Cho hai đường tròn (O; R) và (O’; R’) (R > R’) tiếp xúc trong tại A. Một tiếp tuyến của đường tròn (O’) tại M

Giải sách bài tập Toán 9 Bài tập cuối chương 5 - Chân trời sáng tạo

Bài 18 trang 101 sách bài tập Toán 9 Tập 1: Cho hai đường tròn (O; R) và (O’; R’) (R > R’) tiếp xúc trong tại A. Một tiếp tuyến của đường tròn (O’) tại M cắt đường tròn (O) tại hai điểm B, C. Đường thẳng BO’ cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai D và cắt đường thẳng AM tại E. Gọi F là giao điểm thứ hai của đường tròn ngoại tiếp tam giác ADE với AC và N là giao điểm thứ hai của AN với (O). Chứng minh rằng:

a) O’M // ON.

b) Ba điểm D, N, F thẳng hàng.

c) DF là tia phân giác của góc $\hat{B D C} .$

Quảng cáo

Lời giải:

Cho hai đường tròn (O; R) và (O’; R’) (R > R’) tiếp xúc trong tại A. Một tiếp tuyến của đường tròn (O’) tại M

a) Xét ∆O’AM cân tại O’ (do O’A = O’M) nên $\hat{O^{'} A M} = \hat{O' M A} .$

Xét ∆OAN cân tại O (do OA = ON) nên $\hat{O A N} = \hat{A N O} .$

Do đó $\hat{O' M A} = \hat{O N A},$ mà hai góc này ở vị trí đồng vị, suy ra O’M // ON.

b) Do BC là tiếp tuyến của (O’) nên O’M ⊥ BC.

Mà O’M // ON nên ON ⊥ BC.

Xét ∆OBC cân tại O (do OB = OC) nên đường cao ON đồng thời là đường phân giác của tam giác, hay $\hat{B O N} = \hat{C O N},$ do đó $sđ \overset{⏜}{B N} = sđ \overset{⏜}{N C}$ hay N là điểm chính giữa cung BC.

Mặt khác $\hat{N A C} = \hat{N D C} = \frac{1}{2} sđ \overset{⏜}{N C}$ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung NC của đường tròn (O)) và $\hat{B D N} = \frac{1}{2} sđ \overset{⏜}{B N}$ (góc nội tiếp chắn cung BN của đường tròn (O))

Do đó $\hat{B D N} = \hat{N A C} = \hat{E A F} .$ (1)

Trong đường tròn ngoại tiếp tam giác ADE, ta có:

$\hat{E A F} = \hat{E D F} = \hat{B D F}$ (góc nội tiếp cùng chắn cung EF). (2)

Từ (1), (2) ta có $\hat{B D F} = \hat{B D N},$ suy ra D, N, F thẳng hàng.

c) Ta có hai cung BN và NC có số đo bằng nhau, suy ra $\hat{B D N} = \hat{N D C}$ (hai góc nội tiếp chắn hai cung bằng nhau) hay DF là tia phân giác của $\hat{B D C} .$