Giải SBT Toán 10 trang 71 Tập 1 Kết nối tri thức

Với Giải SBT Toán 10 trang 71 Tập 1 trong Bài 11: Tích vô hướng của hai vectơ Sách bài tập Toán 10 Kết nối tri thức hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh dễ dàng làm bài tập trong SBT Toán 10 trang 71.

Giải SBT Toán 10 trang 71 Tập 1 Kết nối tri thức

Bài 4.66 trang 71 sách bài tập Toán lớp 10 Tập 1: Cho bốn điểm A, B, C, D trong mặt phẳng. Chứng minh rằng $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{BC}.\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{CA}.\overrightarrow{BD}=0.$

Lời giải:

Ta có:

• $\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD}$

• $\overrightarrow{CA}=\overrightarrow{BA}-\overrightarrow{BC}=-\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{BC}$

• $\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD}$

Suy ra: $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{BC}.\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{CA}.\overrightarrow{BD}$

$=\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{BC}.\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD}\right)+\left(-\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{BC}\right).\left(\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD}\right)$

$=\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{BC}.\overrightarrow{AB}+{\overrightarrow{BC}}^2+\overrightarrow{BC}.\overrightarrow{CD}-\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{CD}-{\overrightarrow{BC}}^2-\overrightarrow{BC}.\overrightarrow{CD}$

= 0.

Vậy $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{BC}.\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{CA}.\overrightarrow{BD}=0.$

Bài 4.67 trang 71 sách bài tập Toán lớp 10 Tập 1: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho ba vectơ $\overrightarrow{a}$ = (1; 2), $\overrightarrow{b}$= (3; –4), $\overrightarrow{c}$ = (–5; 3).

a) Tính các tích vô hướng $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b},\overrightarrow{b}.\overrightarrow{c},\overrightarrow{c}.\overrightarrow{a}.$

b) Tìm góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}.$

Lời giải:

a) Với $\overrightarrow{a}$= (1; 2), $\overrightarrow{b}$ = (3; –4) và $\overrightarrow{c}$ = (–5; 3) ta có:

• $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}$ = 1.3 + 2.(–4) = 3 – 8 = –5;

• $\overrightarrow{b}.\overrightarrow{c}$ = 3.(–5) + (–4).3 = –15 – 12 = –27;

• $\overrightarrow{c}.\overrightarrow{a}$ = (–5).1 + 3.2 = –5 + 6 = 1.

b) Với $\overrightarrow{a}$ = (1; 2), $\overrightarrow{b}$ = (3; –4) và $\overrightarrow{c}$= (–5; 3) ta có:

• $\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}$ = (–2; –1)

• $\overrightarrow{a}.\left(\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}\right)$ = 1.(–2) + 2.(–1) = –2 – 2 = –4.

$\Rightarrow \left(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}\right)\approx 143°7^{\text{'}}4{8^{\text{'}}}^{\text{'}}$

Vậy góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}$ khoảng 143°7'48''.

Bài 4.68 trang 71 sách bài tập Toán lớp 10 Tập 1: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho ba điểm A(–2; 1), B(1; 4) và C(5; −2).

a) Chứng minh rằng A, B, C là ba đỉnh của một tam giác. Tìm toạ độ trọng tâm G của tam giác ABC.

b) Tìm toạ độ trực tâm H và tâm đường tròn ngoại tiếp I của tam giác ABC.

Lời giải:

a) Với A(–2; 1), B(1; 4) và C(5; −2) ta có:

$\overrightarrow{AB}$ = (3; 3) và $\overrightarrow{AC}$ = (7; –3)

Vì $\frac{3}{7}\ne \frac{3}{-3}=-1$ nên hai vectơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AC}$ không cùng phương

Do đó ba điểm A, B, C không thẳng hàng

Vậy A, B, C là ba đỉnh của một tam giác.

