Giải SBT Toán 10 trang 100 Tập 1 Cánh diều

Với Giải sách bài tập Toán 10 trang 100 Tập 1 trong Bài 5: Tích của một số với một vectơ SBT Toán 10 Cánh diều hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh dễ dàng làm bài tập trong SBT Toán 10 trang 100.

Giải SBT Toán 10 trang 100 Tập 1 Cánh diều

Bài 52 trang 100 SBT Toán 10 Tập 1: Cho tam giác ABC. Xác định các điểm M, N, P trong mỗi trường hợp sau:

a) $\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{CB}$ ;

b) $\overrightarrow{AN}=-\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right)$ ;

c) $\overrightarrow{PA}-\overrightarrow{PB}+2\overrightarrow{PC}=\overrightarrow{0}$ .

Lời giải:

a) Ta có: $\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{CB}$

⇒ AM // CB, AM = CB và M, B cùng phía so với bờ AC

⇒ ACBM là hình bình hành

Vậy điểm M thỏa mãn ACBM là hình bình hành.

b) Gọi N’ là trung điểm của BC

Khi đó ta có: $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AN\text{'}}$ hay $\overrightarrow{AN\text{'}}=\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right)$

⇒ $\overrightarrow{AN}=-\overrightarrow{AN\text{'}}$

⇒ A là trung điểm của đoạn NN’

Vậy N là điểm đối xứng với N’ qua A.

c) Xét $\overrightarrow{PA}-\overrightarrow{PB}+2\overrightarrow{PC}=\overrightarrow{0}$

⇔ $\overrightarrow{BA}+2\overrightarrow{PC}=\overrightarrow{0}$

⇔ $2\overrightarrow{PC}=\overrightarrow{AB}$

⇒ Điểm P là điểm thỏa mãn PC // AB, P nằm cùng phía với A bờ BC sao cho 2PC = AB.

Vậy điểm P là điểm nằm trên đường thẳng song song với AB, nằm cùng phía với A so với BC sao cho 2PC = AB.

Bài 53 trang 100 SBT Toán 10 Tập 1: Cho tam giác ABC, kẻ tia phân giác AD. Đặt AB = b, AC = c. Chứng minh: $c\overrightarrow{DB}+b\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{0}$ .

Lời giải:

Xét tam giác ABC, có:

$\frac{DB}{DC}=\frac{AB}{AC}=\frac{b}{c}$

⇒ $DB=\frac{b}{c}DC$

Ta có: D nằm giữa B và C nên $\overrightarrow{DB}$ và $\overrightarrow{DC}$ ngược hướng

⇒ $\overrightarrow{DB}=-\frac{b}{c}\overrightarrow{DC}$

⇔ $c\overrightarrow{DB}+b\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{0}$ .

Bài 54 trang 100 SBT Toán 10 Tập 1: Cho hình bình hành ABCD. Lấy các điểm M, N, P thỏa mãn $\overrightarrow{AM}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{AN}=\frac{1}{5}\overrightarrow{AC}$, $\overrightarrow{AP}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AD}$. Đặt $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{b}$. Biểu thị các vec tơ $\overrightarrow{AN}$ , $\overrightarrow{MN}$ , $\overrightarrow{NP}$  theo các vectơ $\overrightarrow{a}$  và $\overrightarrow{b}$ . Chứng minh ba điểm M, N, P thẳng hàng.

Lời giải

Ta có: $\overrightarrow{AN}=\frac{1}{5}\overrightarrow{AC}=\frac{1}{5}\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}\right)=\frac{1}{5}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{5}\overrightarrow{AD}=\frac{1}{5}\overrightarrow{a}+\frac{1}{5}\overrightarrow{b}$ .

$$\begin{gathered} \overrightarrow{MN}=\overrightarrow{AN}-\overrightarrow{AM}=\frac{1}{5}\overrightarrow{AC}-\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}=\frac{1}{5}\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}\right)-\frac{1}{2}\overrightarrow{AB} \\ =-\frac{3}{10}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{5}\overrightarrow{AD}=-\frac{3}{10}\overrightarrow{a}+\frac{1}{5}\overrightarrow{b} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \overrightarrow{NP}=\overrightarrow{AP}-\overrightarrow{AN}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AD}-\frac{1}{5}\overrightarrow{AC}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AD}-\frac{1}{5}\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}\right) \\ =-\frac{1}{5}\overrightarrow{AB}+\frac{2}{15}\overrightarrow{AD}=-\frac{1}{5}\overrightarrow{a}+\frac{2}{15}\overrightarrow{b} \end{gathered}$$

