Giải Toán 12 trang 43 Tập 2 Cánh diều

Với Giải Toán 12 trang 43 Tập 2 trong Bài tập cuối chương 4 Toán 12 Tập 2 Cánh diều hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh dễ dàng làm bài tập Toán 12 trang 43.

Giải Toán 12 trang 43 Tập 2 Cánh diều

Bài 8 trang 43 Toán 12 Tập 2: Một công trình xây dựng dự kiến hoàn thành trong 100 ngày. Số lượng công nhân được sử dụng tại thời điểm t cho bởi hàm số

m(t) = 500 + 50 $\sqrt{t}$ – 10t,

trong đó t tính theo ngày (0 ≤ t ≤ 100), m(t) tính theo người.

(Nguồn: A. Bigalke et al., Mathematik, Grundkurs ma-1, Cornelsen 2016)

a) Khi nào có 360 công nhân được sử dụng?

b) Khi nào số công nhân được sử dụng lớn nhất?

c) Gọi M(t) là số ngày công được tính đến hết ngày thứ t (kể từ khi khởi công công trình). Trong kinh tế xây dựng, người ta đã biết rằng M'(t) = m(t). Tổng cộng cần bao nhiêu ngày công để hoàn thành công trình xây dựng đó?

Lời giải:

a) Có 360 công nhân được sử dụng khi m(t) = 360, tức là

500 + 50 $\sqrt{t}$– 10t = 360 ⇔ 10t – 50$\sqrt{t}$ – 140 = 0 ⇒ $\sqrt{t}$ = 7 ⇒ t = 49 ∈ [0; 100].

Vậy đến ngày thứ 49, có 360 công nhân được sử dụng. 

b) Số công nhân được sử dụng lớn nhất chính là giá trị lớn nhất của hàm số m(t) trên đoạn [0; 100].

Ta có m'(t) = $\frac{25}{\sqrt{t}}-10$.

Trên khoảng (0; 100), m'(t) = 0 khi t = 6,25.

m(0) = 500; m(6,25) = 562,5; m(100) = 0.

Suy ra $\underset{\left[0;100\right]}{\max }m\left(t\right)=562,5$> khi t = 6,25.

Vậy đến ngày thứ 6 thì số lượng công nhân được sử dụng lớn nhất.

c) Số ngày công để hoàn thành công trình xây dựng đó là:  

$M=\underset{0}{\overset{100}{\int }}m\left(t\right)dt=\underset{0}{\overset{100}{\int }}\left(500+50\sqrt{t}-10t\right)dt$

$={\left.\left(500t+\frac{100}{3}t\sqrt{t}-5t^2\right)\right|}_0^{100}\approx 33333,33$(ngày công).

Bài 9 trang 43 Toán 12 Tập 2: Trong bài này, ta xét một tình huống giả định có một học sinh sau kì nghỉ đã mang virus cúm quay trở lại khuôn viên trường học biệt lập. Sau khi có sự tiếp xúc giữa các học sinh, virus cúm lây lan trong khuôn viên trường. Giả thiết hệ thống chống dịch chưa được khởi động và virus cúm được lây lan tự nhiên. Gọi P(t) là số học sinh bị nhiễm virus cúm ở ngày thứ t tính từ ngày học sinh mang virus cúm quay trở lại khuôn viên trường. Biết rằng tốc độ lây lan của virus cúm cho bởi công thức P'(t) = – 0,02Ce^{– 0,02t}, trong đó C là hằng số khác 0. Số học sinh bị nhiễm virus cúm sau 4 ngày là 55 học sinh. Xác định số học sinh bị nhiễm virus cúm sau 10 ngày.

Lời giải:

Hàm số P(t) là một nguyên hàm của hàm số P'(t).

Ta có $\int P^{\text{'}}\left(t\right)dt=\int \left(-0,02C{e}^{-0,02t}\right)dt=0,02C\cdot \frac{e^{-0,02t}}{\ln e^{-0,02}}+C_1=-C{e}^{-0,02t}+C_1$.

