Giải SBT Toán 7 trang 94 Tập 2 Cánh diều

Với Giải sách bài tập Toán 7 trang 94 Tập 2 trong Bài 12: Tính chất ba đường trung trực của tam giác SBT Toán 7 Tập 2 Cánh diều hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh dễ dàng làm bài tập trong SBT Toán 7 trang 94.

Giải SBT Toán 7 trang 94 Tập 2 Cánh diều

Bài 85 trang 94 sách bài tập Toán lớp 7 Tập 2: Cho hai tam giác đều chung đáy ABC và BCD. Gọi I là trung điểm của BC. Trong các phát biểu sau, phát biểu nào đúng, phát biểu nào sai?

a) Đường thẳng BC là đường trung trực của AD.

b) Điểm I cách đều các điểm A, B, D.

c) Điểm B nằm trên đường trung trực của CD.

d) Điểm C không nằm trên đường trung trực của BD.

Lời giải:

Vì tam giác ABC, DBC là tam giác đều nên AB = AC = BC = BD = DC.

•Ta có CA = CD nên C nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng AD.

Do BA = BD nên B nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng AD.

Suy ra BC là đường trung trực của đoạn thẳng AD.

Do đó phát biểu a là đúng.

•Vì BC = BD nên điểm B nằm trên đường trung trực của CD.

Do đó phát biểu c là đúng.

•Vì CB = CD nên điểm C nằm trên đường trung trực của BD.

Do đó phát biểu d là sai.

• Tam giác ABC là tam giác đều nên $\widehat{ABC}=60°$ .

Trong tam giácABI vuông tại I có $\widehat{IAB}+\widehat{IBA}=90°$ (trong tam giác vuông, tổng hai góc nhọn bằng 90°)

Suy ra $\widehat{IAB}=90°-\widehat{IBA}=90°-60°=30°$ .

Xét tam giác ABI có $\widehat{ABI}>\widehat{IAB}$ (do 60° > 30°).

Suy ra AI > BI (trong một tam giác, cạnh đối diện với góc lớn hơn là cạnh lớn hơn)

Do đó điểm I không cách đều hai điểm A và B nên phát biểu b là sai.

Vậy phát biểu a, c là đúng; phát biểu b, d là sai.

Bài 86 trang 94 sách bài tập Toán lớp 7 Tập 2: Cho tam giác ABC cân ở A. Đường trung trực của cạnh AC cắt AB tại D. Biết CD là tia phân giác của góc ACB. Tính số đo các góc của tam giác ABC.

Lời giải:

Đặt $\widehat{DCA}=x$ .

Vì CD là tia phân giác của góc ACB nên $\widehat{ACB}=2\widehat{ACD}=2\widehat{BCD}=2x$ .

Vì tam giác ABC cân tại A nên AB = AC, $\widehat{ABC}=\widehat{ACB}$ .

Suy ra $\widehat{ABC}=2x$

Do điểm D nằm trên đường trung trực của canhk AC nên DA = DC.

Do đó tam giác DAC cân ở D nên $\widehat{DAC}=\widehat{DCA}=x$ .

Xét ∆ABC có $\widehat{ACB}+\widehat{ABC}+\widehat{BAC}=180°$ (tổng ba góc của một tam giác)

Hay 2x + 2x + x = 180° nên 5x = 180°.

Suy ra x = 180°: 5 = 36°.

Do đó $\widehat{ACB}=\widehat{ABC}=2.36°=72°,\widehat{BAC}=36°$ .

Vậy số đo các góc A, B, C của tam giác ABC lần lượt là: 36°, 72°, 72°.

Bài 87 trang 94 sách bài tập Toán lớp 7 Tập 2: Cho tam giác đều ABC có I là điểm cách đều ba cạnh AB, BC, CA. Chứng minh rằng I cách đều ba đỉnh A, B, C và cũng là trọng tâm của tam giác ABC.

Lời giải:

Gọi M, N, P lần lượt là hình chiếu của I trên BC, AC, AB.

Khi đó IM = IN = IP.

+) Chứng minh I cách đều ba đỉnh của tam giác ABC.

• Xét ∆AIP và ∆AIN có:

$\widehat{API}=\widehat{AQI}$ (cùng bằng 90°),

AI là cạnh chung,

IP = IN (chứng minh trên)

Do đó ∆AIP = ∆AIN (cạnh huyền – cạnh góc vuông)

Suy ra AP = AN (hai cạnh tương ứng) và $\widehat{PAI}=\widehat{NAI}$(hai góc tương ứng).

Do đó AI là tia phân giác của góc BAC.

Mà $\widehat{BAC}=60°$(do tam giác ABC đều).

Nên $\widehat{PAI}=\widehat{NAI}=30°$.

Xét tam giác API vuông tại P có: $\widehat{PAI}+\widehat{PIA}=90°$(trong tam giác vuông, tổng hai góc nhọn bằng 90°).

Suy ra $\widehat{PIA}=90°-\widehat{PAI}=90°-30°=60°$

Chứng minh tương tự ta có: $\widehat{PIB}=60°$.

Xét ∆PIA và ∆PIB có:

$\widehat{API}=\widehat{BPI}=90°$,

PI là cạnh chung,

$\widehat{PIA}=\widehat{PIB}$(cùng bằng 60°)

Do đó ∆PIA = ∆PIB (cạnh góc vuông – góc nhọn kề).

