Cho hình vuông ABCD. Lấy điểm M thuộc đường chéo BD

Giải SBT Toán 8 Bài tập cuối chương 5 - Cánh diều

Bài 44 trang 104 SBT Toán 8 Tập 1: Cho hình vuông ABCD. Lấy điểm M thuộc đường chéo BD. Kẻ ME vuông góc với AB tại E, MF vuông góc với AD tại F.

a) Chứng minh: DE = CF; DE ⊥ CF.

b*) Chứng minh ba đường thẳng DE, BF, CM cùng đi qua một điểm.

c*) Xác định vị trí của điểm M trên đường chéo BD để diện tích của tứ giác AEMF lớn nhất.

Quảng cáo

Lời giải:

Cho hình vuông ABCD. Lấy điểm M thuộc đường chéo BD

Gọi H là giao điểm của DE và CF, K là giao điểm của CM và EF.

Do ABCD là hình vuông nên ta có: DAB^=90°,CD=DA,ADB^=ABD^=DBC^=45°

a) Do MF ⊥ AD nên tam giác FDM vuông tại F.

Do FM ⊥ AD, DC ⊥ AD nên FM // CD, suy ra FMD^=MDC^> (hai góc so le trong)

FDM^=MDC^ (do ABCD là hình vuông nên DM là phân giác góc ADC)

Suy ra FDM^=FMD^, nên ∆FDM cân tại F

Do đó FM = FD.

Do ME ⊥ AB nên MEA^=90°

Tứ giác AEMF có MFA^=FAE^=AEM^=90° nên AEMF là hình chữ nhật.

Suy ra AE = FM.

Do đó AE = FD (vì cùng bằng FM).

Xét ∆ADE vuông tại A và ∆DCF vuông tại D có:

AE = DF, AD = DC (chứng minh trên)

Do đó ∆ADE = ∆DCF (hai cạnh góc vuông)

Suy ra DE = CF (hai cạnh tương ứng) và AED^=DFC^ (hai góc tương ứng)

Xét tam giác ADE vuông tại A, ta có: AED^+ADE^=90°.

Suy ra DFC^+ADE^=90° hay DFH^+FDH^=90°.

Xét ∆DHF có DFH^+FDH^+DHF^=180°

Suy ra DHF^=180°DFH^+FDH^=180°90°=90°.

Vậy DE ⊥ CF.

b*) Tương tự câu a, ta chứng minh được BF ⊥ CE.

Xét ∆ABM và ∆CBM có:

AB = BC, ABM^=CBM^=45°, cạnh BM chung

Do đó ∆ABM = ∆CBM (c.g.c)

Suy ra AM = CM (hai cạnh tương ứng)

Mà EF = AM (vì AEMF là hình chữ nhật), suy ra EF = CM.

Xét ∆DEF và ∆FCM có:

DE = FC, EF = CM, DF = FM

Do đó ∆DEF = ∆FCM (c.c.c)

Suy ra DEF^=FCM^  (hai góc tương ứng)

Hay FEH^=FCK^.                                        

Trong tam giác HEF vuông tại H, ta có FEH^+EFH^=90°.

Suy ra FCK^+EFH^=90° hay FCK^+KFC^=90°.

Do đó CKF^=90°. Do đó CK ⊥ EF.

Trong tam giác CEF, ta có: EH ⊥ CF, FB ⊥ CE, CM ⊥ EF nên ba đường thẳng EH, FB, CM là các đường cao của tam giác CEF.

Hay ba đường thẳng DE, BF, CM  là các đường cao của tam giác CEF.

Vậy ba đường thẳng DE, BF, CM cùng đi qua một điểm.

c*) Chu vi của hình chữ nhật AEMF là: 2(AE + AF) = 2(DF + AF) = 2AD.

Mà AD không đồi nên chu vi của hình chữ nhật AEMF không đồi.

Do đó, diện tích của tứ giác AEMF lớn nhất khi AEMF là hình vuông. Suy ra ME = MF.

Khi đó ∆BEM = ∆DFM (cạnh góc vuông – góc nhọn kề).

Suy ra BM = DM hay M là trung điểm của BC.

Vậy với M là trung điểm của BC thì diện tích của tứ giác AEMF lớn nhất.

Quảng cáo

Lời giải SBT Toán 8 Bài tập cuối chương 5 hay khác:

Quảng cáo
Quảng cáo

Xem thêm các bài giải sách bài tập Toán lớp 8 Cánh diều hay, chi tiết khác:

Xem thêm các tài liệu học tốt lớp 8 hay khác:

Săn SALE shopee tháng này:

ĐỀ THI, GIÁO ÁN, SÁCH LUYỆN THI DÀNH CHO GIÁO VIÊN VÀ PHỤ HUYNH LỚP 8

Bộ giáo án, bài giảng powerpoint, đề thi, sách dành cho giáo viên và gia sư dành cho phụ huynh tại https://tailieugiaovien.com.vn/ . Hỗ trợ zalo VietJack Official

Tổng đài hỗ trợ đăng ký : 084 283 45 85

Đã có app VietJack trên điện thoại, giải bài tập SGK, SBT Soạn văn, Văn mẫu, Thi online, Bài giảng....miễn phí. Tải ngay ứng dụng trên Android và iOS.

Theo dõi chúng tôi miễn phí trên mạng xã hội facebook và youtube:

Loạt bài Giải SBT Toán 8 Tập 1 & Tập 2 hay, chi tiết của chúng tôi được biên soạn bám sát Sách bài tập Toán 8 Cánh diều (NXB Đại học Sư phạm).

Nếu thấy hay, hãy động viên và chia sẻ nhé! Các bình luận không phù hợp với nội quy bình luận trang web sẽ bị cấm bình luận vĩnh viễn.


Giải bài tập lớp 8 Cánh diều khác
Tài liệu giáo viên