt{{\left(-6\right)}^2+{\left(-6\right)}^2}=6\sqrt{2}$.

3. Bài tập tự luyện

Bài 1. Cho $\overrightarrow{a}=(1;-9)$, $\overrightarrow{b}=(-2;7)$. So sánh độ dài vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$.

Bài 2. Cho $\overrightarrow{u}=(n;4)$ và |$\overrightarrow{u}$| = 5. Tìm n.

Bài 3. Cho $\overrightarrow{a}=(3;4)$, $\overrightarrow{b}=(-1;2)$. Tính |$\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b}$|.

Bài 4. Cho $\overrightarrow{a}=(0;2)$, $\overrightarrow{b}=(1;0)$, $\overrightarrow{c}=(-5;-6)$. Tính |$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}-\overrightarrow{c}$|.

Bài 5. Cho tam giác DEF có tọa độ các điểm D(0; –4), B(2;3), C(–2; 7). Tính độ dài $\overrightarrow{MG}$, biết M là trung điểm của đoạn thẳng BC và G là trọng tâm tam giác ABC.

Xem thêm các bài viết về công thức Toán hay, chi tiết khác:

• Công thức tính tích vô hướng của hai vectơ thông qua tọa độ của vectơ đó

• Liên hệ giữa vectơ pháp tuyến và vectơ chỉ phương của đường thẳng

• Công thức xác định vị trí tương đối của hai đường thẳng

• Công thức tính góc giữa hai vectơ, hai đường thẳng

• Công thức tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng

---