Giải Toán 11 trang 94 Tập 2 Cánh diều

Với Giải Toán 11 trang 94 Tập 2 trong Bài 3: Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng. Góc nhị diện Toán 11 Cánh diều hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh lớp 11 dễ dàng làm bài tập Toán 11 trang 94.

Giải Toán 11 trang 94 Tập 2 Cánh diều

Quảng cáo

Bài 1 trang 94 Toán 11 Tập 2: Cho hình chóp S.ABCD có SA ⊥ (ABCD), đáy ABCD là hình thoi cạnh a và AC = a.

a) Tính số đo của góc nhị diện [B, SA, C].

b) Tính số đo của góc nhị diện [B, SA, D].

c) Biết SA = a, tính số đo của góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABCD).

Lời giải:

Bài 1 trang 94 Toán 11 Tập 2 | Cánh diều Giải Toán 11

a) Ta có: SA ⊥ (ABCD) và AB ⊂ (ABCD), AC ⊂ (ABCD).

Suy ra: SA ⊥ AB, SA ⊥ AC.

Mà AB ∩ AC = A ∈ SA.

Do đó BAC^ là góc phẳng nhị diện của góc nhị diện [B, SA, C].

Vì ABCD là hinh thoi cạnh a và AC = a nên ta có AB = AC = BC = a.

Suy ra tam giác ABC đều. Khi đó BAC^=60°.

Vậy số đo của góc nhị diện [B, SA, C] = 60°.

Quảng cáo

b) Ta có: SA ⊥ (ABCD) và AB ⊂ (ABCD), AD ⊂ (ABCD).

Suy ra: SA ⊥ AB, SA ⊥ AD.

Mà AB ∩ AD = A ∈ SA.

Do đó BAD^ là góc phẳng nhị diện của góc nhị diện [B, SA, D].

Vì ABCD là hinh thoi cạnh a và AC = a nên ta có AD = AC = CD = a.

Suy ra tam giác ACD đều.

Khi đó CAD^=60°.

Ta có: BAD^=BAC^+CAD^=60°+60°=120°.

Vậy số đo của góc nhị diện [B, SA, D] bằng 120°.

c) Vì SA ⊥ (ABCD) nên AC là hình chiếu của SC trên (ABCD).

Suy ra góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng (ABC) là góc SCA^.

Xét tam giác SAC vuông tại (do SA ⊥ AC theo câu a) có:

tanSCA^=SAAC=aa=1. Do đó SCA^=45°.

Vậy góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng (ABCD) bằng 45°.

Quảng cáo

Bài 2 trang 94 Toán 11 Tập 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông, hai đường thẳng AC và BD cắt nhau tại O, SO ⊥ (ABCD), tam giác SAC là tam giác đều.

a) Tính số đo của góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng (ABCD).

b) Chứng minh rằng AC ⊥ (SBD). Tính số đo của góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng (SBD).

c) Gọi M là trung điểm của cạnh AB. Tính số đo của góc nhị diện [M, SO, D].

Lời giải:

Bài 2 trang 94 Toán 11 Tập 2 | Cánh diều Giải Toán 11

a) Ta có SO ⊥ (ABCD) nên OA là hình chiếu của SA trên (ABCD).

Suy ra góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng (ABCD) bằng SAO^.

Vì tam giác SAC là tam giác đều nên SAO^=60°.

Quảng cáo

Vậy số đo của góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng (ABCD) bằng 60°.

b) Ta có: SO ⊥ (ABCD) và AC ⊂ (ABCD) nên SO ⊥ AC.

Vì ABCD là hình vuông nên AC ⊥ BD.

Ta có: AC ⊥ SO, AC ⊥ BD và SO ∩ BD = O trong (SBD).

Suy ra AC ⊥ (SBD).

Hay AO ⊥ (SBD) nên SO là hình chiếu của SA trên (SBD).

Suy ra góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng (SBD) bằng ASO^.

Do ∆SAC đều nên đường cao SO đồng thời là đường phân giác của góc ASC.

Do đó ASO^=ASC^2=60°2=30°.

Vậy góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng (SBD) bằng 30°.

c) Ta có AC ∩ BD = O.

Vì O ∈ BD mà BD ⊂ (SBD) nên O ∈ (SBD).

Suy ra O = AC ∩ (SBD).

Mặt khác AC ⊥ (SBD).

Từ đó ta có O là hình chiếu của A trên (SBD).

Mà S ∈ (SBD) nên ta có SO là hình chiếu của SA trên (SBD).

Như vậy, góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng (SBD) bằng góc giữa hai đường thẳng SA và SO và bằng ASO^.

Vì ABCD là hình vuông và AC ∩ BD = O nên O là trung điểm của AC và BD.

Xét tam giác SAC đều có SO là đường trung tuyến (do O là trung điểm của AC).

Suy ra SO cũng là đường phân giác của ASC^.

