Giải SBT Toán 10 trang 65 Tập 1 Kết nối tri thức

Với Giải SBT Toán 10 trang 65 Tập 1 trong Bài 11: Tích vô hướng của hai vectơ Sách bài tập Toán 10 Kết nối tri thức hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh dễ dàng làm bài tập trong SBT Toán 10 trang 65.

Giải SBT Toán 10 trang 65 Tập 1 Kết nối tri thức

Bài 4.29 trang 65 sách bài tập Toán lớp 10 Tập 1: Cho tam giác đều ABC có độ dài các cạnh bằng 1.

a) Gọi M là trung điểm của BC. Tính tích vô hướng của các cặp vectơ MABA, MA

b) Gọi N là điểm đối xứng với B qua C. Tính tích vô hướng AM.AN.

c) Lấy điểm P thuộc đoạn AN sao cho AP = 3PN. Hãy biểu thị các vectơ AP,MP theo hai vectơ ABAC. Tính độ dài đoạn MP.

Quảng cáo

Lời giải:

Cho tam giác đều ABC có độ dài các cạnh bằng 1

a) Tam giác ABC đều có M là trung điểm của BC nên đường trung tuyến AM đồng thời là đường phân giác và đường cao.

BAM^=MAC^=12BAC^=12.60°=30°

Gọi Ax là tia đối của tia AM, tia Ay là tia đối của tia AB.

Do đó MA;BA=xAy^=BAM^=30°

MA;AC=xAC^=180°MAC^

MA;AC=180°30°=150°

Cho tam giác đều ABC có độ dài các cạnh bằng 1

Xét tam giác BAM vuông tại M, theo định lí Pythagoras ta có:

Cho tam giác đều ABC có độ dài các cạnh bằng 1

b) • Vì M là trung điểm của BC nên AB+AC=2AM

AM=12AB+AC

• N đối xứng với B qua C nên C là trung điểm của BN

AB+AN=2ACAN=2ACAB

Cho tam giác đều ABC có độ dài các cạnh bằng 1

Do đó AM.AN=12.2AC2AB2+AB.AC

=12.2.1212+12

=12.32=34.

Vậy AM.AN=34

c) • Vì P thuộc đoạn thẳng AN thỏa mãn AP = 3PN AP=34AN

AP=34AN=34.2ACAB

AP=32AC34AB

• Ta có: MP=APAM

=32AC34AB12AB+AC

=32AC34AB12AB12AC

=32AC12AC34AB+12AB

=AC54AB

Cho tam giác đều ABC có độ dài các cạnh bằng 1

MP2=AC54AB2

=AC22.54AC.AB+2516AB2

=AC2+2516AB252AC.AB

=12+2516.1252.12

=2116

MP=2116=214.

Vậy AP=32AC34AB;MP=AC54ABMP=214.

Bài 4.30 trang 65 sách bài tập Toán lớp 10 Tập 1: Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 1, BC=2. Gọi M là trung điểm của AD.

a) Chứng minh rằng các đường thẳng AC và BM vuông góc với nhau.

b) Gọi H là giao điểm của AC, BM. Gọi N là trung điểm của AH và P là trung điểm của CD. Chứng minh rằng tam giác NBP là một tam giác vuông.

Quảng cáo


Lời giải:

Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 1

Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 1

Vì AB AD nên aba.b=0

ABCD là hình chữ nhật nên cũng là hình bình hành nên ta có:

AC=AB+AD=a+b (quy tắc hình bình hành)

M là trung điểm của AD nên AM=12AD=12b

Suy ra BM=AMAB=12ba

Khi đó AC.BM=a+b.12ba

=12a.ba.a+12b.ba.b

=120a2+12b20 (do a.b=0)

Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 1

Do đó AC.BM=0ACBM

AC BM.

b) • Xét tam giác ABC vuông tại C, theo định lí Pythagore ta có:

AC2 = AB2 + BC2 = 1 + 22 = 3

Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có:

AB2 = AH.ACAH=AB2AC=123=33

AHAC=33:3=13

AH=13AC

Khi đó HC=23ACHA=13AC

Ta có NB=NA+AB (quy tắc ba điiểm)

