Giải Toán 12 trang 81 Tập 1 Cánh diều

Với Giải Toán 12 trang 81 Tập 1 trong Bài 3: Biểu thức toạ độ của các phép toán vectơ Toán 12 Cánh diều hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh dễ dàng làm bài tập Toán 12 trang 81.

Giải Toán 12 trang 81 Tập 1 Cánh diều

Bài 5 trang 81 Toán 12 Tập 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho $\overrightarrow{a}=\left(3;2;-1\right),\overrightarrow{b}=\left(-2;1;2\right)$. Tính côsin của góc $\left(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\right)$.

Lời giải:

Ta có

Bài 6 trang 81 Toán 12 Tập 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho A(– 2; 3; 0), B(4; 0; 5), C(0; 2; – 3).

a) Chứng minh rằng ba điểm A, B, C không thẳng hàng.

b) Tính chu vi tam giác ABC.

c) Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC.

d) Tính $\cos \widehat{BAC}$.

Lời giải:

a) Ta có $\overrightarrow{AB}=\left(6;-3;5\right)$, $\overrightarrow{AC}=\left(2;-1;-3\right)$.

Suy ra $\overrightarrow{AB}=\left(6;-3;5\right)\ne k\overrightarrow{AC}=\left(2k;-k;-3k\right)$ với mọi k ∈ ℝ, do đó hai vectơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AC}$ không cùng phương.

Vậy ba điểm A, B, C không thẳng hàng.

b) Ta có 

Ta có $\overrightarrow{BC}=\left(-4;2;-8\right)$.

Suy ra

Chu vi tam giác ABC là C = AB + AC + BC = $\sqrt{70}+\sqrt{14}+2\sqrt{21}$.

c) Gọi tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC là (x_G; y_G; z_G).

Ta có $x_G=\frac{-2+4+0}{3}=\frac{2}{3}$; $y_G=\frac{3+0+2}{3}=\frac{5}{3};z_G=\frac{0+5+\left(-3\right)}{3}=\frac{2}{3}$ .

Vậy $G\left(\frac{2}{3};\frac{5}{3};\frac{2}{3}\right)$ .

d) Ta có

Do đó hai vectơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AC}$ vuông góc với nhau hay hai đường thẳng AB và AC vuông góc với nhau nên $\widehat{BAC}=90°$. Vậy $\cos \widehat{BAC}$ = 0.

Bài 7 trang 81 Toán 12 Tập 1: Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D', biết A(1; 0; 1), B(2; 1; 2), D(1; – 1; 1), C'(4; 5; – 5). Hãy chỉ ra tọa độ của một vectơ khác $\overrightarrow{0}$  vuông góc với cả hai vectơ trong mỗi trường hợp sau:

a) $\overrightarrow{AC}$ và $\overrightarrow{B^{\text{'}}{D}^{\text{'}}}$;

b) $\overrightarrow{A{C}^{\text{'}}}$ và $\overrightarrow{BD}$.

Lời giải:

a) Ta có $\overrightarrow{AB}=\left(1;1;1\right)$ , $\overrightarrow{AD}=\left(0;-1;0\right)$,

Vì ABCD.A'B'C'D' là hình hộp nên ABCD là hình bình hành, do đó

$\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=\left(1+0;1+\left(-1\right);1+0\right)=\left(1;0;1\right)$.

Ta có $\overrightarrow{BD}=\left(-1;-2;-1\right)$.

Vì ABCD.A'B'C'D' là hình hộp nên $\overrightarrow{B^{\text{'}}{D}^{\text{'}}}=\overrightarrow{BD}=\left(-1;-2;-1\right)$ .

Ta có 

Chọn $\overrightarrow{a}=\left(2;0;-2\right)$, vectơ $\overrightarrow{a}$ vuông góc với cả hai vectơ $\overrightarrow{AC}$ và $\overrightarrow{B^{\text{'}}{D}^{\text{'}}}$.

b) Ta có $\overrightarrow{A{C}^{\text{'}}}=\left(3;5;-6\right)$, $\overrightarrow{BD}=\left(-1;-2;-1\right)$.

Chọn $\overrightarrow{b}=\left(-17;9;-1\right)$, vectơ $\overrightarrow{b}$ vuông góc với cả hai vectơ $\overrightarrow{A{C}^{\text{'}}}$ và $\overrightarrow{BD}$.

