Giải SBT Toán 10 trang 21 Tập 2 Kết nối tri thức

Với Giải SBT Toán 10 trang 21 Tập 2 trong Bài 18: Phương trình quy về phương trình bậc hai Sách bài tập Toán 10 Kết nối tri thức hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh dễ dàng làm bài tập trong SBT Toán 10 trang 21.

Giải SBT Toán 10 trang 21 Tập 2 Kết nối tri thức

Bài 6.28 trang 21 Sách bài tập Toán lớp 10 Tập 2: Giải các phương trình sau:

a) $\sqrt{-x^2+77x-212}=\sqrt{x^2+x-2}$;

b) $\sqrt{x^2+25x-26}=\sqrt{x-x^2}$;

c) $\sqrt{4x^2+8x-37}=\sqrt{-x^2-2x+3}$.

Hướng dẫn giải:

a) $\sqrt{-x^2+77x-212}=\sqrt{x^2+x-2}$ (1)

Bình phương hai vế của (1) ta có:

–x² + 77x – 212 = x² + x – 2

⇔ 2x² – 76x + 210 = 0

⇔ x = 35 hoặc x = 3

Thay x = 35 vào (1) ta có:

$\sqrt{-{35}^2+77.35-212}=\sqrt{{35}^2+35-2}\iff \sqrt{1258}=\sqrt{1258}$ (thỏa mãn)

Thay x = 3 vào (1) ta có:

$\sqrt{-3^2+77.3-212}=\sqrt{3^2+3-2}\iff \sqrt{10}=\sqrt{10}$ (thỏa mãn)

Vậy tập nghiệm của phương trình (1) là S = {3; 35}.

b) $\sqrt{x^2+25x-26}=\sqrt{x-x^2}$ (2)

Bình phương hai vế của (2) ta có:

x² + 25x – 26 = x – x²

⇔ 2x² + 24x – 26 = 0

⇔ x = 1 hoặc x = –13

Thay x = 1 vào (2) ta có:

$\sqrt{1^2+25.1-26}=\sqrt{1-1^2}$ ⇔ 0 = 0 (thỏa mãn)

Thay x = –13 vào (2) ta có:

$\sqrt{{(-13)}^2+25.(-13)-26}=\sqrt{(-13)-{(-13)}^2}$

$\iff \sqrt{-182}=\sqrt{-182}$ (không thể tồn tại)

Vậy tập nghiệm của phương trình (2) là S = {1}.

c) $\sqrt{4x^2+8x-37}=\sqrt{-x^2-2x+3}$ (3)

Bình phương hai vế của (3) ta có:

4x² + 8x – 37 = –x² – 2x + 3

⇔ 5x² + 10x – 40 = 0

⇔ x = 2 hoặc x = –4

Thay x = 2 vào (3) ta có:

$\sqrt{4.2^2+8.2-37}=\sqrt{-2^2-2.2+3}\iff \sqrt{-5}=\sqrt{-5}$ (không thể tồn tại)

Thay x = –4 vào (3) ta có:

$\sqrt{4.{(-4)}^2+8.(-4)-37}=\sqrt{-{(-4)}^2-2.(-4)+3}$

$\iff \sqrt{-5}=\sqrt{-5}$ (không thể tồn tại)

Vậy tập nghiệm của phương trình (3) là S = ∅.

Bài 6.29 trang 21 Sách bài tập Toán lớp 10 Tập 2: Giải các phương trình sau:

a) $\sqrt{2x^2-13x+16}=6-x$;

b) $\sqrt{3x^2-33x+55}=x-5$;

c) $\sqrt{-x^2+3x+1}=x-4$.

Hướng dẫn giải:

a) $\sqrt{2x^2-13x+16}=6-x$ (1)

Bình phương hai vế của (1) ta có:

2x² – 13x + 16 = (6 – x)²

⇔ 2x² – 13x + 16 = 36 – 12x + x²

⇔ x² – x – 20 = 0

⇔ x = 5 hoặc x = –4

Thay x = 5 vào (1) ta có:

$\sqrt{2.5^2-13.5+16}=6-5\iff 1=1$ (thỏa mãn)

Thay x = –4 vào (1) ta có:

$\sqrt{2.{(-4)}^2-13.(-4)+16}=6-(-4)\iff 10=10$ (thỏa mãn)

