Giải SBT Toán 10 trang 54 Tập 1 Kết nối tri thức

Với Giải SBT Toán 10 trang 54 Tập 1 trong Bài 9: Tích của một vectơ với một số Sách bài tập Toán 10 Kết nối tri thức hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh dễ dàng làm bài tập trong SBT Toán 10 trang 54.

Giải SBT Toán 10 trang 54 Tập 1 Kết nối tri thức

Bài 4.13 trang 54 sách bài tập Toán lớp 10 Tập 1:

Cho tam giác ABC. Gọi D, E tương ứng là trung điểm của BC, CA. Hãy biểu thị các vectơ AB,BC,CA theo hai vectơ ADBE.

Quảng cáo

Lời giải:

Cho tam giác ABC. Gọi D, E tương ứng là trung điểm của BC, CA

Ta có:

+) D là trung điểm của BC nên AB+AC=2AD

+) E là trung điểm của AC nên AC=2AE

Do đó AC=2AE=2AB+BE

AB+2AB+BE=2AD

AB+2AB+2BE=2AD

3AB+2BE=2AD

3AB=2AD2BE

AB=23AD23BE

+) Vì AB+AC=2AD nên AC=2ADAB

AB=23AD23BE

AC=2AD23AD23BE

AC=2AD23AD+23BE

AC=43AD+23BE

CA=43AD23BE

+) BC=ACAB (quy tắc hiệu)

BC=43AD+23BE23AD23BE

BC=43AD+23BE23AD+23BE

BC=23AD+43BE

Vậy AB=23AD23BE;BC=23AD+43BECA=43AD23BE.

Bài 4.14 trang 54 sách bài tập Toán lớp 10 Tập 1:

Cho tam giác OAB vuông cân, với OA = OB = a. Hãy xác định độ dài của các vectơ sau OAOB, OAOB, OA+2OB, 2OA3OB.

Quảng cáo


Lời giải:

Cho tam giác OAB vuông cân, với OA = OB = a

Gọi C là điểm thoả mãn OACB là hình bình hành

Mà ∆OAB vuông cân có OA = OB nên OACB là hình vuông

OC = AB

Mà AB2 = OA2 + OB2 (định lí Pythagoras)

AB2 = a2 + a2 = 2a2

OC=AB=a2

+) Có: OA+OB=OC (quy tắc hình bình hành)

Cho tam giác OAB vuông cân, với OA = OB = a

+) Có: OAOB=OA+BO=BO+OA=BA

Cho tam giác OAB vuông cân, với OA = OB = a

+) Lấy điểm D sao cho OD=2OB nên hai vectơ OD, OB cùng hướng và OD = 2OB.

Có: OA+2OB=OA+OD

Vẽ hình chữ nhật OAED, khi đó OA+OD=OE

Cho tam giác OAB vuông cân, với OA = OB = a

Mà OE2 = OD2 + DE2 (định lí Pythagoras)

OE2 = (2OB)2 + OA2

OE2 = (2a)2 + a2 = 5a2

OE=a5

Cho tam giác OAB vuông cân, với OA = OB = a

+) Lấy điểm G sao cho OG=2OA,OH=3OB

Khi đó: hai vectơ OG, OA cùng hướng và OG = 2OA;

Và hai vectơ OH, OB cùng hướng và OH = 3OB.

Có: 2OA3OB=OGOH

=OG+HO=HO+OG

=HG

Cho tam giác OAB vuông cân, với OA = OB = a

Mà HG2 = OG2 + OH2 (định lí Pythagoras)

HG2 = (2OA)2 + (3OB)2

HG2 = (2a)2 + (3a)2

HG2 = 13a2

HG=a13

Cho tam giác OAB vuông cân, với OA = OB = a

Bài 4.15 trang 54 sách bài tập Toán lớp 10 Tập 1: Cho tam giác ABC có trực tâm H, trọng tâm G và tâm đường tròn ngoại tiếp O.

a) Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh rằng AH=2OM.

b) Chứng minh rằng OA+OB+OC=OH.

c) Chứng minh rằng ba điểm G, H, O cùng thuộc một đường thẳng.

Quảng cáo

Lời giải:

Cho tam giác ABC có trực tâm H, trọng tâm G và tâm đường tròn ngoại tiếp O

a) Kẻ đường kính AD.