Bài 8 trang 81 Toán 12 Tập 1: Một vật có trọng lượng 300 N được treo bằng ba sợi dây cáp không dãn có chiều dài bằng nhau, mỗi dây cáp có một đầu được gắn tại một trong các điểm P(– 2; 0; 0), Q(1; $\sqrt{3}$; 0), R(1; $-\sqrt{3}$; 0) còn đầu kia gắn với vật tại điểm S(0; 0; $-2\sqrt{3}$) như Hình 38. Gọi $\overrightarrow{F_1},\overrightarrow{F_2},\overrightarrow{F_3}$ lần lượt là lực căng trên các sợi dây cáp RS, QS và PS. Tìm tọa độ của các lực $\overrightarrow{F_1},\overrightarrow{F_2},\overrightarrow{F_3}$.

Lời giải:

Theo giả thiết, ta có các điểm S(0; 0; $-2\sqrt{3}$), P(– 2; 0; 0), Q(1; $\sqrt{3}$; 0), R(1; $-\sqrt{3}$; 0).

Khi đó: $\overrightarrow{SP}=\left(-2;0;2\sqrt{3}\right)$, $\hspace{0.17em}\overrightarrow{SQ}=\left(1;\sqrt{3};2\sqrt{3}\right)$, $\overrightarrow{SR}=\left(1;-\sqrt{3};2\sqrt{3}\right)$.

Suy ra $\left|\overrightarrow{SP}\right|=\left|\overrightarrow{SQ}\right|=\left|\overrightarrow{SR}\right|=4$. Lại có $\overrightarrow{PQ}=\left(3;\sqrt{3};0\right)$, $\overrightarrow{QR}=\left(0;-2\sqrt{3};0\right)$, $\overrightarrow{RP}=\left(-3;\sqrt{3};0\right)$, vì $\left|\overrightarrow{PQ}\right|=\left|\overrightarrow{QR}\right|=\left|\overrightarrow{RP}\right|=2\sqrt{3}$ nên tam giác PQR đều.

Do đó, $\left|\overrightarrow{F_1}\right|=\left|\overrightarrow{F_2}\right|=\left|\overrightarrow{F_3}\right|$. Vì vậy, tồn tại hằng số c ≠ 0 sao cho:

$\overrightarrow{F_1}=c\overrightarrow{SR}=\left(c;-\sqrt{3}c;2\sqrt{3}c\right)$,

$\overrightarrow{F_2}=c\overrightarrow{SQ}=\left(c;\sqrt{3}c;2\sqrt{3}c\right)$,

$\overrightarrow{F_3}=c\overrightarrow{SP}=\left(-2c;0;2\sqrt{3}c\right)$,

Suy ra $\overrightarrow{F_1}+\overrightarrow{F_2}+\overrightarrow{F_3}=\left(0;0;6\sqrt{3}c\right)$.

Mặt khác, ta có: $\overrightarrow{F_1}+\overrightarrow{F_2}+\overrightarrow{F_3}=\overrightarrow{F}$, trong đó $\overrightarrow{F}=\left(0;0;-300\right)$ là trọng lực của vật.

Suy ra $6\sqrt{3}c=-300$, tức là $c=\frac{-50\sqrt{3}}{3}$.

Vậy $\overrightarrow{F_1}=\left(\frac{-50\sqrt{3}}{3};50;-100\right)$, $\overrightarrow{F_2}=\left(\frac{-50\sqrt{3}}{3};-50;-100\right)$, $\overrightarrow{F_3}=\left(\frac{100\sqrt{3}}{3};0;-100\right)$.

Lời giải bài tập Toán 12 Bài 3: Biểu thức toạ độ của các phép toán vectơ hay khác:

• Giải Toán 12 trang 74

• Giải Toán 12 trang 75

• Giải Toán 12 trang 76

• Giải Toán 12 trang 80

Xem thêm lời giải bài tập Toán lớp 12 Cánh diều hay, chi tiết khác:

• Toán 12 Bài tập cuối chương 2

• Toán 12 Bài 1: Khoảng biến thiên, khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm

• Toán 12 Bài 2: Phương sai, độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm

• Toán 12 Bài tập cuối chương 3

• Toán 12 Bài 1: Nguyên hàm

Xem thêm các tài liệu học tốt lớp 12 hay khác:

• Giải sgk Toán 12 Cánh diều
• Giải Chuyên đề học tập Toán 12 Cánh diều
• Giải SBT Toán 12 Cánh diều
• Giải lớp 12 Cánh diều (các môn học)
• Giải lớp 12 Kết nối tri thức (các môn học)
• Giải lớp 12 Chân trời sáng tạo (các môn học)

---