Công thức tính thể tích của khối lăng trụ lớp 11 (hay, chi tiết)

Bài viết Công thức tính thể tích của khối lăng trụ trình bày đầy đủ công thức, ví dụ minh họa có lời giải chi tiết và các bài tập tự luyện giúp học sinh lớp 11 nắm vững kiến thức trọng tâm về Công thức tính thể tích của khối lăng trụ từ đó học tốt môn Toán.

Công thức tính thể tích của khối lăng trụ lớp 11 (hay, chi tiết)

1. Công thức

Thể tích của khối lăng trụ bằng diện tích đáy nhân với chiều cao.

Cụ thể, ta có: V = S ∙ h, trong đó V là thể tích của khối lăng trụ, S là diện tích của đáy và h là chiều cao của khối lăng trụ.

Nhận xét:

• Do chiều cao của khối lăng trụ đứng bằng độ dài cạnh bên nên thể tích của khối lăng trụ đứng bằng diện tích đáy nhân với độ dài cạnh bên.

• Vì khối hộp là khối lăng trụ có đáy là hình bình hành nên thể tích của khối hộp bằng diện tích đáy nhân với chiều cao hay chính là diện tích một mặt nhân với chiều cao tương ứng với mặt đó.

• Thể tích của khối hộp chữ nhật với ba kích thước: chiều dài a, chiều rộng b, chiều cao c, là: V = abc.

• Thể tích của khối lập phương cạnh a là: V = a³.

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Cho hình lăng trụ ABC.A'B'C' có A'B'C' và AA'C' là hai tam giác đều cạnh a. Biết (ACC'A')⊥(A'B'C'). Tính theo a thể tích khối lăng trụ ABC.A'B'C'.

Hướng dẫn giải

Kẻ AH ⊥ A'C' tại H thì AH ⊥ (A'B'C').

Ta có: $S_{A\text{'}B\text{'}C\text{'}}=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}$; $AH=\frac{a\sqrt{3}}{2}$, suy ra:

$V_{ABC.A\text{'}B\text{'}C\text{'}}=S_{∆A\text{'}B\text{'}C\text{'}}.AH=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}.\frac{a\sqrt{3}}{2}=\frac{3a^3}{8}$

Ví dụ 2. Cho khối lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có BB' = a, đáy ABC là tam giác vuông cân tại B và AC = a√2. Tính thể tích V của khối lăng trụ đã cho.

Hướng dẫn giải

Chiều cao khối lăng trụ đứng là cạnh bên nên h = BB' = a. Tam giác ABC vuông cân tại B có AC = a√2 $\Rightarrow AB=\frac{AC}{\sqrt{2}}=a\Rightarrow S_{∆ABC}=\frac{1}{2}A{B}^2=\frac{a^2}{2}$

Vậy $V_{ABC.A\text{'}B\text{'}C\text{'}}=S_{∆ABC}.h=\frac{a^2}{2}.a=\frac{a^3}{2}$.

Ví dụ 3. Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có AC' = a√3. Tính thể tích của khối lập phương ABCD.A'B'C'D'.

Hướng dẫn giải

Đường chéo của một hình lập phương là d = a√3 với a là độ dài cạnh hình lập phương.

Dễ thấy rằng hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có AC' là đường chéo và cạnh là AB.

Do đó: AC' = AB√3 $\Rightarrow AB=\frac{AC\text{'}}{\sqrt{3}}=\frac{a\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=a$.

Vậy thể tích khối lập phương là V = a³.

3. Bài tập tự luyện

Bài 1. Cho hình lăng trụ đều ABC.A'B'C' có cạnh đáy bằng a.

Biết $d\left(A,\left(A\text{'}BC\right)\right)=\frac{a\sqrt{57}}{12}$. Tính V_ABC.A'B'C'.

Bài 2. Một hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' có ba kích thước là 2 cm, 3 cm và 6 cm. Tính thể tích của khối tứ diện ACB'D'.

Bài 3. Cho khối lăng trụ tam giác ABC.A'B'C' có đáy là tam giác đều cạnh bằng a, cạnh AA' = a và hình chiếu vuông góc H của A' trên mặt phẳng (ABC) là trung điểm của BC. Tính theo a thể tích khối lăng trụ ABC.A'B'C'.

Bài 4. Cho khối lăng trụ ABC.A'B'C' có đáy là các tam giác đều cạnh a, A'A = A'B = A'C = b. Tính thể tích của khối lăng trụ.

Bài 5. Một thùng nước có dạng hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D', AB = 5 m, AA' = 3 m, AD = 4 m. Đáy bể là hình chữ nhật A'B'C'D' được đặt trên một mặt phẳng nằm ngang.

a) Giải tích vì sao khi nước trong bể phẳng lặng, thì phần nước đó ứng với một khối hộp chữ nhật.

b) Tính mức nước trong bể (khoảng cách từ mặt nước đến đáy bể) khi thể tích phần nước trong bể là 40 m³.

Xem thêm các bài viết về công thức Toán hay, chi tiết khác:

• Công thức biến đổi tích thành tổng và biến đổi tổng thành tích

• Công thức nghiệm của các phương trình lượng giác cơ bản

• Định lí Thalès trong không gian

• Công thức tính thể tích của khối chóp

• Công thức tính thể tích của khối chóp cụt đều

---