Ta có $-\frac{3}{10}\overrightarrow{a}+\frac{1}{5}\overrightarrow{b}=\frac{3}{2}\left(-\frac{1}{5}\overrightarrow{a}+\frac{2}{15}\overrightarrow{b}\right)$  hay $\overrightarrow{MN}=\frac{3}{2}\overrightarrow{NP}$

Do đó M, N, P thẳng hàng.

Bài 55 trang 100 SBT Toán 10 Tập 1: Cho tam giác ABC. Lấy các điểm D, E, M, N thỏa mãn $\overrightarrow{AD}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}$ , $\overrightarrow{AE}=\frac{2}{5}\overrightarrow{AC}$ , $\overrightarrow{BM}=\frac{1}{3}\overrightarrow{BC}$ , $\overrightarrow{AN}=k\overrightarrow{AM}$  với k là số thực. Đặt $\overrightarrow{a}=\overrightarrow{AB}$  , $\overrightarrow{b}=\overrightarrow{AC}$ . Biểu thị các vectơ $\overrightarrow{AN}$ , $\overrightarrow{DE}$ , $\overrightarrow{EN}$  theo các vectơ $\overrightarrow{a}=\overrightarrow{AB}$ , $\overrightarrow{b}=\overrightarrow{AC}$  và tìm k để ba điểm D, E, N thẳng hàng.

Lời giải

Ta có:$\overrightarrow{AN}=k\overrightarrow{AM}=k.\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BM}\right)=k.\left(\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{BC}\right)$

$=k.\left(\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}\left(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}\right)\right)$

= $k.\left(\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}\right)$  = $k.\left(\frac{2}{3}\overrightarrow{a}+\frac{1}{3}\overrightarrow{b}\right)$ .

$\overrightarrow{DE}=\overrightarrow{AE}-\overrightarrow{AD}=\frac{2}{5}\overrightarrow{AC}-\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}=-\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{2}{5}\overrightarrow{AC}$

$=-\frac{1}{3}\overrightarrow{a}+\frac{2}{5}\overrightarrow{b}$

$\overrightarrow{EN}=\overrightarrow{AN}-\overrightarrow{AE}=k.\left(\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}\right)-\frac{2}{5}\overrightarrow{AC}$

$=\frac{2k}{3}\overrightarrow{AB}+\left(\frac{k}{3}-\frac{2}{5}\right)\overrightarrow{AC}$

$=\frac{2k}{3}\overrightarrow{a}+\left(\frac{k}{3}-\frac{2}{5}\right)\overrightarrow{b}$

Để ba điểm D, E, N thẳng hàng thì tồn tại t ∈ ℝ sao cho $\overrightarrow{EN}=t\overrightarrow{DN}$

⇔  $\frac{2k}{3}\overrightarrow{a}+\left(\frac{k}{3}-\frac{2}{5}\right)\overrightarrow{b}=t\left(-\frac{1}{3}\overrightarrow{a}+\frac{2}{5}\overrightarrow{b}\right)$

⇔  $\frac{2k}{3}\overrightarrow{a}+\left(\frac{k}{3}-\frac{2}{5}\right)\overrightarrow{b}=-\frac{t}{3}\overrightarrow{a}+\frac{2t}{5}\overrightarrow{b}$

⇔ $\left\{\begin{array}{l}\frac{2k}{3}=-\frac{t}{3}\\ \frac{k}{3}-\frac{2}{5}=\frac{2t}{5}\end{array}\right.$ ⇔ $\left\{\begin{array}{l}k=\frac{6}{17}\\ t=-\frac{12}{17}\end{array}\right.$

Do đó ba điểm D, E, N thẳng hàng khi k = $\frac{6}{17}$ .

