Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O), vẽ AX ⊥ BC và cắt nhau tại điểm D. Cho điểm H trên đoạn thẳng AD

Giải sách bài tập Toán 9 Bài tập ôn tập cuối năm - Kết nối tri thức

Bài 14 trang 73 sách bài tập Toán 9 Tập 2: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O), vẽ AX ⊥ BC và cắt nhau tại điểm D. Cho điểm H trên đoạn thẳng AD sao cho DH = DX. Cho BH cắt AC tại E và CH cắt AB tại F.

a) Chứng minh rằng H là trực tâm của tam giác ABC.

b) Chứng minh rằng H là tâm của đường tròn nội tiếp tam giác DEF.

Lời giải:

a) Xét ∆BDH và ∆BDX có:

Chung cạnh BD

$\widehat{BDH}=\widehat{BDX}=90°$

DH = DX

Do đó ∆BDH = ∆BDX (c.g.c), suy ra $\widehat{HBD}=\widehat{DBX}$ (hai góc tương ứng).

Vì $\widehat{CBX}$ và $\widehat{CAX}$ là hai góc nội tiếp của (O) cùng chắn cung $\stackrel{⏜}{CX}$ nên $\widehat{CBX}=\widehat{CAX}.$

Do đó $\widehat{HBD}=\widehat{DBX}=\widehat{CAX}$

Suy ra $\widehat{EBC}=\widehat{CAD}=90°-\widehat{ACD}=90°-\widehat{ACB}$

Xét tam giác EBC có $\widehat{BEC}+\widehat{EBC}+\widehat{ACB}=180°$

Suy ra $\widehat{BEC}=180°-\widehat{EBC}-\widehat{ACB}=180°-\left(90°-\widehat{ACB}\right)-\widehat{ACB}=90°$

Suy ra BE ⊥ AC.

Do đó H là giao điểm hai đường cao AD và BE nên H là trực tâm của tam giác ABC và CF ⊥ AB (đpcm).

b) Tam giác HDB vuông tại D nên tam giác HDB nội tiếp đường tròn đường kính HB.

Tam giác HFB vuông tại F nên tam giác HFB nội tiếp đường tròn đường kính HB.

Do đó tứ giác BDHF nội tiếp đường tròn đường kính HB.

Vì $\widehat{HDF}$ và $\widehat{HBF}$ là hai góc nội tiếp cùng chắn cung $\stackrel{⏜}{HF}$ của đường tròn đường kính HB nên $\widehat{HDF}=\widehat{HBF}$

Tương tự, ta được tứ giác HECD nội tiếp đường tròn đường kính HC, suy ra $\widehat{HDE}=\widehat{HCE}$

Tam giác ABE vuông tại E nên ta có:

$\widehat{HBF}=\widehat{EBA}=90°-\widehat{BAE}=90°-\widehat{BAC}$

Tương tự với tam giác ACF ta được $\widehat{HCE}=90°-\widehat{BAC}$, suy ra $\widehat{HBF}=\widehat{HCF}$

Từ đó suy ra $\widehat{HDF}=\widehat{HBF}=\widehat{HCE}=\widehat{HDE}$

Do đó H nằm trên đường phân giác của góc EDF.

Tương tự ta có H nằm trên đường phân giác của góc FED.

Vậy H là tâm đường tròn nội tiếp tam giác DEF. (đpcm)

Lời giải SBT Toán 9 Bài tập ôn tập cuối năm hay khác:

• Bài 1 trang 72 sách bài tập Toán 9 Tập 2: Giải các phương trình sau: (x + 2)(x² – x + 3) = x³ + 8; $\frac{11}{x}=\frac{9}{x+1}+\frac{2}{x-4}$ ...

• Bài 2 trang 72 sách bài tập Toán 9 Tập 2: Cho hệ phương trình: $\left\{\begin{array}{c}x+3y=1\\ 2x+my=5\end{array}\right.$.Giải hệ phương trình với m = 1 ...

• Bài 3 trang 72 sách bài tập Toán 9 Tập 2: Giải bất phương trình –10x + 7 > 3x – 4. ...