Khi đó ASO^=ASC^2=60°2=30°.

Vậy số đo của góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng (SBD) bằng 30°.

c) Ta có: SO ⊥ (ABCD) và MO ⊂ (ABCD), DO ⊂ (ABCD).

Suy ra SO ⊥ MO, SO ⊥ DO.

Mà MO ∩ SO = O ∈ SO.

Như vậy, MOD^ là góc phẳng nhị diện của góc nhị diện [M, SO, D].

Vì ABCD là hình vuông và O là giao điểm của AC và BD nên AC ⊥ BD tại O

Suy ra: AOD^=AOB^=90° và OA = OB.

Như vậy tam giác OAB vuông cân tại O.

Mặt khác OM là đường trung tuyến trong tam giác OAB (do M là trung điểm của AB).

Suy ra OM là đường phân giác của AOB^.

Do đó MOA^=AOB^2=90°2=45°.

Ta có: MOD^=MOA^+AOD^=45°+90°=135°.

Vậy số đo của góc nhị diện [M, SO, D] bằng 135°.

Bài 3 trang 94 Toán 11 Tập 2: Dốc là đoạn đường thẳng nối hai khu vực hay hai vùng có độ cao khác nhau. Độ dốc được xác định bằng góc giữa dốc và mặt phẳng nằm ngang, ở đó độ dốc lớn nhất là 100%, tương ứng với góc 90° (độ dốc 10% tương ứng với góc 9°). Giả sử có hai điểm A, B nằm ở độ cao lần lượt là 200 m, 220 m so với mực nước biển và đoạn dốc AB dài 120 m. Độ dốc đó bằng bao nhiêu phần trăm (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm)?

Lời giải:

Bài 3 trang 94 Toán 11 Tập 2 | Cánh diều Giải Toán 11

Bài toán được mô hình hóa như bài vẽ trên, với:

⦁ AB là chiều dài con dốc;

⦁ BI là độ cao của con dốc so với mặt phẳng nằm ngang;

⦁ AH và BK lần lượt là độ cao của điểm A và điểm B so với mặt nước biển.

Theo bài ra ta có: AH =  200 m, BK = 220 m, AB = 120 m và độ dốc của con dốc là góc được tạo bởi đường thẳng AB và đường thẳng AI (do AI là hình chiếu của AB trên mặt phẳng nằm ngang) và chính là số đo của BAI^.

Dễ thấy AHKI là hình chữ nhật nên IK = AH = 200 m.

Suy ra BI = BK – IK = 220 – 200 = 20 (m).

Vì tam giác ABI vuông tại I nên ta có:

sinBAI^=BIAB=20120=16BAI^9,59°.

Vì độ dốc 100% tương ứng với góc 90°.

Suy ra góc 9,59° có độ dốc là 9,59100%9010,66%.

Vậy độ dốc của con dốc đó khoảng 10,66%.

Bài 4 trang 94 Toán 11 Tập 2: Trong Hình 42, máy tính xách tay đang mở gợi nên hình ảnh của một góc nhị diện. Ta gọi số đo góc nhị diện đó là độ mở của màn hình máy tính. Tính độ mở của màn hình máy tính đó, biết tam giác ABC có độ dài các cạnh là AB = AC = 30 cm và BC=303 cm.

Bài 4 trang 94 Toán 11 Tập 2 | Cánh diều Giải Toán 11

Lời giải:

Bài 4 trang 94 Toán 11 Tập 2 | Cánh diều Giải Toán 11

Gọi d là đường thẳng chứa bản lề của máy tính.

Suy ra d ⊥ AB, d ⊥ AC.

Mặt khác AB ∩ AC = A ∈ d.

Như vậy, BAC^ là góc phẳng nhị diện của góc nhị diện [A, d, C].

Áp dụng hệ quả của định lí Cosin trong tam giác ABC ta có:

cosBAC^=AB2+AC2BC22ABAC

cosBAC^=302+302303223030=12.

BAC^=120°.

Vậy độ mở của màn hình máy tính là 120°.

Bài 5 trang 94 Toán 11 Tập 2: Trong Hình 43, xét các góc nhị diện có góc phẳng nhị diện tương ứng là B^,​ C^,  D^,  E^  trong cùng mặt phẳng. Lục giác ABCDEG nằm trong mặt phẳng đó có AB = GE = 2 m, BC = DE, A^=G^=90°, B^=E^=x,C^=D^=y. Biết rằng khoảng cách từ C và D đến AG là 4 m, AG = 12 m, CD = 1 m. Tìm x, y (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị theo đơn vị độ).

Bài 5 trang 94 Toán 11 Tập 2 | Cánh diều Giải Toán 11

Lời giải:

Bài 5 trang 94 Toán 11 Tập 2 | Cánh diều Giải Toán 11

Kẻ CH ⊥ AG (H ∈ AG), DK ⊥ AG (K ∈ AG).

Gọi I = BE ∩ CH, J = BE ∩ DK.

