Cho tam giác ABC vuông tại A, có đường phân giác AD. Vẽ hình vuông MNPQ ở đó M

Giải SBT Toán 8 Bài tập cuối chương 8 - Cánh diều

Bài 73 trang 85 SBT Toán 8 Tập 2: Cho tam giác ABC vuông tại A, có đường phân giác AD. Vẽ hình vuông MNPQ ở đó M thuộc cạnh AB, N thuộc cạnh AC, P và Q thuộc cạnh BC. Gọi E và F lần lượt là giao điểm của BN và MQ, CM và NP (Hình 60). Chứng minh:

a) DE song song với AC;

b) DE = DF.

Lời giải:

a) Do MNPQ là hình vuông nên MQ // NP, mà E ∈ MQ nên EQ // NP.

Xét ∆BNP với EQ // NP, ta có $\frac{BE}{EN}=\frac{BQ}{QP}$ (định lí Thalès) (1)

MNPQ là hình vuông nên MQ ⊥ BC, do đó tam giác BQM vuông tại Q.

Xét ∆BQM (vuông tại Q) và ∆BAC (vuông tại A) có: $\widehat{B}$ là góc chung

Do đó ∆BQM ᔕ ∆BAC (g.g).

Suy ra $\frac{BQ}{BA}=\frac{QM}{AC}$ (tỉ số đồng dạng)

Hay $\frac{BQ}{QM}=\frac{AB}{AC},$ mà QM = QP (do MNPQ là hình vuông)

Do đó $\frac{BQ}{QP}=\frac{AB}{AC}$ (2)

Xét ∆ABC có AD là phân giác của góc BAC nên: $\frac{DB}{DC}=\frac{AB}{AC}$ (tính chất đường phân giác) (3)

Từ (1), (2), (3) ta có $\frac{BE}{EN}=\frac{DB}{DC}$

Xét ∆NBC có $\frac{BE}{EN}=\frac{BD}{DC}$ nên DE // NC (định lí Thalès đảo) hay DE // AC.

b) Do DE // AC (câu a) nên $\frac{DE}{CN}=\frac{BD}{BC}$ (hệ quả của định lí Thalès)

Do đó $DE=\frac{BD}{BC}\cdot CN.$

• Do MNPQ là hình vuông nên MQ // NP, mà F ∈ NP nên FP // MQ.

Xét ∆MQB với FP // MQ, ta có $\frac{CF}{FM}=\frac{CP}{PQ}$ (định lí Thalès) (4)

Xét ∆CPN (vuông tại P) và ∆CAB (vuông tại A) có: $\widehat{C}$ là góc chung

Do đó ∆CPN ᔕ ∆CAB (g.g).

Suy ra $\frac{CP}{CA}=\frac{PN}{AB}$ (tỉ số đồng dạng) hay $\frac{CP}{PN}=\frac{AC}{AB}$

Mà PQ = PN (do MNPQ là hình vuông) nên $\frac{CP}{PQ}=\frac{AC}{AB}$ (5)

Từ $\frac{DB}{DC}=\frac{AB}{AC}$ ta có $\frac{AC}{AB}=\frac{DC}{DB}$ (6)

Từ (4), (5), (6) ta có $\frac{CF}{FM}=\frac{CD}{DB}$

Xét ∆MBC có $\frac{CF}{FM}=\frac{CD}{DB}$ nên DF // BM (định lí Thalès đảo) hay DF // AB.

Suy ra $\frac{DF}{BM}=\frac{CD}{CB}$ (hệ quả của định lí Thalès), nên $DF=\frac{CD}{CB}\cdot BM$.

Mặt khác, ∆ABC với MN // BC (cùng vuông góc với MQ), ta có $\frac{BM}{AB}=\frac{CN}{AC}$ (hệ quả của định lí Thalès), do đó $\frac{CN}{BM}=\frac{AC}{AB}$

Lại có $\frac{BD}{CD}=\frac{AB}{AC}$ nên $\frac{DE}{DF}=\frac{\frac{BD}{BC}\cdot CN}{\frac{CD}{CB}\cdot BM}$ = $\frac{BD}{CD}\cdot \frac{CN}{BM}$ = $\frac{AB}{AC}\cdot \frac{AC}{AB}=1.$

Suy ra DE = DF.

Lời giải SBT Toán 8 Bài tập cuối chương 8 hay khác:

• Bài 56 trang 83 SBT Toán 8 Tập 2: Cho tam giác ABC. Các điểm M, N lần lượt thuộc các cạnh AB và AC thỏa mãn MN // BC và $\frac{AM}{MB}=\frac{2}{3}$. Tỉ số $\frac{NC}{AN}$ bằng ....