Vậy tập nghiệm của phương trình (1) là S = {–4; 5}.

b) $\sqrt{3x^2-33x+55}=x-5$ (2)

Bình phương hai vế của (2) ta có:

3x² – 33x + 55 = (x – 5)²

⇔ 3x² – 33x + 55 = x² – 10x + 25

⇔ 2x² – 23x + 30 = 0

⇔ x = 10 hoặc x = 1,5

Thay x = 10 vào (2) ta có:

$\sqrt{3.{10}^2-33.10+55}=10-5\iff 5=5$ (thỏa mãn)

Thay x = 1,5 vào (2) ta có:

$\sqrt{3.1,5^2-33.1,5+55}=1,5-5\iff 3,5=-3,5$ (không thỏa mãn)

Vậy tập nghiệm của phương trình (2) là S = {10}.

c) $\sqrt{-x^2+3x+1}=x-4$ (3)

Bình phương hai vế của (3) ta có:

–x² + 3x + 1 = (x – 4)²

⇔ –x² + 3x + 1 = x² – 8x + 16

⇔ 2x² – 11x + 15 = 0

⇔ x = 3 hoặc x = 2,5

Thay x = 3 vào (3) có:

$\sqrt{-3^2+3.3+1}=3-4\iff 1=-1$ (không thỏa mãn)

Thay x = 2,5 vào (3) có:

$\sqrt{-2,5^2+3.2,5+1}=2,5-4\iff 1,5=-1,5$ (không thỏa mãn)

Vậy phương trình (3) có tập nghiệm là S = ∅.

Bài 6.30 trang 21 Sách bài tập Toán lớp 10 Tập 2: Giải các phương trình sau:

a) $\sqrt{2x-3}=x-3$;

b) $(x-3)\sqrt{x^2+4}=x^2-9$.

Hướng dẫn giải:

a) $\sqrt{2x-3}=x-3$ (1)

Bình phương hai vế của (1) ta có:

2x – 3 = (x – 3)²

⇔ 2x – 3 = x² – 6x + 9

⇔ x² – 8x + 12 = 0

⇔ x = 6 hoặc x = 2

Thay x = 6 vào (1) ta có:

$\sqrt{2.6-3}=6-3\iff 3=3$ (thỏa mãn)

Thay x = 2 vào (1) ta có:

$\sqrt{2.2-3}=2-3\iff 1=-1$ (không thỏa mãn)

Vậy tập nghiệm của phương trình là: S = {6}.

b)

Do x² + 4 > 0 với mọi số thực x nên $\sqrt{x^2+4}$ luôn có nghĩa với mọi số thực x

Bình phương hai vế của phương trình (3) ta có:

x² + 4 = (x + 3)²

⇔ x² + 4 = x² + 6x + 9

⇔ 6x = –5

⇔ $x=-\frac{5}{6}$

Thay $x=-\frac{5}{6}$ vào (3) ta có:

$\sqrt{{\left(-\frac{5}{6}\right)}^2+4}=-\frac{5}{6}+3\iff \frac{13}{6}=\frac{13}{6}$ (thỏa mãn)

Phương trình (3) có nghiệm là: $x=-\frac{5}{6}$.

Do đó, (4)

Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là S = {$-\frac{5}{6};3$}.

Bài 6.31 trang 21 Sách bài tập Toán lớp 10 Tập 2: Tìm điều kiện của tham số m để phương trình sau có nghiệm: $\sqrt{2x^2+x+1}=\sqrt{x^2+mx+m-1}$.

Hướng dẫn giải:

$\sqrt{2x^2+x+1}=\sqrt{x^2+mx+m-1}$ (1)

Bình phương hai vế của (1) ta có:

2x² + x + 1 = x² + mx + m – 1

⇔ x² + (1 – m)x + 2 – m = 0 (2)

Xét tam thức bậc hai f(x) = 2x² + x + 1 có: a = 2 > 0, ∆_f = 1² – 4.2.1 = –7 < 0

Do đó, f(x) = 2x² + x + 1 > 0 với mọi số thực x nên x² + mx + m – 1 > 0 với mọi số thực x, do đó, $\sqrt{2x^2+x+1}$, $\sqrt{x^2+mx+m-1}$ luôn có nghĩa với mọi số thực x.

Do đó, (1) có nghiệm khi và chỉ khi (2) có nghiệm.

