Công thức nghiệm của các phương trình lượng giác cơ bản lớp 11 (hay, chi tiết)

Bài viết Công thức nghiệm của các phương trình lượng giác cơ bản trình bày đầy đủ công thức, ví dụ minh họa có lời giải chi tiết và các bài tập tự luyện giúp học sinh lớp 11 nắm vững kiến thức trọng tâm về Công thức nghiệm của các phương trình lượng giác cơ bản từ đó học tốt môn Toán.

Công thức nghiệm của các phương trình lượng giác cơ bản lớp 11 (hay, chi tiết)

1. Công thức

a) Phương trình sin x = a (1)

- Nếu |a| > 1 thì phương trình (1) vô nghiệm.

- Nếu |a| ≤ 1 thì sẽ tồn tại duy nhất $\alpha \in \left[-\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}\right]$ thỏa mãn sin α = a. Khi đó:

$\sin x = a \iff \sin x=\sin \alpha \iff \left[\begin{array}{l}x=\alpha +k2\pi \\ x=\pi -\alpha +k2\pi \end{array}\right.\left(k\in \mathbb{Z}\right)$

Chú ý:

+ Nếu số đo của góc α được cho bằng đơn vị độ thì

sinx = sinα^o ⇔ $\left(\begin{array}{c}x=\alpha °+k360°\\ x=180°-\alpha °+k360°\end{array}\right)$ (k ∈ ℤ).

+ Một số trường hợp đặc biệt:

sinx = 0 ⇔ x = kπ (k ∈ ℤ)

sinx = 1 ⇔ $x=\frac{\pi }{2}+k2\pi$ (k ∈ ℤ)

sinx = –1 ⇔ $x=-\frac{\pi }{2}+k2\pi$ (k ∈ ℤ).

+ Mở rộng: $\sin \left[f\left(x\right)\right]=\sin \left[g\left(x\right)\right]\iff \left[\begin{array}{l}f\left(x\right)=g\left(x\right)+k2\pi \\ f\left(x\right)=\pi -g\left(x\right)+k2\pi \end{array}\right.\left(k\in \mathbb{Z}\right)$.

b) Phương trình cos x = a (2)

- Nếu |a| > 1 thì phương trình (2) vô nghiệm.

- Nếu |a| ≤ 1 thì sẽ tồn tại duy nhất α ∈ [0; π] thỏa mãn cos α = a. Khi đó:

$\cos x = a\iff \cos x=\cos \alpha \iff \left[\begin{array}{l}x=\alpha +k2\pi \\ x=-\alpha +k2\pi \end{array}\right.\left(k\in \mathbb{Z}\right)$

Chú ý:

+ Nếu số đo của góc α được cho bằng đơn vị độ thì

$\cos x=\cos \alpha °\iff \left[\begin{array}{l}x=\alpha °+k180°\\ x=-\alpha °+k180°\end{array}\right.\left(k\in \mathbb{Z}\right)$

+ Một số trường hợp đặc biệt:

cosx = 0 ⇔ $x=\frac{\pi }{2}+k\pi$ (k ∈ ℤ)

cosx = 1 ⇔ x = k2π (k ∈ ℤ)

cosx = –1 ⇔ x = π + k2π (k ∈ ℤ).

+ Mở rộng: $\cos \left[f\left(x\right)\right]=\cos \left[g\left(x\right)\right]\iff \left[\begin{array}{l}f\left(x\right)=g\left(x\right)+k2\pi \\ f\left(x\right)=-g\left(x\right)+k2\pi \end{array}\right.\left(k\in \mathbb{Z}\right)$.

c) Phương trình tan x = a

Với mọi a ∈ ℝ, tồn tại duy nhất $\alpha \in \left(-\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}\right)$ thỏa mãn tan α = a. Khi đó:

tan x = a ⇔ tan x = tan α ⇔ x = α + kπ (k ∈ ℤ).

Chú ý:

+ Nếu số đo của góc α được cho bằng đơn vị độ thì

tan x = tan α° ⇔ x = α° + k180° (k ∈ ℤ).

+ Mở rộng: $\tan \left[f\left(x\right)\right]=\tan \left[g\left(x\right)\right]\iff f\left(x\right)=g\left(x\right)+k\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)$.

d) Phương trình cot x = a

Với mọi a ∈ ℝ, tồn tại duy nhất α ∈ (0; π) thỏa mãn cot α = a. Khi đó:

cot x = a ⇔ cot x = cot α ⇔ x = α + kπ (k ∈ ℤ).

Chú ý:

+ Nếu số đo của góc α được cho bằng đơn vị độ thì

cot x = cot α° ⇔ x = α° + k180° (k ∈ ℤ).

+ Mở rộng: $\cot \left[f\left(x\right)\right]=\cot \left[g\left(x\right)\right]\iff f\left(x\right)=g\left(x\right)+k\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)$.

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1.Giải phương trình:

a) $\sin \left(2x-\frac{\pi }{3}\right)=-\frac{\sqrt{3}}{2}$;

b) $\cos \left(\frac{x}{2}+\frac{\pi }{4}\right)=\frac{\sqrt{3}}{2}$;

c) $tan\left(3x+\frac{\pi }{3}\right)=\frac{\sqrt{3}}{3}$;

d) $\sqrt{3}cot\left(2x-\frac{\pi }{3}\right)=-1$.