Vì N là trung điểm của AH nên NA=12HA

NB=12.13AC+AB

=16.a+b+a

=56a16b

• Có N là trung điểm của HA và P là trung điểm của CD, theo kết quả bài 4.12, trang 58, Sách giáo khoa Toán 10, tập một, ta có:

AD+HC=2NPNP=12AD+HC

NP=12AD+12HC

=12AD+12.23AC

=12b+13.a+b

=13a+56.b

Khi đó NB.NP=56a16b.13a+56.b

=518a2+2536a.b118a.b536b2

=518a2+2536a.b118a.b536b2

Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 1

=518.12536.22

=518536.2=0

Do đó NB.NP=0NBNP

NBNP.

Bài 4.31 trang 65 sách bài tập Toán lớp 10 Tập 1: Cho tam giác ABC có A^<90°. Dựng ra phía ngoài tam giác hai tam giác vuông cân đỉnh A là ABD và ACE. Gọi M, N, P theo thứ tự là trung điểm BC, BD, CE. Chứng minh rằng:

a) AM vuông góc với DE;

b) BE vuông góc với CD;

c) Tam giác MNP là một tam giác vuông cân.

Quảng cáo

Lời giải:

Bài 4.31 trang 65 sách bài tập Toán lớp 10 Tập 1

a) +) Vì M là trung điểm của BC nên AB+AC=2AM

AM=12AB+AC

+) Theo quy tắc ba điểm ta có: DE=AEAD

AM.DE=12AB+ACAEAD

=12AB.AEAB.AD+AC.AEAC.AD

Mà AB AD nên AB.AD=0

Và AC AE nên AC.AE=0

Do đó AM.DE=12AB.AEAC.AD

Ta có:

AB.AE=AB.AE.cosBAE^

AC.AD=AC.AD.cosCAD^

• AB = AD (do ∆ABD vuông cân tại A)

Và AC = AE (do ∆ACE vuông cân tại A)

BAE^=BAC^+CAE^=BAC^+90°

CAD^=BAC^+BAD^=BAC^+90°

BAE^=CAD^

Do đó AB.AE=AC.AD

AM.DE=12AB.AEAB.AE=0

AMDE

b) Ta có: BE=AEABCD=ADAC

BE.CD=AEAB.ADAC

=AE.ADAE.ACAB.AD+AB.AC

=AE.AD+AB.AC (do AB.AD=0AC.AE=0 )

Ta có:

AE.AD=AE.AD.cosDAE^

AB.AC=AB.AC.cosBAC^

• AB = AD và AC = AE

DAE^=360°DAB^BAC^CAE^

DAE^=360°90°BAC^90°

DAE^=180°BAC^

cosDAE^=cos180°BAC^=cosBAC^

AE.AD=AB.AC

BE.CD=AE.ADAB.AC=0

BECD

BE CD.

c) Ta có: BE2=BE2=AEAB2

=AE22.AE.AB+AB2

=AE2+AB22.AE.AB.cosEAB^

=AD2+AC22.AD.AC.cosCAD^

=AD2+AC22AD.AC

=ADAC2

=CD2=CD2

BE = CD (1)

Xét tam giác BCD có M, N lần lượt là trung điểm của BC, BD

Nên MN là đường trung bình của ∆BCD

MN=12CD và MN // CD (2)

Chứng minh tương tự ta cũng có:

MP là đường trung bình của ∆BCE

MP=12BE và MP // BE (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra MN = MP.

BE CD (câu b), MN // CD và MP // BE

Nên MN MP

NMP^=90°

Tam giác MNP có MN = MP và NMP^=90°

Suy ra tam giác MNP là tam giác vuông cân tại M.

Bài 4.32 trang 65 sách bài tập Toán lớp 10 Tập 1:

Cho hai vectơ ab thoả mãn Cho hai vectơ a và b

a) Tính tích vô hướng a.a+b.

b) Tính số đo của góc giữa hai vectơ aa+b.

