Công thức biến đổi tích thành tổng và biến đổi tổng thành tích lớp 11 (hay, chi tiết)

Bài viết Công thức biến đổi tích thành tổng và biến đổi tổng thành tích trình bày đầy đủ công thức, ví dụ minh họa có lời giải chi tiết và các bài tập tự luyện giúp học sinh lớp 11 nắm vững kiến thức trọng tâm về Công thức biến đổi tích thành tổng và biến đổi tổng thành tích từ đó học tốt môn Toán.

Công thức biến đổi tích thành tổng và biến đổi tổng thành tích lớp 11 (hay, chi tiết)

1. Công thức

a) Công thức biến đổi tích thành tổng

$\cos a\cos b=\frac{1}{2}\left[\cos \left(a-b\right)+\cos \left(a+b\right)\right]$

$\sin a\sin b=\frac{1}{2}\left[\cos \left(a-b\right)-\cos \left(a+b\right)\right]$

$\sin a\cos b=\frac{1}{2}\left[\sin \left(a-b\right)+\sin \left(a+b\right)\right]$

b) Công thức biến đổi tổng thành tích

$\cos u+\cos v=2\cos \frac{u+v}{2}\cos \frac{u-v}{2}$

$\cos u-\cos v=-2\sin \frac{u+v}{2}\sin \frac{u-v}{2}$

$\sin u+\sin v=2\sin \frac{u+v}{2}\cos \frac{u-v}{2}$

$\sin u-\sin v=2\cos \frac{u+v}{2}\cos \frac{u-v}{2}$.

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1.Tính giá trị của biểu thức: $A=\sin \frac{13\pi }{24}.\sin \frac{5\pi }{24}$.

Hướng dẫn giải:

$\begin{array}{l}A=\sin \frac{13\pi }{24}\cdot \sin \frac{5\pi }{24}\end{array}$

$\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}=\frac{1}{2}\cdot \left[\text{cos}\left(\frac{13\pi }{24}-\frac{5\pi }{24}\right)-\text{cos}\left(\frac{13\pi }{24}+\frac{5\pi }{24}\right)\right]$

$=\frac{1}{2}\cdot \left(\text{cos}\frac{\pi }{3}-\text{cos}\frac{3\pi }{4}\right)=\frac{1}{2}\cdot \left[\frac{1}{2}-\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\right]=\frac{1+\sqrt{2}}{4}$

Ví dụ 2.Tính: $B=\cos \frac{\pi }{9}+\cos \frac{5\pi }{9}+\cos \frac{7\pi }{9}$.

Hướng dẫn giải:

$B=\cos \frac{\pi }{9}+\cos \frac{5\pi }{9}+\cos \frac{7\pi }{9}$

$=\left(\cos \frac{\pi }{9}+\cos \frac{7\pi }{9}\right)+\cos \frac{5\pi }{9}$

$=2.\cos \frac{\frac{\pi }{9}+\frac{7\pi }{9}}{2}.\cos \frac{\frac{\pi }{9}-\frac{7\pi }{9}}{2}-\cos \left(\pi -\frac{5\pi }{9}\right)$

$=2.\cos \frac{4\pi }{9}.\frac{1}{2}-\cos \frac{4\pi }{9}$

$=\cos \frac{4\pi }{9}-\cos \frac{4\pi }{9}$

= 0

Vậy B = 0.

3. Bài tập tự luyện

Bài 1. Biến đổi các tích sau thành tổng:

a) cos 2α . cos α;

b) cos 3α . sin 2α;

c) sin 4α . cos α;

d) sin 3α . sin 5α.

Bài 2. Biến đổi các biểu thức sau thành tích các nhân tử.

a) A = cos α + cos 3α;

b) B = cos 4α – cos 3α;

c) C = sin 2α + sin α;

d) D = sin 5α – sin 3α.

Bài 3. Rút gọn các biểu thức sau:

a) $\sin \left(\frac{\pi }{3}+\alpha \right)-\sin \left(\frac{\pi }{3}-\alpha \right)$;

b) ${\cos }^2\left(\frac{\pi }{4}+\alpha \right)-{\cos }^2\left(\frac{\pi }{4}-\alpha \right)$.

Bài 4. Chứng minh rằng:

a) $\sin \alpha .\sin \left(\frac{\pi }{3}-\alpha \right).\sin \left(\frac{\pi }{3}+\alpha \right)=\frac{1}{4}\sin 3\alpha$;

b) sin5α – 2sinα (cos4α + cos2α) = sinα.

Bài 5. Tính giá trị các biểu thức sau:

a) A = sin 10° . sin 30° . sin 50° . sin 70°;

b) B = cos 25° – cos 35° + cos 45° – cos 85°;

c) C = cos 30° + cos 50° + cos 70° + cos 90° + cos 110° + cos 130°.

Xem thêm các bài viết về công thức Toán hay, chi tiết khác:

• Công thức nghiệm của các phương trình lượng giác cơ bản

• Định lí Thalès trong không gian

• Công thức tính thể tích của khối lăng trụ

• Công thức tính thể tích của khối chóp

• Công thức tính thể tích của khối chóp cụt đều

---