Vì G là trọng tâm của tam giác ABC nên ta có:

Vậy tọa độ trọng tâm của tam giác ABC là: $G\left(\frac{4}{3};1\right)$ .

b) *Tìm tọa độ trực tâm H của tam giác ABC:

Vì H là trực tâm của tam giác ABC nên AH ⊥ BC và BH ⊥ AC

Hay $\overrightarrow{AH}.\overrightarrow{BC}=0$ và $\overrightarrow{BH}.\overrightarrow{AC}=0$

Giả sử H(x; y) là tọa độ trực tâm tam giác ABC

Với A(–2; 1), B(1; 4), C(5; −2) và H(x; y) ta có:

Trừ vế theo vế (2) cho (1) ta có: 5x = 2

$\Rightarrow$ x = $\frac{2}{5}$

Thay x = $\frac{2}{5}$ vào (1) ta được: 2.$\frac{2}{5}$ – 3y = –7

$\Rightarrow$ 3y = $\frac{39}{5}$

$\Rightarrow$ y = $\frac{13}{5}$

$\Rightarrow$ $H\left(\frac{2}{5};\frac{13}{5}\right).$

Vậy tọa độ trực tâm của tam giác ABC là $H\left(\frac{2}{5};\frac{13}{5}\right).$

* Tìm tọa độ tâm I của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC:

Theo kết quả phần a) của Bài 4.15, trang 54, Sách Bài tập, Toán 10, tập một ta có: $\overrightarrow{AH}=2\overrightarrow{IM}$

với M là trung điểm của BC.

Giả sử I(a; b) là tọa độ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

Với A(–2; 1), B(1; 4), C(5; −2), $H\left(\frac{2}{5};\frac{13}{5}\right)$ và I(a; b) ta có:

• $\overrightarrow{AH}=\left(\frac{12}{5};\frac{8}{5}\right)$

$\Rightarrow$ M(3; 1)

$\Rightarrow \overrightarrow{IM}$ = (3 – a; 1 – b)

$\Rightarrow 2\overrightarrow{IM}$ = (6 – 2a; 2 – 2b)

Ta có $\overrightarrow{AH}=2\overrightarrow{IM}$

Vậy tọa độ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là $I\left(\frac{9}{5};\frac{1}{5}\right).$

Bài 4.69 trang 71 sách bài tập Toán lớp 10 Tập 1: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho ba điểm A(2; −1), B(5; 3) và C(–2; 9).

a) Tìm điểm D thuộc trục hoành sao cho B, C, D thẳng hàng.

b) Tìm điểm E thuộc trục hoành sao cho EA + EB nhỏ nhất.

c) Tìm điểm F thuộc trục tung sao cho vectơ $\overrightarrow{FA}+\overrightarrow{FB}+\overrightarrow{FC}$ có độ dài ngắn nhất.

Lời giải:

a) Giả sử D(a; 0) là điểm thuộc trục hoành.

Với B(5; 3), C(–2; 9) và D(a; 0) ta có:

• $\overrightarrow{BC}$ = (–7; 6)

• $\overrightarrow{BD}$ = (a – 5; –3)

Vì ba điểm B, C, D thẳng hàng nên ta có: $\overrightarrow{BC}$ và $\overrightarrow{BD}$ là hai vectơ cùng phương

$\iff \frac{a-5}{-7}=\frac{-3}{6}$

$\iff \frac{a-5}{-7}=\frac{-1}{2}$

$\iff$ 2(a – 5) = 7

$\iff$ a – 5 = $\frac{7}{2}$

$\iff$ a = $\frac{17}{2}$

Vậy $D\left(\frac{17}{2};0\right)$ là điểm cần tìm.

b) Ta có: A(2; −1), B(5; 3) là hai điểm nằm về hai phía của trục hoành

Do đó với mỗi điểm E nằm trên trục hoành ta luôn có EA + EB ≥ AB

Suy ra EA + EB ngắn nhất là bằng AB

Điều này xảy ra khi và chỉ khi E là giao điểm của AB và trục hoành Ox

$\iff$ 3 điểm A, E, B thẳng hàng

$\iff \overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AE}$ là hai vectơ cùng phương

Giả sử E(b; 0) là điểm thuộc trục hoành.