Suy ra P(t) = – Ce^{– 0,02t} + C₁.

Với t = 0 thì P = 1, tức là P(0) = 0, suy ra – C + C₁ = 1. (1)

Với t = 4 thì P = 55, tức là P(4), suy ra – Ce^{– 0,02 ∙ 4} + C₁ = 55. (2)

Từ (1) và (2) suy ra C ≈ 702,36; C₁ ≈ 703,36.

Vậy số học sinh bị nhiễm virus cúm sau 10 ngày là

P(10) = – 702,36e^{– 0,02 ∙ 10} + 703,36 ≈ 128 (học sinh).

Bài 10 trang 43 Toán 12 Tập 2: Một chiếc xe ô tô chạy thử nghiệm trên một đường thẳng bắt đầu từ trạng thái đứng yên. Tốc độ của chiếc xe ô tô đó (tính bằng mét/giây) lần lượt ở giây thứ 10, thứ 20, thứ 30, thứ 40, thứ 50 và thứ 60 được ghi lại trong Bảng 1.

Bảng 1

a) Hãy xây dựng hàm số bậc ba y = f(x) = ax³ + bx² + cx + d (a ≠ 0) để biểu diễn các số liệu ở Bảng 1, tức là ở hệ trục toạ độ Oxy, đồ thị của hàm số đó trên nửa khoảng [0; +∞) “gần” với các điểm O(0; 0), B(10; 5), C(20; 21), D(30; 40), E(40; 62), G(50; 78), K(60;83) (Nguồn: R. Larson and B. Edwards, Calculus 106, Cengage 2014).

b) Hãy tính (gần đúng) quãng đường mà xe ô tô đó đã đi được tính đến giây thứ 60 của quá trình thử nghiệm.

Lời giải:

a) Hàm số bậc ba y = f(x) = ax³ + bx² + cx + d (a ≠ 0) đi qua các điểm O(0; 0), B(10; 5), C(20; 21), D(30; 40) nên ta có hệ phương trình sau:

Vậy y = f(x) = $-\frac{1}{750}{x}^3+\frac{19}{200}{x}^2-\frac{19}{60}x$ (x ∈ [0; +∞)).

b) Gọi v(t) là tốc độ của chiếc xe ô tô đó với t tính bằng giây và v(t) tính bằng mét/giây.

Khi đó ta có $v\left(t\right)=-\frac{1}{750}{t}^3+\frac{19}{200}{t}^2-\frac{19}{60}t$.

Vậy quãng đường mà xe ô tô đó đã đi được tính đến giây thứ 60 của quá trình thử nghiệm là:

$S=\underset{0}{\overset{60}{\int }}v\left(t\right)dt=\underset{0}{\overset{60}{\int }}\left(-\frac{1}{750}{t}^3+\frac{19}{200}{t}^2-\frac{19}{60}t\right)dt$

$={\left.\left(-\frac{t^4}{3000}+\frac{19t^3}{600}-\frac{19t^2}{120}\right)\right|}_0^{60}=1950$(m)

Lời giải bài tập Toán 12 Bài tập cuối chương 4 hay khác:

• Giải Toán 12 trang 42
• Giải Toán 12 trang 44

Xem thêm lời giải bài tập Toán lớp 12 Cánh diều hay, chi tiết khác:

• Toán 12 Chủ đề 2: Thực hành tạo đồng hồ Mặt Trời

• Toán 12 Bài 1: Phương trình mặt phẳng

• Toán 12 Bài 2: Phương trình đường thẳng

• Toán 12 Bài 3: Phương trình mặt cầu

• Toán 12 Bài tập cuối chương 5

Xem thêm các tài liệu học tốt lớp 12 hay khác:

• Giải sgk Toán 12 Cánh diều
• Giải Chuyên đề học tập Toán 12 Cánh diều
• Giải SBT Toán 12 Cánh diều
• Giải lớp 12 Cánh diều (các môn học)
• Giải lớp 12 Kết nối tri thức (các môn học)
• Giải lớp 12 Chân trời sáng tạo (các môn học)

---