Lập phương trình đường thẳng ∆ là tiếp tuyến của đường tròn (C) (x+2)^2+(y-3)^2=4

Giải sách bài tập Toán 10 Bài 5: Phương trình đường tròn

Bài 55 trang 89 SBT Toán 10 Tập 2: Lập phương trình đường thẳng ∆ là tiếp tuyến của đường tròn (C): (x+2)²+(y-3)²=4 trong mỗi trường hợp sau:

a) ∆ tiếp xúc (C) tại điểm có tung độ bằng 3.

b) ∆ vuông góc với đường thẳng 5x – 12y + 1 = 0.

c) ∆ đi qua điểm D(0; 4).

Lời giải:

Đường tròn có tâm I(-2; 3) và bán kính R = 2.

a) Hoành độ của điểm có tung độ bằng 3 là:

(x+2)²+(3-3)²=4 $\iff$

Suy ra ta có 2 điểm M(0; 3) và điểm N(-4; 3).

Vectơ pháp tuyến của đường thẳng IM là: $\overrightarrow{IM}$=(2;0).

Phương trình đường thẳng IM: 2(x – 0) = 0 hay x = 0.

Vectơ pháp tuyến của đường thẳng IN là: $\overrightarrow{IN}$=(-2;0).

Phương trình đường thẳng IN: - 2(x + 4) = 0 hay x + 4 = 0.

Vậy phương trình đường thẳng là: x = 0 hoặc x + 4 = 0.

b) ∆ vuông góc với đường thẳng 5x – 12y + 1 = 0

nên ∆ có dạng: 12x + 5y + c = 0.

Khoảng cách từ I đến ∆ bằng R nên d(I,∆)=2

Với c = 35 thì phương trình tiếp tuyến là: 12x + 5y + 35 =0

Với c = - 17 thì phương trình tiếp tuyến là: 12x + 5y – 17 =0

c) Gọi H(a ;b) là tiếp điểm.

Do D(0; 4) thuộc nên DH vuông góc với IH và IH = R = 2.

Ta có: $\overrightarrow{DH}$=(a;b-4) và $\overrightarrow{IH}$=(a+2;b-3)

⇒ IH = |$\overrightarrow{IH}$|=$\sqrt{{\left(a+2\right)}^2+{\left(b-3\right)}^2}$=2

⇔ a² + 4a + 4 + b² – 6b + 9 = 4

⇔ a² + 4a + b² – 6b + 9 = 0 (1)

Ta lại có: $\overrightarrow{DH}$.$\overrightarrow{IH}$=0$\iff$ a(a+2)+(b-4)(b-3)=0

⇔ a² + 2a + b² – 7b + 12 = 0 (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:

Với a = 0, b = 3 thì H(0; 3)

Suy ra $\overrightarrow{IH}$=(2;0)

Do đó phương trình tiếp tuyến cần tìm là: 2(x – 0) = 0 ⇔ x = 0.

Với a=$-\frac{4}{5}$; b=$\frac{23}{5}$

Suy ra $\overrightarrow{IH}$= $\left(\frac{6}{5};\frac{8}{5}\right)=\frac{2}{5}\left(3;4\right)$

Do đó phương trình tiếp tuyến cần tìm là: 3(x – 0) + 4(y – 4) = 0 ⇔ 3x + 4y – 16 = 0.

Vậy có hai đường thẳng ∆ thỏa mãn yêu cầu là x = 0 hoặc 3x + 4y – 16 = 0.

Xem thêm các bài giải sách bài tập Toán lớp 10 Cánh diều hay, chi tiết khác:

• Bài 47 trang 88 SBT Toán 10 Tập 2: Phương trình nào sau đây không là phương trình đường tròn? ....

• Bài 48 trang 88 SBT Toán 10 Tập 2: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn (C): (x+8)²+(y-10)²=36 ....

• Bài 49 trang 88 SBT Toán 10 Tập 2: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn (C): (x-1)²+(y+2)²=4 ....

• Bài 50 trang 89 SBT Toán 10 Tập 2: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, đường tròn tâm I(- 4; 2) bán kính R = 9 có phương trình là ....

• Bài 51 trang 89 SBT Toán 10 Tập 2: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn (C): (x – 3)² + (y – 4)² = 25 ....

• Bài 52 trang 89 SBT Toán 10 Tập 2: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn (x – 6)² + (y – 7)² = 16 ....

• Bài 53 trang 89 SBT Toán 10 Tập 2: Tìm k sao cho phương trình: x² + y² – 6x + 2ky + 2k + 12 = 0 là phương trình đường tròn ....

• Bài 54 trang 89 SBT Toán 10 Tập 2: Viết phương trình đường tròn (C) trong mỗi trường hợp sau: a) (C) có tâm I(- 6; 2) bán kính 7 ....

• Bài 56 trang 89 SBT Toán 10 Tập 2: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn (C): (x+2)²+(y-4)²=25 và điểm A(- 1; 3) ....

• Bài 57 trang 90 SBT Toán 10 Tập 2: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho các đường thẳng: ${\Delta }_1$: x+y+1=0 ....

• Bài 58 trang 90 SBT Toán 10 Tập 2: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm M(1; 1) và đường thẳng ∆: 3x + 4y + 3 = 0. Viết phương trình đường tròn (C) ....

Xem thêm các tài liệu học tốt lớp 10 hay khác:

• Giải sgk Toán 10 Cánh diều
• Giải Chuyên đề học tập Toán 10 Cánh diều
• Giải SBT Toán 10 Cánh diều
• Giải lớp 10 Cánh diều (các môn học)
• Giải lớp 10 Kết nối tri thức (các môn học)
• Giải lớp 10 Chân trời sáng tạo (các môn học)

---