Hai điểm B, C thuộc đường tròn đường kính AD nên ABD^=ACD^=90°

Hay BD AB, CD AC

Lại có H là trực tâm ∆ABC nên BH AC, CH AB

BH /// CD và CH // BD

BHCD là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết)

Hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường (tính chất hình bình hành)

Mà M là trung điểm của BC

M là trung điểm của HD

Mà O là trung điểm của AD

Khi đó OM là đường trung bình của ∆AHD

OM // AH và (tính chất đường trung bình)

Do đó hai vectơ AHOM có:

+ Cùng phương, cùng hướng

Cho tam giác ABC có trực tâm H, trọng tâm G và tâm đường tròn ngoại tiếp O

b) Vì M là trung điểm của BC nên OB+OC=2OM

AH=2OM (câu a)

OB+OC=AH

OA+OB+OC=OA+AH

OA+OB+OC=OH.

Vậy OA+OB+OC=OH.

c) Vì G là trọng tâm tam giác ABC nên OA+OB+OC=3OG.

OA+OB+OC=OH (câu b)

Suy ra OH=3OG

Khi đó OHOG cùng phương, cùng hướng

O, H, G thẳng hàng.

Vậy ba điểm O, H, G thẳng hàng.

Bài 4.16 trang 54 sách bài tập Toán lớp 10 Tập 1: Cho tứ giác ABCD. Gọi M, N theo thứ tự là trung điểm các cạnh AB, CD và gọi I là trung điểm của MN. Chứng minh rằng với điểm O bất kì đều có

OA+OB+OC+OD=4OI.

Quảng cáo

Lời giải:

Cho tứ giác ABCD. Gọi M, N theo thứ tự là trung điểm các cạnh AB, CD

Với điểm O bất kì ta có:

+) OA+OB=2OM (do M là trung điểm của AB)

+) OC+OD=2ON (do N là trung điểm của CD)

+) OM+ON=2OI (do I là trung điểm của MN)

OA+OB+OC+OD=2OM+2ON

=2OM+ON=2.2OI=4OI

Vậy với điểm O bất kì đều có: OA+OB+OC+OD=4OI.

Bài 4.17 trang 54 sách bài tập Toán lớp 10 Tập 1: Cho lục giác ABCDEF. Gọi M, N, P, Q, R, S theo thứ tự là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DE, EF, FA. Chứng minh rằng hai tam giác MPR và NQS có cùng trọng tâm.

Lời giải:

Cho lục giác ABCDEF. Gọi M, N, P, Q, R, S theo thứ tự là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DE, EF, FA

+) Vì M, N lần lượt là trung điểm của AB, BC

Nên MN là đường trung bình của tam giác ABC.

MN // AC và MN=12AC (tính chất đường trung bình)

Cho lục giác ABCDEF. Gọi M, N, P, Q, R, S theo thứ tự là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DE, EF, FA

Từ (1), (2) và (3) ta có:

MN+PQ+RS=12AC+12CE+12EA

=12AC+CE+EA

=12AE+EA (quy tắc ba điểm)

=12AA (quy tắc ba điểm)

=12.0=0

Do đó MN+PQ+RS=0

+) Giả sử G và G' lần lượt là trọng tâm của tam giác MPR và tam giác NQS.

Khi đó ta có: MG+PG+RG=0NG'+QG'+SG'=0 hay G'N+G'Q+G'S=0

Mặt khác: theo quy tắc ba điểm ta có:

+) MN=MG+GG'+G'N;

+) PQ=PG+GG'+G'Q;

+) RS=RG+GG'+G'S;

MN+PQ+RS=MG+PG+RG+3.GG'+G'N+G'Q+G'S

=MG+PG+RG+3.GG'+G'N+G'Q+G'S

=0+3.GG'+0

=3.GG'

+) Lại có MN+PQ+RS=0 (chứng minh trên)

Nên 3GG'=0

GG'=0

Suy ra G và G' trùng nhau.

Vậy hai tam giác MPR và NQS có cùng trọng tâm.

Bài 4.18 trang 54 sách bài tập Toán lớp 10 Tập 1: Cho tam giác ABC đều với trọng tâm O. M là một điểm tuỳ ý nằm trong tam giác. Gọi D, E, F theo thứ tự là hình chiếu vuông góc của M trên BC, CA, AB.

Chứng minh rằng MD+ME+MF=32MO.

Lời giải:

Cho tam giác ABC đều với trọng tâm O. M là một điểm tuỳ ý nằm trong tam giác

Qua M, kẻ các đường thẳng IJ // BC, HK // AC, PQ // AB.