Ta có A^=G^=90° nên AB ⊥ AG và EG ⊥ AG.

Suy ra AB // EG.

⦁ Xét tứ giác ABEG có: AB // EG, AB = EG.

Suy ra ABEG là hình bình hành.

Hơn nữa A^=90° nên ABEG là hình chữ nhật.

Suy ra BE = AG = 12 m và BE // AG.

⦁ Xét tứ giác ABIH có:

BI // AH (do BE //AG);

AB // IK (do cùng vuông góc với AG)

Suy ra ABIH là hình bình hành.

Hơn nữa A^=90° nên ABIH là hình chữ nhật.

Suy ra IH = AB = 2 m và BIH^=90°.

Tương tự ta dễ dàng có: JEGK và CDJI là hai hình chữ nhật.

Từ đó ta có: JK = EG = 2 m và EJK^=90°(do JEGK là hình chữ nhật);

                     IJ = CD = 1 m và CD // IJ (do CDJI là hình chữ nhật).

Suy ra: CI = CH – IH = 4 – 2 = 2 m;

             DJ = DK – JK = 4 – 2 = 2 m.

⦁ Xét tam giác BCI và tam giác EDJ có:

BIC^=CJD^=90° (do BIH^=EJK^=90°);

BC = ED (giả thiết);

CI = DJ (cùng bằng 2 m).

Do đó ∆BCI = ∆EDJ (cạnh huyền – cạnh góc vuông).

BI=EJ=BEIJ2=1212=5,5  m.

Vì tam giác BCI vuông tại I nên ta có:

tanIBC^=CIBI=25,5=411IBC^20°.

x=ABI^+IBC^90°+20°=110°.

Ta cũng có BCI^=90°IBC^90°20°=70°.

Do đó y=BCD^=BCI^+ICD^70°+90°=160°.

Vậy x ≈ 110° và y ≈ 160°.

Bài 6 trang 94 Toán 11 Tập 2: Cho hình chóp S.ABC có SA ⊥ (ABC). Gọi α là số đo của góc nhị diện [A, BC, S]. Chứng minh rằng tỉ số diện tích của hai tam giác ABC và SBC bằng cosα.

Lời giải:

Bài 6 trang 94 Toán 11 Tập 2 | Cánh diều Giải Toán 11

Kẻ AH ⊥ BC (H ∈ BC).

Vì SA ⊥ (ABC) và BC ⊂ (ABC) nên SA ⊥ BC.

Ta có: AH ⊥ BC, SA ⊥ BC và AH ∩ SA = A trong (SAH).

Suy ra BC ⊥ (SAH).

Mà SH ⊂ (SAH) nên BC ⊥ SH.

Ta có: AH ⊥ BC, SH ⊥ BC và AH ∩ SH = H ∈ BC.

Suy ra SHA^ là góc phẳng nhị diện của góc nhị diện [A, BC, S], tức SHA^=α.

Bài 6 trang 94 Toán 11 Tập 2 | Cánh diều Giải Toán 11

Vì SA ⊥ (ABC) và AH ⊂ (ABC) nên SA ⊥ AH.

Xét tam giác SAH vuông tại A (do SA ⊥ AH) có:

cosα=cosSHA^=AHSH.

Diện tích tam giác ABC (có AH ⊥ BC) là: SΔABC=12AH.BC.

Diện tích tam giác SBC (có SH ⊥ BC) là: SΔSBC=12SH.BC.

SΔABCSΔSBC=12AH.BC12SH.BC=AHSH=cosSHA^=cosα.

Vậy tỉ số diện tích của hai tam giác ABC và SBC bằng cosα.

Lời giải bài tập Toán 11 Bài 3: Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng. Góc nhị diện hay khác:

Xem thêm lời giải bài tập Toán lớp 11 Cánh diều hay, chi tiết khác:

Xem thêm các tài liệu học tốt lớp 11 hay khác:

ĐỀ THI, GIÁO ÁN, SÁCH LUYỆN THI DÀNH CHO GIÁO VIÊN VÀ PHỤ HUYNH LỚP 11

Bộ giáo án, bài giảng powerpoint, đề thi, sách dành cho giáo viên và gia sư dành cho phụ huynh tại https://tailieugiaovien.com.vn/ . Hỗ trợ zalo VietJack Official

Tổng đài hỗ trợ đăng ký : 084 283 45 85

Đã có app VietJack trên điện thoại, giải bài tập SGK, SBT Soạn văn, Văn mẫu, Thi online, Bài giảng....miễn phí. Tải ngay ứng dụng trên Android và iOS.

Theo dõi chúng tôi miễn phí trên mạng xã hội facebook và youtube:

Nếu thấy hay, hãy động viên và chia sẻ nhé! Các bình luận không phù hợp với nội quy bình luận trang web sẽ bị cấm bình luận vĩnh viễn.


Giải bài tập lớp 11 Cánh diều khác
Tài liệu giáo viên