Bài 4 trang 109 Toán 11 Tập 1 Cánh diều

Giải Toán 11 Bài 4: Hai mặt phẳng song song - Cánh diều

Giải sgk Toán 11 Bài 4: Hai mặt phẳng song song

Bài 4 trang 109 Toán 11 Tập 1: Cho hai hình bình hành ABCD và ABEF không cùng nằm trong một mặt phẳng.

Quảng cáo

a) Chứng minh rằng (AFD) // (BEC).

b) Gọi M là trọng tâm của tam giác ABE. Gọi (P) là mặt phẳng đi qua M và song song với mặt phẳng (AFD). Lấy N là giao điểm của (P) và AC. Tính $\frac{A N}{N C}$ .

Lời giải:

Bài 4 trang 109 Toán 11 Tập 1 | Cánh diều Giải Toán 11

Ta có: BE // AF (do ABEF là hình bình hành);

AF ⊂ (AFD)

Do đó BE // (AFD).

Ta cũng có: BC // AD (do ABCD là hình bình hành)

AD ⊂ (AFD)

Do đó BC // (AFD).

Do BE // (AFD);

BC // (AFD);

BE, BC cắt nhau tại điểm B và cùng nằm trong mp(BEC)

Suy ra (AFD) // (BEC).

Bài 4 trang 109 Toán 11 Tập 1 | Cánh diều Giải Toán 11

+) Do (AFD) song song với (P) nên tồn tại hai đường thẳng trong (AFD) song song với (P).

• Trong mp(ABEF), qua điểm M vẽ đường thẳng song song với AF, đường thẳng này cắt AB, EF lần lượt tại I, J.

Khi đó IJ // AF, mà AF ⊂ (AFD) nên IJ // (AFD).

• Trong mp(ABCD), qua điểm I vẽ đường thẳng song song với AD, cắt CD tại K.

Khi đó IK // AD, mà AD ⊂ (AFD) nên IK // (AFD).

• Ta có: IJ // (AFD);

IK // (AFD);

IJ, IK cắt nhau tại điểm I và cùng nằm trong mp(IJK).

Do đó (IJK) // (AFD).

Mà M ∈ IJ, IJ ⊂ (IJK) nên mp (P) đi qua M và song song với (AFD) chính là mp(IJK).

+) Trong mp(ABCD), AC cắt IK tại N, khi đó N là giao điểm của AC và (P).

Trong mp(ABCD), xét DABC có IN // BC (do IK // AD // BC) nên theo định lí Thalès ta có: .

Trong mp(ABEF), xét DABF có IM // AF nên theo định lí Thalès ta có: $\frac{A N}{N C} = \frac{A I}{I B}$ .

Gọi O là tâm hình bình hành ABEF. Khi đó O là trung điểm của FB nên FO = OB.

Do M là trọng tâm của $∆$ ABE nên $M B = \frac{2}{3} O B$ và $O M = \frac{1}{3} O B$ .

Ta có: $\frac{A N}{N C} = \frac{A I}{I B} = \frac{F M}{M B} = \frac{F O + O M}{M B} = \frac{O B + \frac{1}{3} O B}{\frac{2}{3} O B} = \frac{\frac{4}{3} O B}{\frac{2}{3} O B} = 2$ .