Vậy $\overrightarrow{AN}=k.\left[\frac{2}{3}\overrightarrow{a}+\frac{1}{3}\overrightarrow{b}\right]$, $\overrightarrow{DE}=-\frac{1}{3}\overrightarrow{a}+\frac{2}{5}\overrightarrow{b}$, $\overrightarrow{EN}=\frac{2k}{3}\overrightarrow{a}+\left(\frac{k}{3}-\frac{2}{5}\right)\overrightarrow{b}$ và với k = $\frac{6}{17}$ thì ba điểm D, E, N thẳng hàng.

Bài 56 trang 100 SBT Toán 10 Tập 1: Cho tam giác ABC, lấy các điểm A’, B’, C’ không trùng với đỉnh của tam giác và lần lượt thuộc các cạnh AB, BC, CA thỏa mãn $\frac{\text{AA}\text{'}}{AB}=\frac{BB\text{'}}{BC}=\frac{CC\text{'}}{CA}$ . Chứng minh hai tam giác ABC và A’B’C’ có cùng trọng tâm.

Lời giải:

Lời giải

Đặt $\frac{\text{AA}\text{'}}{AB}=\frac{BB\text{'}}{BC}=\frac{CC\text{'}}{CA}=t$  (t > 0)

$\iff \left\{\begin{array}{l}AA\text{'}=tAB\\ BB\text{'}=tBC\\ CC\text{'}=tCA\end{array}\right.$

⇒  $\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow{AA\text{'}}=t\overrightarrow{AB}\\ \overrightarrow{BB\text{'}}=t\overrightarrow{BC}\\ \overrightarrow{CC\text{'}}=t\overrightarrow{CA}\end{array}\right.$ (vì các điểm A’, B’, C’ lần lượt thuộc các cạnh AB, BC, CA)

Gọi G là trọng tâm tam giác ABC nên $\overrightarrow{\text{GA}}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0}$

Ta có: $\overrightarrow{\text{AA}\text{'}}+\overrightarrow{BB\text{'}}+\overrightarrow{CC\text{'}}=t\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CA}\right)$

⇔ $\overrightarrow{\text{AG}}+\overrightarrow{\text{GA}\text{'}}+\overrightarrow{BG}+\overrightarrow{GB\text{'}}+\overrightarrow{CG}+\overrightarrow{GC\text{'}}=t\left(\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CA}\right)$

⇔ $\left(\overrightarrow{\text{AG}}+\overrightarrow{BG}+\overrightarrow{CG}\right)+\left(\overrightarrow{\text{GA}\text{'}}+\overrightarrow{GB\text{'}}+\overrightarrow{GC\text{'}}\right)=t.\overrightarrow{AA}$

⇔ $-\left(\overrightarrow{\text{GA}}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}\right)+\left(\overrightarrow{\text{GA}\text{'}}+\overrightarrow{GB\text{'}}+\overrightarrow{GC\text{'}}\right)=t.\overrightarrow{0}$

⇔ $\overrightarrow{\text{GA}\text{'}}+\overrightarrow{GB\text{'}}+\overrightarrow{GC\text{'}}=\overrightarrow{0}$

Suy ra G cũng là trọng tâm của tam giác A’B’C’.

Lời giải Sách bài tập Toán 10 Bài 5: Tích của một số với một vectơ Cánh diều hay khác:

• Giải SBT Toán 10 trang 99 Tập 1

Xem thêm lời giải Sách bài tập Toán 10 Cánh diều hay, chi tiết khác:

• SBT Toán 10 Bài 2: Giải tam giác. Tính diện tích tam giác

• SBT Toán 10 Bài 3: Khái niệm vectơ

• SBT Toán 10 Bài 4: Tổng và hiệu của hai vectơ

• SBT Toán 10 Bài 6: Tích vô hướng của hai vectơ

• SBT Toán 10 Bài tập cuối chương 4 trang 106, 107, 108

Xem thêm các tài liệu học tốt lớp 10 hay khác:

• Giải sgk Toán 10 Cánh diều
• Giải Chuyên đề học tập Toán 10 Cánh diều
• Giải SBT Toán 10 Cánh diều
• Giải lớp 10 Cánh diều (các môn học)
• Giải lớp 10 Kết nối tri thức (các môn học)
• Giải lớp 10 Chân trời sáng tạo (các môn học)

---