Với A(2; −1), B(5; 3) và E(b; 0) ta có:

• $\overrightarrow{AB}$ = (3; 4)

• $\overrightarrow{AE}$ = (b – 2; 1)

Khi đó $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AE}$ là hai vectơ cùng phương

$\iff \frac{b-2}{3}=\frac{1}{4}$

$\iff$ b – 2 = $\frac{3}{4}$

$\iff$ b = $\frac{11}{4}$

Vậy $E\left(\frac{11}{4};0\right)$ là điểm cần tìm.

c) Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC.

Khi đó với A(2; −1), B(5; 3) và C(–2; 9) ta có:

Để vectơ $\overrightarrow{FA}+\overrightarrow{FB}+\overrightarrow{FC}$ có độ dài ngắn nhất thì FG có độ dài ngắn nhất

Mà F là điểm nằm trên trục tung

Do đó F là hình chiếu vuông góc của G lên Oy.

$\Rightarrow$ Hoành độ của F là x = 0 và tung độ của F bằng với tung độ của G là y = $\frac{11}{3}$

Vậy $F\left(0;\frac{11}{3}\right).$

Bài 4.70 trang 71 sách bài tập Toán lớp 10 Tập 1: Một ô tô có khối lượng 2,5 tấn chạy từ chân lên đỉnh một con dốc thẳng. Tính công của trọng lực tác động lên xe, biết dốc dài 50 m và nghiêng 15° so với phương nằm ngang (trong tính toán, lấy gia tốc trọng trường bằng 10 m/s²).

Lời giải:

Đổi 2,5 tấn = 2 500 kg.

Trọng lực $\overrightarrow{P}$ của ô tô hợp với hướng chuyển dời $\overrightarrow{MN}$ một góc là:

α = 90° + 15° = 105°.

Trọng lực $\overrightarrow{P}$ được phân tích thành hai thành phần $\overrightarrow{P_1}$ và $\overrightarrow{P_2}$ nên ta có:

$\overrightarrow{P}=\overrightarrow{P_1}+\overrightarrow{P_2}$

( $\overrightarrow{P_1}$ có phương vuông góc với mặt dốc, $\overrightarrow{P_2}$ có phương song song với mặt dốc)

Ta thấy $\overrightarrow{P_1}$ không có tác dụng với chuyển dời $\overrightarrow{MN}$ của xe và $\overrightarrow{P_2}$ ngược hướng với $\overrightarrow{MN}$.

Do đó công của trọng lực tác động lên xe bằng:

Vậy công của trọng lực tác động lên xe bằng khoảng –323 524 J.

Lời giải Sách bài tập Toán lớp 10 Bài 11: Tích vô hướng của hai vectơ Kết nối tri thức hay khác:

• Giải SBT Toán 10 trang 66 Tập 1
• Giải SBT Toán 10 trang 67 Tập 1
• Giải SBT Toán 10 trang 68 Tập 1
• Giải SBT Toán 10 trang 69 Tập 1
• Giải SBT Toán 10 trang 70 Tập 1

Xem thêm lời giải Sách bài tập Toán lớp 10 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

• SBT Toán 10 Bài 12: Số gần đúng và sai số

• SBT Toán 10 Bài 13: Các số đặc trưng đo xu thế trung tâm

• SBT Toán 10 Bài 14: Các số đặc trưng đo độ phân tán

• SBT Toán 10 Bài tập cuối chương 5 trang 81, 82, 83, 84

• SBT Toán 10 Bài 5: Giá trị lượng giác của một góc từ 0° đến 180°

Xem thêm các tài liệu học tốt lớp 10 hay khác:

• Giải sgk Toán 10 Kết nối tri thức
• Giải Chuyên đề học tập Toán 10 Kết nối tri thức
• Giải SBT Toán 10 Kết nối tri thức
• Giải lớp 10 Kết nối tri thức (các môn học)
• Giải lớp 10 Chân trời sáng tạo (các môn học)
• Giải lớp 10 Cánh diều (các môn học)

---