Cho hình bình hành ABCD có BC = 2AB Gọi M, N lần lượt

Giải SBT Toán 8 Bài tập cuối chương 5 - Cánh diều

Bài 43 trang 104 SBT Toán 8 Tập 1: Cho hình bình hành ABCD có BC = 2AB. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BC, AD.

a) Chứng minh tứ giác MBND là hình bình hành.

b) Gọi P là giao điểm của AM và BN, Q là giao điểm của CN và DM. Chứng minh tứ giác PMQN là hình chữ nhật.

c*) Tìm điều kiện của hình bình hành ABCD để tứ giác PMQN là hình vuông.

d) Tính diện tích của tứ giác PMQN, biết AB = 2 cm, $\widehat{MAD}=30°$.

Lời giải:

a) Do ABCD là hình bình hành nên BC // AD và BC = AD

Mà M ∈ BC, N ∈ AD nên MB // ND

Lại có M, N lần lượt là trung điểm của BC, AD nên $MB=MC=\frac{1}{2}BC;NA=ND=\frac{1}{2}AD$

Do đó MB = MC = NA = ND.

Tứ giác MBND có MB // ND và MB = ND nên là hình bình hành.

b) Tương tự câu a, ta chứng minh được MANC là hình bình hành.

Do MBND, MANC đều là hình bình hành nên PN // MQ, PM // NQ (do P là giao điểm của AM và BN, Q là giao điểm của CN và DM).

Suy ra tứ giác PMQN là hình bình hành.

Xét ∆ABN và ∆MNB có:

AN = BM, $\widehat{ANB}=\widehat{MBN}$(hai góc so le trong do BM // AN), cạnh BN chung

Do đó ∆ABN = ∆MNB (c.g.c). Suy ra AB = MN (hai cạnh tương ứng0

Tứ giác ABMN có AB = BM = MN = AN nên ABMN là hình thoi.

Suy ra AM ⊥ BN, do đó $\widehat{MPN}=90°$.

Hình bình hành PMQN có $\widehat{MPN}=90°$ nên PMQN là hình chữ nhật.

c*) Để hình chữ nhật PMQN là hình vuông thì PM = PN.

Mà ABMN là hình thoi nên ABMN cũng là hình bình hành.

Suy ra AM, BN cắt nhau tại trung điểm P của mỗi đường.

Mà PM = PN, suy ra AM = BN.

Hình bình hành ABMN có AM = BN nên ABMN là hình chữ nhật.

Suy ra $\widehat{ABM}=90°$ hay $\widehat{ABC}=90°$.

Hình bình hành ABCD có $\widehat{ABC}=90°$ nên ABCD là hình chữ nhật.

Dễ thấy, nếu hình bình hành ABCD là hình chữ nhật và BC = 2AB thì PMQN là hình vuông.

Vậy điều kiện của hình bình hành ABCD để PMQN là hình vuông là hình bình hành ABCD là hình chữ nhật có BC = 2AB.

d) Ta có BM = AB = 2 cm.

Do ABMN là hình thoi nên AM là tia phân giác của $\widehat{BAN}$.

Suy ra $\widehat{BAN}=2\widehat{MAD}=60°$.

Tam giác ABN có AB = AN và $\widehat{BAN}=60°$ nên tam giác ABN đều.

Suy ra BN = AN = AB = 2 cm.

Do P là trung điểm của BN nên $BP=NP=\frac{BN}{2}=1\text{ cm}$.

Áp dụng định lý Pythagore cho tam giác BMP vuông tại P, ta có: BM² = BP² + MP².

Suy ra MP² = BM² ‒ BP² = 2² ‒ 1² = 3. Do đó $MP=\sqrt{3}\text{ cm}$.

Do PMQN là hình chữ nhật nên diện tích của PMQN là:

$MP.NP=\sqrt{3}.1=\sqrt{3} \left({\text{cm}}^2\right).$

Lời giải SBT Toán 8 Bài tập cuối chương 5 hay khác:

• Bài 37 trang 103 SBT Toán 8 Tập 1: Cho hình bình hành ABCD có $\widehat{A}=3\widehat{B}$ . Số đo các góc của hình bình hành ABCD ....

• Bài 38 trang 103 SBT Toán 8 Tập 1: Cho hình vuông ABCD có độ dài cạnh bằng 8 cm. Độ dài đường chéo AC là ....

• Bài 39 trang 103 SBT Toán 8 Tập 1: Cho tứ giác ABCD có E, F, G, H lần lượt là trung điểm của AB, BC, CD, DA ....

• Bài 40 trang 103 SBT Toán 8 Tập 1: Một công ty dự định làm một đường ống dẫn từ một nhà máy ở địa điểm C ....

• Bài 41 trang 104 SBT Toán 8 Tập 1: Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH ....

• Bài 42 trang 104 SBT Toán 8 Tập 1: Cho hình thang cân ABCD có AB // CD, $\widehat{D}=45°$ ....

• Bài 44 trang 104 SBT Toán 8 Tập 1: Cho hình vuông ABCD. Lấy điểm M thuộc đường chéo BD ....

Xem thêm các bài giải sách bài tập Toán lớp 8 Cánh diều hay, chi tiết khác:

• SBT Toán 8 Bài 3: Hình thang cân

• SBT Toán 8 Bài 4: Hình bình hành

• SBT Toán 8 Bài 5: Hình chữ nhật

• SBT Toán 8 Bài 6: Hình thoi

• SBT Toán 8 Bài 7: Hình vuông

Xem thêm các tài liệu học tốt lớp 8 hay khác:

• Giải sgk Toán 8 Cánh diều
• Giải SBT Toán 8 Cánh diều
• Giải lớp 8 Cánh diều (các môn học)
• Giải lớp 8 Kết nối tri thức (các môn học)
• Giải lớp 8 Chân trời sáng tạo (các môn học)

Săn SALE shopee tháng này:

• Unilever mua 1 tặng 1
• L'Oreal mua 1 tặng 3
• La Roche-Posay mua là có quà:

---