• Bài 57 trang 83 SBT Toán 8 Tập 2: Cho hai tam giác MNP và M’N’P’. Phát biểu nào sau đây là đúng? ....

• Bài 58 trang 83 SBT Toán 8 Tập 2: Nếu ∆MNP ᔕ ∆DEG thì ....

• Bài 59 trang 83 SBT Toán 8 Tập 2: Cho ∆MNP ᔕ ∆M’N’P’ và $\widehat{M}=30°,\widehat{N^{\text{'}}}=40°$. Số đo góc P là: ....

• Bài 60 trang 83 SBT Toán 8 Tập 2: Hình 54 cho biết A’B’ = 4, A’O = 3, AO = 6, OB = x, AB = y ....

• Bài 61 trang 83 SBT Toán 8 Tập 2: Cho tam giác ABC có DE // BC (Hình 55) ....

• Bài 62 trang 84 SBT Toán 8 Tập 2: Cho tam giác ABC có BD là đường phân giác của góc ABC (Hình 56). Độ dài DC là: ....

• Bài 63 trang 84 SBT Toán 8 Tập 2: ∆ABC ᔕ ∆DEF theo tỉ số đồng dạng k, ∆MNP ᔕ ∆DEF theo tỉ số đồng dạng q. Khi đó, ∆ABC ᔕ ∆MNP theo tỉ số đồng dạng là: ....

• Bài 64 trang 84 SBT Toán 8 Tập 2: Để đo khoảng cách AB, trong đó điểm B không tới được, người ta tiến hành đo bằng cách lấy các điểm C, D, E sao cho AD = 10 m, CD = 7 m, DE = 4 m (Hình 57) ....

• Bài 65 trang 84 SBT Toán 8 Tập 2: Cho tam giác ABC, điểm M thuộc cạnh BC sao cho MC = 2MB. Đường thẳng qua M song song với AC cắt AB ở D. Đường thẳng qua M song song với AB cắt AC ở E ....

• Bài 66 trang 84 SBT Toán 8 Tập 2: Cho điểm M thuộc đoạn thẳng AB, với MA = a, MB = b. Vẽ hai tam giác đều AMC và BMD; gọi E là giao điểm của AD và CM, F là giao điểm ....

• Bài 67 trang 85 SBT Toán 8 Tập 2: Một chiếc kệ bảy hoa quả có ba tầng được thiết kế như Hình 59. Tầng đáy có đường kính AB là 32 cm. Tầng giữa có đường kính CD nhỏ hơn ....

• Bài 68 trang 85 SBT Toán 8 Tập 2: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, điểm I thuộc cạnh BC và IM, IN lần lượt là đường phân giác của các góc AIC và AIB ....

• Bài 69 trang 85 SBT Toán 8 Tập 2: Cho tam giác ABC cân tại A, AB = 10 cm, BC = 12 cm. Gọi I là giao điểm của các đường phân giác của tam giác ABC ....

• Bài 70 trang 85 SBT Toán 8 Tập 2: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, các đường cao BD và CE cắt nhau tại H. Chứng minh: ....

• Bài 71 trang 85 SBT Toán 8 Tập 2: Cho hình thang ABCD, AB // CD, $\widehat{DAB}=\widehat{DBC}$, $\frac{AB}{BD}=\frac{2}{5}$. Tính diện tích tam giác BDC, biết diện tích tam giác ABD là 44,8 cm² ....

• Bài 72 trang 85 SBT Toán 8 Tập 2: Cho hình bình hành ABCD (AC > BD). Vẽ CE vuông góc với đường thẳng AB tại E, CF vuông góc với đường thẳng AD tại F, BH vuông góc ....

Xem thêm các bài giải sách bài tập Toán lớp 8 Cánh diều hay, chi tiết khác:

• SBT Toán 8 Bài 6: Trường hợp đồng dạng thứ nhất của tam giác

• SBT Toán 8 Bài 7: Trường hợp đồng dạng thứ hai của tam giác

• SBT Toán 8 Bài 8: Trường hợp đồng dạng thứ ba của tam giác

• SBT Toán 8 Bài 9: Hình đồng dạng

Săn SALE shopee tháng 12-6:

• Unilever mua 1 tặng 1
• L'Oreal mua 1 tặng 3
• La Roche-Posay mua là có quà:

---