Quảng cáo

Lời giải:

Cho hai vectơ a và b

Gọi ba điểm A, B, C sao cho AB=a,BC=b

Khi đó a+b=AB+BC=AC

Và AB = 6, BC = 8 và AC = 10.

Xét tam giác ABC có:

• AB2 + BC2 = 62 + 82 =100

AC2 = 102 = 100

AB2 + Ba.a+b=36.C2 = AC2

Do đó tam giác ABC vuông tại B (định lí Pythagore đảo)

cosBAC^=ABAC=610=35

a) Ta có a.a+b=AB.AC

=AB.ACcosBAC^

=6.10.35=36

Vậy

b) cosa;a+b=cosBAC^=35

BAC^53°7'48''

Vậy a;a+b53°7'48''.

Bài 4.33 trang 65 sách bài tập Toán lớp 10 Tập 1: Cho tam giác ABC không cân. Gọi D, E, F theo thứ tự là chân các đường cao kẻ từ A, B, C; gọi M, N, P tương ứng là trung điềm các cạnh BC, CA, AB. Chứng minh rằng Chứng minh rằng MD.BC+NE.CA+PF.AB=0

Lời giải:

Cho tam giác ABC không cân. Gọi D, E, F theo thứ tự là chân các đường cao kẻ từ A, B, C

Gọi H và O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

• Vì D, M lần lượt là hình chiếu của H và O lên BC, nên MD là hình chiếu của OH trên giá của

Theo định lí hình chiếu (được giới thiệu ở phần Nhận xét của Ví dụ 2, trang 62, Sách Bài tập Toán 10, tập một) ta có:

OH.BC=MD.BC

MD.BC=OH.BC=OH.OCOB

MD.BC=OH.OCOH.OB (1)

Chứng minh tương tự ta cũng có:

NE.CA=OH.CA=OH.OAOC

NE.CA=OH.OAOH.OC (2)

PF.AB=OH.AB=OH.OBOA

PF.AB=OH.OBOH.OA (3)

Từ (1), (2) và (3) ta có:

MD.BC+NE.CA+PF.AB

=OH.OCOH.OB+OH.OAOH.OC+OH.OBOH.OA

= 0

Vậy MD.BC+NE.CA+PF.AB=0.

Bài 4.34 trang 65 sách bài tập Toán lớp 10 Tập 1: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho hai điểm A(2; 1) và B(4; 3).

a) Tìm toạ độ của điểm C thuộc trục hoành sao cho tam giác ABC vuông tại A. Tính chu vi và diện tích của tam giác ABC.

b) Tìm toạ độ của điểm D sao cho tam giác ABD vuông cân tại A.

Lời giải:

a) Vì tam giác ABC vuông tại A nên AB AC hay ABAC

Do đó AB.AC=0

Giả sử C(x; 0) là điểm thuộc trục hoành.

Với A(2; 1), B(4; 3) và C(x; 0) ta có:

AB=2;2AC=x2;1

Khi đó AB.AC=0 2(x – 2) + 2(–1) = 0

2x – 4 – 2 = 0

2x = 6

x = 3

Vậy C(3; 0).

AC=1;1

Ta có:

AB=2;2AB=22+22=22

AC=1;1AC=12+12=2

BC=AB2+AC2=222+22=10 (theo định lí Pythagore)

Khi đó chu vi tam giác ABC là:

AB + AC + BC = 22+2+10=32+10 (đơn vị độ dài)

Diện tích tam giác ABC là:

12.AB.AC=12.22.2=2 (đơn vị diện tích)

b) Tam giác ABD vuông cân tại A nên AB AD và AB = AD

• Với AB AD ta có ABAD

ABAC (theo câu a)

Nên AD cùng phương với AC

Gọi D(a; b) là tọa độ điểm D cần tìm.

AD=a2;b1

AC=1;1

Do đó AD cùng phương với AC khi và chỉ khi:

Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho hai điểm A(2; 1) và B(4; 3)

• Với AB = AD ta có AB2 = AD2

222=a22+b12

8 = (a – 2)2 + (2 – a)2 (do b – 1 = 2 – a)

8 = 2.(a – 2)2

(a – 2)2 = 4

Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho hai điểm A(2; 1) và B(4; 3)

Với a = 4 thì b – 1 = 2 – 4 b = –1 ta có điểm D1(4; –1).

