Xác định giá trị của các hệ số a, b, c và xét dấu của tam thức bậc hai

Giải SBT Toán 10 Chân trời sáng tạo Bài 1: Dấu của tam thức bậc hai

Bài 8 trang 10 SBT Toán 10 Tập 2: Xác định giá trị của các hệ số a, b, c và xét dấu của tam thức bậc hai $f\left(x\right){\text{=ax}}^2+bx+c$ trong mỗi trường hợp sau:

a) Đồ thị của hàm số đi qua ba điểm có toạ độ là (– 1; – 4), (0; 3) và (1; –14);

b) Đồ thị của hàm số y = f(x) đi qua ba điểm có toa độ là (0; –2), (2; 6) và (3; 13);

c)f(– 5) = 33, f (0) = 3 và f(2) = l9.

Lời giải:

a) Theo đề bài:

Đồ thị của hàm số y = f(x) đi qua điểm có toạ độ là (– 1; – 4) nên –4 = a – b + c (1)

Đồ thị của hàm số y = f(x) đi qua điểm có toạ độ là(0; 3) nên 3 = c (2)

Đồ thị của hàm số y = f(x) đi qua điểm có toạ độ là(1; – 14) nên –14 = a + b + c (3)

Thay (2) vào phương trình (1) và (3) ta có:

$\left(\begin{array}{c}\text{a}-\text{b}=-7\\ \text{a}+\text{b}=-17\end{array}\right)\iff \left(\begin{array}{c}2a=-24\\ \text{a}+\text{b}=-17\end{array}\right)\iff \left(\begin{array}{c}a=-12\\ -12+\text{b}=-17\end{array}\right)\iff \left(\begin{array}{c}a=-12\\ \text{b}=-5\end{array}\right)$

Vậy f (x) = –12x² – 5x + 3.

Xét f ( x ) = –12x² – 5x + 3 có ∆ = (– 5)² – 4.(–12).3 = 169 > 0 nên f (x) có hai nghiệm phân biệt lần lượt là:

x₁ = $\frac{-\text{b}+\sqrt{\Delta }}{2\text{a}}$ = $\frac{5+\sqrt{169}}{-12.2}$ = –$\frac{3}{4}$.

x₂ = $\frac{-\text{b}-\sqrt{\Delta }}{2\text{a}}$ = $\frac{5-\sqrt{169}}{-12.2}$ = $\frac{1}{3}$ .

Như vậy, f (x) có a = –12 < 0, ∆ > 0 và có hai nghiệm x₁ = –$\frac{3}{4}$, x₂ = $\frac{1}{3}$ nên:

f (x) dương trong khoảng ( –$\frac{3}{4}$ ; $\frac{1}{3}$).

f (x) âm trong khoảng (–$\infty$; –$\frac{3}{4}$ ) và ($\frac{1}{3}$ ; +$\infty$).

b) Ta có:

Đồ thị của hàm số y = f(x) đi qua điểm có toạ độ là (0; – 2) nên –2 = c (1)

Đồ thị của hàm số y = f(x) đi qua ba điểm có toạ độ là(2; 6) nên 6 = 4a + 2b + c (2)

Đồ thị của hàm số y = f(x) đi qua ba điểm có toạ độ là(3; 13) nên 13 = 9a + 3b + c (3).

Thay (1) vào phương trình (2) và (3) ta có:

$\left(\begin{array}{c}\text{4a +}2\text{b}=8\\ \text{9a}+3\text{b}=15\end{array}\right)\iff \left(\begin{array}{c}\text{2a + b}=4\\ \text{3a}+\text{b}=5\end{array}\right)\iff \left(\begin{array}{c}\text{a}=1\\ \text{3.1}+\text{b}=5\end{array}\right)\iff \left(\begin{array}{c}\text{a}=1\\ \text{b}=2\end{array}\right)$

Do đó f (x) = x² + 2x – 2.

Xét f ( x ) = x² + 2x – 2 có ∆ = 2² – 4.( –2 ).1 = 12 nên f ( x ) có hai nghiệm phân biệt lần lượt là:

x₁ = $\frac{-\text{b}+\sqrt{\Delta }}{2\text{a}}$ = $\frac{-2+\sqrt{12}}{2}$ = –1 + $\sqrt{3}$ .

x₂ = $\frac{-\text{b}-\sqrt{\Delta }}{2\text{a}}$ = $\frac{-2-\sqrt{12}}{2}$ = –1 – $\sqrt{3}$ .

Như vậy, f (x) có a = 1 > 0, ∆ > 0 và có hai nghiệm x₁ = –1 + $\sqrt{3}$ , x₂ = –1 – $\sqrt{3}$ nên:

f (x) âm trong khoảng ( –1 –$\sqrt{3}$ ; –1 +$\sqrt{3}$ ).

f (x) dương trong khoảng (–$\infty$ ; –1 – $\sqrt{3}$ ) và ( –1 + $\sqrt{3}$ ; +$\infty$ ).

c) Ta có:

f(– 5) = 33 nên 33 = 25a – 5b + c (1)

f (0) = 3 nên 3 = c (2)

f(2) = 19 nên 19 = 4a + 2b + c (3)

Thay (2) vào phương trình (1) và (3) ta có $\left(\begin{array}{c}25a-5b=30\\ \text{4a}+2\text{b}=16\end{array}\right)$. Giải hệ phương trình ta được a = 2 và b = 4.

Vậy f (x) = 2x² + 4x +3.

Xét f (x) = 2x² + 4x +3 có ∆ = 4² – 4.2.3 = –8 < 0, a = 2 > 0 nên f (x) dương với mọi x ∈ ℝ.

Lời giải SBT Toán 10 Bài 1: Dấu của tam thức bậc hai hay khác:

• Bài 1 trang 8 SBT Toán 10 Tập 2: Tính biệt thức và nghiệm (nếu có) của các tam thức bậc hai sau. Xác định dấu của chúng tại x = -2. ....

• Bài 2 trang 9 SBT Toán 10 Tập 2: Tìm các giá trị của tham số m để: ....

• Bài 3 trang 9 SBT Toán 10 Tập 2: Tìm các giá trị của tham số m để: ....

• Bài 4 trang 9 SBT Toán 10 Tập 2: Dựa vào đồ thị của các hàm số bậc hai được cho trong hình dưới đây, xét dấu của tam thức bậc hai tương ứng: ....

• Bài 5 trang 9 SBT Toán 10 Tập 2: Xét dấu của các tam thức bậc hai sau: ....

• Bài 6 trang 9 SBT Toán 10 Tập 2: Tìm các giá trị của tham số m để: ....

• Bài 7 trang 10 SBT Toán 10 Tập 2: Chứng minh rằng: ....

Xem thêm các bài giải sách bài tập Toán lớp 10 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác:

• SBT Toán 10 Bài 2: Giải bất phương trình bậc hai một ẩn

• SBT Toán 10 Bài 3: Phương trình quy về phương trình bậc hai

• SBT Toán 10 Bài tập cuối chương 7

• SBT Toán 10 Bài 1: Quy tắc cộng và quy tắc nhân

• SBT Toán 10 Bài 2: Hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp

Xem thêm các tài liệu học tốt lớp 10 hay khác:

• Giải sgk Toán 10 Chân trời sáng tạo
• Giải Chuyên đề học tập Toán 10 Chân trời sáng tạo
• Giải SBT Toán 10 Chân trời sáng tạo
• Giải lớp 10 Chân trời sáng tạo (các môn học)
• Giải lớp 10 Kết nối tri thức (các môn học)
• Giải lớp 10 Cánh diều (các môn học)

---