Xét phương trình bậc hai (2) ta có:

∆ = (1 – m)² – 4.1.(2 – m) = 1 – 2m + m² – 8 + 4m = m² + 2m – 7

Phương trình (2) có nghiệm khi và chỉ chi ∆ ≥ 0

⇔ m² + 2m – 7 ≥ 0

Xét phương trình bậc hai ẩn m là: m² + 2m – 7 = 0 có:

a = 1 > 0

∆_m = 2² – 4.1.(–7) = 32 > 0

Do đó, phương trình có hai nghiệm phân biệt là: $m_1=-1+2\sqrt{2};m_2=-1-2\sqrt{2}$

Do đó, m² + 2m – 7 ≥ 0 ⟺

Vậy khi $m\ge -1+2\sqrt{2}$ hoặc $m\le -1-2\sqrt{2}$ thì phương trình $\sqrt{2x^2+x+1}=\sqrt{x^2+mx+m-1}$ có nghiệm.

Bài 6.32 trang 21 Sách bài tập Toán lớp 10 Tập 2: Mặt cắt đứng của cột cây số trên quốc lộ có dạng nửa hình tròn ở phía trên và phía dưới có dạng hình chữ nhật (xem hình dưới). Biết rằng đường kính của nửa hình tròn cũng là cạnh phía trên của hình chữ nhật và đường chéo của hình chữ nhật có độ dài 66 cm. Tìm kích thước của hình chữ nhật, biết rằng diện tích của phần nửa hình tròn bằng 0,3 lần diện tích của phần hình chữ nhật. Lấy π = 3,14 và làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ hai.

Hướng dẫn giải:

Gọi đường kính của nửa hình tròn là x (cm) (x > 0).

Độ dài cạnh phía trên của hình chữ nhật bằng đường kính của nửa hình tròn hay AB = x (cm).

Xét tam giác vuông ABD

Áp dụng định lí Pythagore, ta có:

BD² = AD² + AB²

⇔ AD² = BD² – AB²

Suy ra AD = $\sqrt{B{D}^2-A{B}^2}=\sqrt{{66}^2-x^2}=\sqrt{4356-x^2}$.

Độ dài cạnh còn lại của hình chữ nhật là AD = $\sqrt{4356-x^2}$

Diện tích nửa hình tròn là $\frac{1}{2}\pi {\left(\frac{\mathrm{AB}}{2}\right)}^2=\frac{1}{2}.3,14.{\left(\frac{x}{2}\right)}^2=\frac{3,14x^2}{8}$.

Diện tích hình chữ nhật là x$\sqrt{4356-x^2}$. Theo giả thiết ta có:

$\frac{3,14x^2}{8}=0,3x\sqrt{4356-x^2}$

$\Rightarrow 157x=120\sqrt{4356-x^2}$ (do x > 0).

Bình phương hai vế của phương trình ta có:

24 649x² = 14 400(4 356 – x²)

⇔ 24 649x² = 62 726 400 – 14 400x²

⇔ 39 049x² = 62 726 400

⇔ x ≈ ± 40,08

Do x > 0 nên ta có: x = 40,08

Độ dài cạnh trên của hình chữ nhật là 40,08 cm, độ dài cạnh còn lại là: $\sqrt{4356-40,{08}^2}\approx 52,44$ (cm)

Vậy kích thước của hình chữ nhật khoảng 40,08 cm × 52,44 cm.

Xem thêm lời giải sách bài tập Toán lớp 10 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

• SBT Toán 10 Bài tập cuối chương 6

• SBT Toán 10 Bài 19: Phương trình đường thẳng

• SBT Toán 10 Bài 20: Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng. Góc và khoảng cách

• SBT Toán 10 Bài 21: Đường tròn trong mặt phẳng tọa độ

• SBT Toán 10 Bài 22: Ba đường conic

Xem thêm các tài liệu học tốt lớp 10 hay khác:

• Giải sgk Toán 10 Kết nối tri thức
• Giải Chuyên đề học tập Toán 10 Kết nối tri thức
• Giải SBT Toán 10 Kết nối tri thức
• Giải lớp 10 Kết nối tri thức (các môn học)
• Giải lớp 10 Chân trời sáng tạo (các môn học)
• Giải lớp 10 Cánh diều (các môn học)

---