Suy ra IA = IB (hai cạnh tương ứng)

• Chứng minh tương tự ta cũng có IB = IC.

Do đó IA = IB = IC nên I cách đều ba đỉnh của tam giác ABC.

+) Chứng minh I là trọng tâm của tam giác ABC.

• Ta có ∆PIA = ∆PIB (chứng minh trên)

Suy ra PA = PB (hai cạnh tương ứng).

Do đó P là trung điểm của AB và điểm P cũng thuộc đường trung trực của AB.

Lại có IA = IB nên điểm I thuộc đường trung trực của AB.

CA = CB (do ∆ABC đều) nên điểm C thuộc đường trung trực của AB.

Do đó ba điểm P, I, C thẳng hàng.

Khi đó CP là đường trung truyến của tam giác ABC.

• Chứng minh tương tự ta cũng có AM, BN là các đường trung tuyến của tam giác ABC.

Mặt khác ba đường thẳng AM, BN, CP đều đi qua điểm I.

Do đó I là trọng tâm tam giác ABC.

Vậy I cách đều ba đỉnh A, B, C và cũng là trọng tâm của tam giác ABC.

Bài 88 trang 94 sách bài tập Toán lớp 7 Tập 2: Chứng minh rằng các đường trung trực của tam giác vuông đi qua trung điểm của cạnh huyền.

Bài 89 trang 94 sách bài tập Toán lớp 7 Tập 2: Cho góc nhọn xOy và điểm M nằm trong góc xOy. Gọi E, F là hai điểm nằm ngoài góc xOy sao cho Ox là đường trung trực của đoạn thẳng ME, Oy là đường trung trực của đoạn thẳng MF (Hình 55).

Chứng minh:

a) O là giao điểm ba đường trung trực của tam giácEMF.

b) Nếu $\widehat{xOy}=30°$ thì $\widehat{EOF}=60°$ .

Lời giải:

a) Trong tam giác EMF có O là giao điểm hai đường trung trực của ME và MF nên O là giao điểm ba đường trung trực của tam giác EMF.

Vậy O là giao điểm ba đường trung trực của tam giác FEM.

b)

Gọi H là trung điểm của EM.

Xét ∆OEH và ∆OMH có:

$\widehat{OHE}=\widehat{OHM}\left(=90°\right)$,

OH là cạnh chung,

EH = MH (do H là trung điểm của EM).

Do đó ∆OEH = ∆OMH (hai cạnh góc vuông).

Suy ra $\widehat{\text{EOH}}=\widehat{MOH}$ (hai góc tương ứng).

Do đó Ox là tia phân giác của góc EOM nên $\widehat{\text{EOx}}=\widehat{xOM}=\frac{1}{2}\widehat{\text{EOM}}$

Hay $\widehat{EOM}=2\widehat{xOM}$ .

Chứng minh tương tự ta cũng có: $\widehat{\text{FOy}}=\widehat{MOy}=\frac{1}{2}\widehat{\text{MOF}}$

Hay $\widehat{MOF}=2\widehat{MOy}$ .

Ta có $\widehat{EOF}=\widehat{EOM}+\widehat{MOF}=2\widehat{xOM}+2\widehat{MOy}$

$=2\left(\widehat{xOM}+\widehat{MOy}\right)=2\widehat{xOy}=2.30°=60°$

Vậy nếu $\widehat{xOy}=30°$ thì $\widehat{EOF}=60°$ .

Lời giải:

Gọi d là đường trung trực của cạnh AB và M là giao điểm của d và BC.

Do M ∈ d nên MA = MB hay tam giác MAB cân tại M.

Suy ra $\widehat{MBA}=\widehat{MAB}$ (1)

Trong tam giác vuông ABC có $\widehat{ABC}+\widehat{ACB}=90°$ (trong tam giác vuông, tổng hai góc nhọn bằng 90°)

Nên $\widehat{ACB}=90°-\widehat{ABC}$(2)

Ta có $\widehat{BAM}+\widehat{MAC}=\widehat{BAC}=90°$

Nên $\widehat{MAC}=90°-\widehat{MBA}$ (3)

Từ (1),(2) và (3) suy ra $\widehat{MAC}=\widehat{MCA}$

Do đó tam giác MAC cân tại M nên MA = MC.

Như vậy, MB = MC (= MA) nên M là trung điểm của BC.

Vậy các đường trung trực của tam giác vuông đi qua trung điểm của cạnh huyền.

Lời giải Sách bài tập Toán lớp 7 Bài 12: Tính chất ba đường trung trực của tam giác Cánh diều hay khác:

• Giải SBT Toán 7 trang 95 Tập 2

Xem thêm lời giải Sách bài tập Toán lớp 7 Cánh diều hay, chi tiết khác:

• SBT Toán 7 Bài 9: Đường trung trực của một đoạn thẳng

• SBT Toán 7 Bài 10: Tính chất ba đường trung tuyến của tam giác

• SBT Toán 7 Bài 11: Tính chất ba đường phân giác của tam giác

• SBT Toán 7 Bài 13: Tính chất ba đường cao của tam giác

• SBT Toán 7 Bài tập cuối chương 7

Xem thêm các tài liệu học tốt lớp 7 hay khác:

• Giải sgk Toán 7 Cánh diều
• Giải SBT Toán 7 Cánh diều
• Giải lớp 7 Cánh diều (các môn học)
• Giải lớp 7 Kết nối tri thức (các môn học)
• Giải lớp 7 Chân trời sáng tạo (các môn học)

---