• Bài 4 trang 72 sách bài tập Toán 9 Tập 2: Cho biểu thức: $A=\left(\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+2}-\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-2}+\frac{4\sqrt{x}-1}{x-4}\right):\frac{1}{\sqrt{x}+2}$ (x ≥ 0, x ≠ 4). ...

• Bài 5 trang 72 sách bài tập Toán 9 Tập 2: Cho phương trình x² + 4x + m = 0. Giải phương trình với m = 1 ...

• Bài 6 trang 72 sách bài tập Toán 9 Tập 2: Nếu trộn dung dịch muối nồng độ 10% với dung dịch muối nồng độ 60% để được 250 ml dung dịch muối nồng độ 40% ...

• Bài 7 trang 72 sách bài tập Toán 9 Tập 2: Một ô tô và một xe máy cùng khởi hành từ địa điềm A và đi đến địa điểm B. Do vận tốc của ô tô lớn hơn vận tốc của xe máy là 20 km/h ...

• Bài 8 trang 72 sách bài tập Toán 9 Tập 2: Trái Đất là một quả cầu khổng lồ có thể tích khoảng 1086,23 . 10⁹ km³ ...

• Bài 9 trang 73 sách bài tập Toán 9 Tập 2: Trong hình bên, cho AC = 8 cm, AD = 9,6 cm, $\widehat{ABC}=90°, \widehat{ACB}=54°$ và $\widehat{ACD}=74°$. Hãy tính: ...

• Bài 10 trang 73 sách bài tập Toán 9 Tập 2: Một chiếc thuyền đi với vận tốc 2 km/h vượt qua một khúc sông nước chảy mạnh mất 5 phút ...

• Bài 11 trang 73 sách bài tập Toán 9 Tập 2: Cho hai tiếp tuyến MA và MB của đường tròn (O). Gọi N là điểm sao cho MANB là một hình bình hành ...

• Bài 12 trang 73 sách bài tập Toán 9 Tập 2: Cho tam giác nhọn ABC và điểm D nằm giữa B và C. Gọi E và F lần lượt là chân đường vuông góc hạ từ D xuống AB và AC ...

• Bài 13 trang 73 sách bài tập Toán 9 Tập 2: Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O). Ba đường cao AD, BE và CF của tam giác ABC cắt nhau tại H ...

• Bài 15 trang 74 sách bài tập Toán 9 Tập 2: Một vật thể bằng kim loại gồm có một hình nón và một nửa hình cầu có chung đáy ...

• Bài 16 trang 74 sách bài tập Toán 9 Tập 2: Trong buổi tổng kết năm học, lớp 9C đã thực hiện bình chọn cho danh hiệu “Tổ học tập tích cực nhất của lớp” và thu được kết quả như sau: ...

• Bài 17 trang 74 sách bài tập Toán 9 Tập 2: Bảng sau đây cho biết cơ cấu theo độ tuổi của công nhân trong một công ty may mặc: ...

• Bài 18 trang 74 sách bài tập Toán 9 Tập 2: Một đoàn tàu có 4 toa A, B, C, D đỗ ở một sân ga. Trên sân ga có hai hành khách không quen biết nhau ...

Xem thêm giải sách bài tập Toán lớp 9 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

• SBT Toán 9 Chương 6: Hàm số y = ax² (a ≠ 0). Phương trình bậc hai một ẩn

• SBT Toán 9 Chương 7: Tần số và tần số tương đối

• SBT Toán 9 Chương 8: Xác suất của biến cố trong một số mô hình xác suất đơn giản

• SBT Toán 9 Chương 9: Đường tròn ngoại tiếp và đường tròn nội tiếp

• SBT Toán 9 Chương 10: Một số hình khối trong thực tiễn

Xem thêm các tài liệu học tốt lớp 9 hay khác:

• Giải sgk Toán 9 Kết nối tri thức
• Giải SBT Toán 9 Kết nối tri thức

• Hơn 20.000 câu trắc nghiệm Toán,Văn, Anh lớp 9 có đáp án

Loạt bài Giải SBT Toán 9 Kết nối tri thức của chúng tôi được biên soạn bám sát nội dung sgk Toán 9 Tập 1 & Tập 2 (NXB Giáo dục).

---