Với a = 0 thì b – 1 = 2 – 0 b = 3 ta có điểm D2(0; 3).

Vậy có hai điểm D thỏa mãn yêu cầu đề bài là D1(4; –1) và D2(0; 3).

Bài 4.35 trang 65 sách bài tập Toán lớp 10 Tập 1: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho hai điểm A(1; 4) và C(9; 2) là hai đỉnh của hình vuông ABCD. Tìm toạ độ các đỉnh B, D, biết rằng tung độ của B là một số âm.

Lời giải:

Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho hai điểm A(1; 4) và C(9; 2) là hai đỉnh của hình vuông ABCD

Gọi I là giao điểm của AC và BD

Vì ABCD là hình vuông nên ta có: I là trung điểm của AC; AC = BD và AC BD tại I.

• I là trung điểm của AC nên:

Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho hai điểm A(1; 4) và C(9; 2) là hai đỉnh của hình vuông ABCD

Giả sử B(x; y) (y < 0) và D(a; b)

Vì I là trung điểm của BD nên ta có:

Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho hai điểm A(1; 4) và C(9; 2) là hai đỉnh của hình vuông ABCD

Với A(1; 4); C(9; 2); B(x; y) và D(10 – x; 6 – y) ta có:

AC=8;2BD=102x;62y

• AC BD ACBDAC.BD=0

8.(10 – 2x) + (–2).(6 – 2y) = 0

80 – 16x – 12 + 4y = 0

4y = 16x – 68

y = 4x – 17 (với y < 0)

• AC = BD AC2 = BD2

82 + (–2)2 = (10 – 2x)2 + (6 – 2y)2

64 + 4 = (10 – 2x)2 + [6 – 2(4x – 17)]2

(10 – 2x)2 + (6 – 8x + 34)2 = 68

(10 – 2x)2 + (40 – 8x)2 = 68

4.(x – 5)2 + 64.(x – 5)2 = 68

(x – 5)2 = 1

Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho hai điểm A(1; 4) và C(9; 2) là hai đỉnh của hình vuông ABCD

Với x = 6 ta có y = 4.6 – 17 = 7 (không thỏa mãn y < 0)

Với x = 4 ta có y = 4.4 – 17 = –1 (thỏa mãn y < 0)

Khi đó ta có điểm B(4; –1)

Mà D(10 – x; 6 – y) nên D(6; 7).

Vậy B(4; –1) và D(6; 7).

Lời giải Sách bài tập Toán lớp 10 Bài 11: Tích vô hướng của hai vectơ Kết nối tri thức hay khác:

Xem thêm lời giải Sách bài tập Toán lớp 10 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

Tủ sách VIETJACK shopee lớp 10-11 cho học sinh và giáo viên (cả 3 bộ sách):

Săn shopee siêu SALE :

ĐỀ THI, GIÁO ÁN, SÁCH LUYỆN THI DÀNH CHO GIÁO VIÊN VÀ PHỤ HUYNH LỚP 10

Bộ giáo án, bài giảng powerpoint, đề thi, sách dành cho giáo viên và gia sư dành cho phụ huynh tại https://tailieugiaovien.com.vn/ . Hỗ trợ zalo VietJack Official

Tổng đài hỗ trợ đăng ký : 084 283 45 85

Đã có app VietJack trên điện thoại, giải bài tập SGK, SBT Soạn văn, Văn mẫu, Thi online, Bài giảng....miễn phí. Tải ngay ứng dụng trên Android và iOS.

Theo dõi chúng tôi miễn phí trên mạng xã hội facebook và youtube:

Nếu thấy hay, hãy động viên và chia sẻ nhé! Các bình luận không phù hợp với nội quy bình luận trang web sẽ bị cấm bình luận vĩnh viễn.


Giải bài tập lớp 10 Kết nối tri thức khác
Tài liệu giáo viên