Tam giác ABC đều nên ABC^=ACB^=60°

Mà PQ // AB nên MQK^=ABC^=60°,

HK // AC nên MKQ^=ACB^=60°

Tam giác MQK có: MQK^=MKQ^=60° nên là tam giác đều.

Lại có MD là đường cao kẻ từ M nên MD đồng thời là đường trung tuyến

Do đó D là trung điểm của QK

MQ+MK=2MD (1)

Chứng minh tương tự ta cũng có:

+) MH+MI=2MF (2)

+) MP+MJ=2ME (3)

Từ (1), (2) và (3) ta có:

MQ+MK+MH+MI+MP+MJ=2MD+2MF+2ME

2MD+MF+ME=MQ+MI+MK+MJ+MH+MP

Vì MI // BQ, MQ // BI nên tứ giác MIBQ là hình bình hành

MI+MQ=MB

Tương tự ta có MK+MJ=MC;MH+MP=MA

Khi đó 2MD+MF+ME=MB+MC+MA

MD+MF+ME=12MB+MC+MA

Lại có O là trọng tâm của tam giác ABC nên MB+MC+MA=3MO

MD+MF+ME=12.3MO=32MO.

Vậy MD+ME+MF=32MO.

Bài 4.19 trang 54 sách bài tập Toán lớp 10 Tập 1:

Cho tam giác ABC.

a) Tìm điểm M sao cho MA+MB+2MC=0.

b) Xác định điểm N thoả mãn 4NA2NB+NC=0.

Lời giải:

a)

Bài 4.19 trang 54 sách bài tập Toán lớp 10 Tập 1

Gọi I là trung điểm của AB.

Khi đó: MA+MB=2MI

MA+MB+2MC=2MI+2MC=2MI+MC

Gọi K là trung điểm của IC, khi đó: MI+MC=2MK

MA+MB+2MC=2.2MK=4MK.

MA+MB+2MC=0.

Do đó 4MK=0MK=0

Suy ra M ≡ K.

Vậy M là trung điểm của IC (với I là trung điểm của AB).

b)

Bài 4.19 trang 54 sách bài tập Toán lớp 10 Tập 1

Ta có: 4NA2NB+NC=4NA2NA+AB+NC

=4NA2NA2AB+NC

=2NA2AB+NC

=NA2AB+NA+NC

Gọi H là trung điểm của AC, khi đó NA+NC=2NH

4NA2NB+NC=NA2AB+2.NH

=NA+2.NH2AB

Giả sử P là điểm thỏa mãn PA+2.PH=0

Khi đó NA+2.NH=NP+PA+2NP+PH

=3NP+PA+2PH

=3NP+0

=3NP

4NA2NB+NC=3NP2AB

4NA2NB+NC=0.

Nên 3NP2AB=0

3NP=2AB

NP=23AB

Gọi Q là điểm nằm trên cạnh AB sao cho AQ=23AB

NP=AQ

Do đó tứ giác AQPN là hình bình hành

Vậy điểm N cần tìm là đỉnh của hình bình hành AQPN (với Q thỏa mãn AQ=23AB và P thỏa mãn PA+2.PH=0, H là trung điểm của AC).

Lời giải Sách bài tập Toán lớp 10 Bài 9: Tích của một vectơ với một số Kết nối tri thức hay khác:

Xem thêm lời giải Sách bài tập Toán lớp 10 Kết nối tri thức với cuộc sống hay, chi tiết khác:

Tủ sách VIETJACK shopee lớp 10-11 cho học sinh và giáo viên (cả 3 bộ sách):

Săn shopee siêu SALE :

ĐỀ THI, GIÁO ÁN, SÁCH LUYỆN THI DÀNH CHO GIÁO VIÊN VÀ PHỤ HUYNH LỚP 10

Bộ giáo án, bài giảng powerpoint, đề thi, sách dành cho giáo viên và gia sư dành cho phụ huynh tại https://tailieugiaovien.com.vn/ . Hỗ trợ zalo VietJack Official

Tổng đài hỗ trợ đăng ký : 084 283 45 85

Đã có app VietJack trên điện thoại, giải bài tập SGK, SBT Soạn văn, Văn mẫu, Thi online, Bài giảng....miễn phí. Tải ngay ứng dụng trên Android và iOS.

Theo dõi chúng tôi miễn phí trên mạng xã hội facebook và youtube:

Nếu thấy hay, hãy động viên và chia sẻ nhé! Các bình luận không phù hợp với nội quy bình luận trang web sẽ bị cấm bình luận vĩnh viễn.


Giải bài tập lớp 10 Kết nối tri thức khác
Tài liệu giáo viên