Không sử dụng MTCT, chứng minh rằng biểu thức sau có giá trị là một số nguyên

Giải sách bài tập Toán 9 Bài 9: Biến đổi đơn giản và rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai - Kết nối tri thức

Bài 3.19 trang 36 sách bài tập Toán 9 Tập 1: Không sử dụng MTCT, chứng minh rằng biểu thức sau có giá trị là một số nguyên:

$P=\left(\frac{\sqrt{5}+1}{1+\sqrt{5}+\sqrt{3}}+\frac{\sqrt{5}-1}{1+\sqrt{3}-\sqrt{5}}\right)\left(\sqrt{3}-\frac{4}{\sqrt{3}}+2\right)\sqrt{\mathrm{0,2}}$

Lời giải:

Ta có:

$\frac{\sqrt{5}+1}{1+\sqrt{5}+\sqrt{3}}+\frac{\sqrt{5}-1}{1+\sqrt{3}-\sqrt{5}}$

$=\frac{\left(\sqrt{5}+1\right)\left(1+\sqrt{3}-\sqrt{5}\right)+\left(\sqrt{5}-1\right)\left(1+\sqrt{3}+\sqrt{5}\right)}{\left(1+\sqrt{5}+\sqrt{3}\right)\left(1+\sqrt{3}-\sqrt{5}\right)}$

$=\frac{\left(\sqrt{5}+1\right)\left[\left(1+\sqrt{3}\right)-\sqrt{5}\right]+\left(\sqrt{5}-1\right)\left[\left(1+\sqrt{3}\right)+\sqrt{5}\right]}{\left[\left(1+\sqrt{3}\right)+\sqrt{5}\right]\left[\left(1+\sqrt{3}\right)-\sqrt{5}\right]}$

$=\frac{\left(1+\sqrt{3}\right)\left[\left(\sqrt{5}+1\right)+\left(\sqrt{5}-1\right)\right]+\sqrt{5}.\left[-\left(\sqrt{5}+1\right)+\left(\sqrt{5}-1\right)\right]}{{\left(1+\sqrt{3}\right)}^2-5}$

$=\frac{2\sqrt{5}\left(1+\sqrt{3}\right)-2\sqrt{5}}{4+2\sqrt{3}-5}$$=\frac{2\sqrt{5}\left(1+\sqrt{3}-1\right)}{2\sqrt{3}-1}$

$=\frac{2\sqrt{5}.\sqrt{3}}{2\sqrt{3}-1}=\frac{2\sqrt{15}}{2\sqrt{3}-1}$

$\sqrt{3}-\frac{4}{\sqrt{3}}+2=\frac{{\left(\sqrt{3}\right)}^2+4+2\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=\frac{-1+2\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

Do đó $P=\frac{2\sqrt{15}}{2\sqrt{3}-1}.\frac{2\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}}.\sqrt{\mathrm{0,2}}=2\sqrt{\mathrm{5.0,2}}=2\sqrt{1}=2$

Vậy P có giá trị là một số nguyên (P = 2).

Lời giải SBT Toán 9 Bài 9: Biến đổi đơn giản và rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai hay khác:

• Bài 3.15 trang 36 sách bài tập Toán 9 Tập 1: Tính giá trị biểu thức $P={\left(\sqrt{20}+2\sqrt{45}-3\sqrt{80}\right)}^2$. ...

• Bài 3.16 trang 36 sách bài tập Toán 9 Tập 1: Sắp xếp các số sau theo thứ tự tăng dần: $9\sqrt{2};8\sqrt{3};5\sqrt{6};4\sqrt{7}$. ...

• Bài 3.17 trang 36 sách bài tập Toán 9 Tập 1: Thực hiện phép tính ${\left(\frac{1}{\sqrt{8}+\sqrt{7}}+\sqrt{175}-2\sqrt{2}\right)}^2.$ ...

• Bài 3.18 trang 36 sách bài tập Toán 9 Tập 1: Thực hiện phép tính $\sqrt{\frac{3-2\sqrt{2}}{17-12\sqrt{2}}}-\sqrt{\frac{3+2\sqrt{2}}{17+12\sqrt{2}}}.$ ...

• Bài 3.20 trang 36 sách bài tập Toán 9 Tập 1: a) Trục căn ở mẫu của biểu thức $\frac{3+\sqrt{2}}{2\sqrt{2}-1}$. ...

Xem thêm giải sách bài tập Toán lớp 9 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

• SBT Toán 9 Bài 10: Căn bậc ba và căn thức bậc ba

• SBT Toán 9 Bài tập cuối chương 3

• SBT Toán 9 Bài 11: Tỉ số lượng giác của góc nhọn

• SBT Toán 9 Bài 12: Một số hệ thức giữa cạnh, góc trong tam giác vuông và ứng dụng

• SBT Toán 9 Bài tập cuối chương 4

Xem thêm các tài liệu học tốt lớp 9 hay khác:

• Giải sgk Toán 9 Kết nối tri thức
• Giải SBT Toán 9 Kết nối tri thức

• Hơn 20.000 câu trắc nghiệm Toán,Văn, Anh lớp 9 có đáp án

Loạt bài Giải SBT Toán 9 Kết nối tri thức của chúng tôi được biên soạn bám sát nội dung sgk Toán 9 Tập 1 & Tập 2 (NXB Giáo dục).

---