Hướng dẫn giải:

a) $\sin \left(2x-\frac{\pi }{3}\right)=-\frac{\sqrt{3}}{2}$

$\iff \sin \left(2x-\frac{\pi }{3}\right)=\sin \left(-\frac{\pi }{3}\right)$

$\iff \left[\begin{array}{l}2x-\frac{\pi }{3}=-\frac{\pi }{3}+k2\pi \\ 2x-\frac{\pi }{3}=\pi -\left(-\frac{\pi }{3}\right)+k2\pi \end{array}\right.$

$\iff \left[\begin{array}{l}x=k\pi \\ x=\frac{5\pi }{6}+k\pi \end{array}\right.\left(k\in \mathbb{Z}\right)$

b) $\cos \left(\frac{x}{2}+\frac{\pi }{4}\right)=\frac{\sqrt{3}}{2}$

$\iff \cos \left(\frac{x}{2}+\frac{\pi }{4}\right)=\cos \frac{\pi }{6}$

$\iff \left[\begin{array}{l}\frac{x}{2}+\frac{\pi }{4}=\frac{\pi }{6}+k2\pi \\ \frac{x}{2}+\frac{\pi }{4}=-\frac{\pi }{6}+k2\pi \end{array}\right.$

$\iff \left[\begin{array}{l}x=-\frac{\pi }{6}+k4\pi \\ x=-\frac{5\pi }{6}+k4\pi \end{array}\right.\left(k\in \mathbb{Z}\right)$

c) $tan\left(3x+\frac{\pi }{3}\right)=\frac{\sqrt{3}}{3}$

$\iff \tan \left(3x+\frac{\pi }{4}\right)=\tan \frac{\pi }{6}$

$\iff 3x+\frac{\pi }{4}=\frac{\pi }{6}+k\pi$

$\iff x=-\frac{\pi }{36}+k\frac{\pi }{3}$ (k ∈ ℤ).

d) $\sqrt{3}cot\left(2x-\frac{\pi }{3}\right)=-1$

$\iff cot\left(2x-\frac{\pi }{6}\right)=\frac{-1}{\sqrt{3}}$

$\iff cot\left(2x-\frac{\pi }{6}\right)=cot\frac{2\pi }{3}$

$\iff 2x-\frac{\pi }{6}=\frac{2\pi }{3}+k\pi$

$\iff x=\frac{5\pi }{12}+k\frac{\pi }{2}$ (k ∈ ℤ).

Ví dụ 2.Tìm nghiệm của phương trình: $\sin \left(2x+\frac{2\pi }{5}\right)=0$ với $x\in \left(\frac{\pi }{2};\frac{3\pi }{2}\right)$.

Hướng dẫn giải:

Ta có $\sin \left(2x+\frac{2\pi }{5}\right)=0\iff 2x+\frac{2\pi }{5}=k\pi \iff x=-\frac{\pi }{5}+k\frac{\pi }{2}$ (k ∈ ℤ).

Do $x\in \left(\frac{\pi }{2};\frac{3\pi }{2}\right)$ nên $\frac{\pi }{2}<-\frac{\pi }{5}+k\frac{\pi }{2}<\frac{3\pi }{2}\iff \frac{7}{5}<k<\frac{17}{5}$.

Mà k ∈ ℤ nên k ∈ {2; 3}.

Vậy $x\in \left\{\frac{4\pi }{5};\frac{13\pi }{10}\right\}.$.

3. Bài tập tự luyện

Bài 1. Giải các phương trình lượng giác sau:

a) $\sin x=\frac{\sqrt{3}}{2}$;

b) $\cos x=\frac{1}{2}$;

c) $\tan x=\frac{\sqrt{3}}{3}$.

Bài 2. Giải các phương trình lượng giác sau:

a) 2 sin x – 1 = 0;

b) 2cosx + √2 = 0;

c) tan² x = 3.

Bài 3. Giải các phương trình lượng giác sau:

a) 3sin 2x + 2 = 0;

b) $\cos 3x=-\frac{\sqrt{2}}{2}$;

c) $cot\frac{x}{3}=-2$.

Bài 4. Giải các phương trình lượng giác sau:

a) $\sin \left(x+45°\right)=-\frac{\sqrt{2}}{2}$;

b) $\cos \left(x+60°\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}$;

c) $\cos \left(x+30°\right)=\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Bài 5. Giải các phương trình lượng giác sau:

a) $\sin \left(2x-\frac{\pi }{5}\right)=\sin \left(\frac{\pi }{5}+x\right)$;

b) $\cos \left(2x+\frac{3\pi }{4}\right)=\sin \left(\frac{\pi }{2}+x\right)$;

c) $cot4x=cot\frac{2\pi }{7}$.

Xem thêm các bài viết về công thức Toán hay, chi tiết khác:

• Công thức biến đổi tích thành tổng và biến đổi tổng thành tích

• Định lí Thalès trong không gian

• Công thức tính thể tích của khối lăng trụ

• Công thức tính thể tích của khối chóp

• Công thức tính thể tích của khối chóp cụt đều

---