Giải Toán 12 trang 86 Tập 2 Cánh diều

Voucher giảm giá Shopee dịp 15-09

Với Giải Toán 12 trang 86 Tập 2 trong Bài 3: Phương trình mặt cầu Toán 12 Tập 2 Cánh diều hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh dễ dàng làm bài tập Toán 12 trang 86.

Giải Toán 12 trang 86 Tập 2 Cánh diều

Quảng cáo

Bài 3 trang 86 Toán 12 Tập 2: Mặt cầu (S) tâm I(– 5; – 2; 3) bán kính 4 có phương trình là:

A. (x – 5)² + (y – 2)² + (z + 3)² = 4.

B. (x – 5)² + (y – 2)² + (z + 3)² = 16.

C. (x + 5)² + (y + 2)² + (z – 3)² = 4.

D. (x + 5)² + (y + 2)² + (z – 3)² = 16.

Lời giải:

Đáp án đúng là: D

Mặt cầu (S) tâm I(– 5; – 2; 3) bán kính 4 có phương trình là:

(x + 5)² + (y + 2)² + (z – 3)² = 16.

Bài 4 trang 86 Toán 12 Tập 2: Cho mặt cầu có phương trình (x – 1)² + (y + 2)² + (z – 7)² = 100.

a) Xác định tâm và bán kính của mặt cầu.

b) Mỗi điểm A(1; 1; 1), B(9; 4; 7), C(9; 9; 10) nằm trong, nằm ngoài hay nằm trên mặt cầu đó?

Quảng cáo

Lời giải:

a) Ta có (x – 1)² + (y + 2)² + (z – 7)² = 100 ⇔ (x – 1)² + [y – (– 2)]² + (z – 7)² = 10².

Mặt cầu đã cho có tâm I(1; – 2; 7) và bán kính R = 10.

b) Do IA = $\sqrt{{(1 - 1)}^{2} + {(1 - (- 2))}^{2} + {(1 - 7)}^{2}} = 3 \sqrt{5}$ < 10 nên điểm A(1; 1; 1) nằm trong mặt cầu đó.

Do IB = $\sqrt{{(9 - 1)}^{2} + {(4 - (- 2))}^{2} + {(7 - 7)}^{2}} = \sqrt{100}$ = 10 nên điểm B(9; 4; 7) nằm trên mặt cầu đó.

Do IC = $\sqrt{{(9 - 1)}^{2} + {(9 - (- 2))}^{2} + {(10 - 7)}^{2}} = \sqrt{194}$ > 10 nên điểm C(9; 9; 10) nằm ngoài mặt cầu đó.

Bài 5 trang 86 Toán 12 Tập 2: Cho phương trình x² + y² + z² – 4x – 2y – 10z + 2 = 0

Chứng minh rằng phương trình trên là phương trình của một mặt cầu. Xác định tâm và bán kính của mặt cầu đó.

Lời giải:

Ta có x² + y² + z² – 4x – 2y – 10z + 2 = 0

⇔ x² – 2 ∙ 2 ∙ x + 4 + y² – 2y + 1 + z² – 2 ∙ 5 ∙ z + 25 = 4 + 1 + 25 – 2

Quảng cáo

⇔ (x – 2)² + (y – 1)² + (z – 5)² = 28.

Vậy phương trình đã cho là phương trình mặt cầu tâm I(2; 1; 5) và bán kính $R = \sqrt{28} = 2 \sqrt{7}$

Bài 6 trang 86 Toán 12 Tập 2: Lập phương trình mặt cầu (S) trong mỗi trường hợp sau:

a) (S) có tâm I(3; – 7; 1) và bán kính R = 2;

b) (S) có tâm I(– 1; 4; – 5) và đi qua điểm M(3; 1; 2);

c) (S) có đường kính là đoạn thẳng CD với C(1; – 3; – 1) và D(– 3; 1; 2).

Lời giải:

a) Phương trình mặt cầu (S) có tâm I(3; – 7; 1) và bán kính R = 2 là:

(x – 3)² + (y + 7)² + (z – 1)² = 4.

b) Ta có R = IM = $\sqrt{{(3 - (- 1))}^{2} + {(1 - 4)}^{2} + {(2 - (- 5))}^{2}} = \sqrt{74}$ .

Phương trình mặt cầu (S) có tâm I(– 1; 4; – 5) và đi qua điểm M(3; 1; 2) là:

(x + 1)² + (y – 4)²+ (z + 5)² = 74.

Quảng cáo

c) Tâm của mặt cầu (S) đường kính CD là trung điểm I của đoạn thẳng CD.

Ta có $x_{I} = \frac{1 + (- 3)}{2} = - 1; y_{I} = \frac{(- 3) + 1}{2} = - 1; z_{I} = \frac{(- 1) + 2}{2} = \frac{1}{2}$ . Suy ra $I (- 1; - 1; \frac{1}{2})$ .

Bán kính R = IC = $\sqrt{{(1 - (- 1))}^{2} + {(- 3 - (- 1))}^{2} + {(- 1 - \frac{1}{2})}^{2}} = \frac{\sqrt{41}}{2}$ .

Phương trình mặt cầu (S) có đường kính là đoạn thẳng CD là:

(x + 1)² + (y + 1)² + ${(z - \frac{1}{2})}^{2}$ = $\frac{41}{4}$ .

Bài 7 trang 86 Toán 12 Tập 2: Hệ thống định vị toàn cầu (tên tiếng Anh là: Global Positioning System, viết tắt là GPS) là một hệ thống cho phép xác định chính xác vị trí của một vật thể trong không gian (Hình 42). Ta có thể mô phỏng cơ chế hoạt động của hệ thống GPS trong không gian như sau: Trong cùng một thời điểm, toạ độ của một điểm M trong không gian sẽ được xác định bởi bốn vệ tinh cho trước, trên mỗi vệ tinh có một máy thu tín hiệu. Bằng cách so sánh sự sai lệch về thời gian từ lúc tín hiệu được phát đi với thời gian nhận phản hồi tín hiệu đó, mỗi máy thu tín hiệu xác định được khoảng cách từ vệ tinh đến vị trí M cần tìm tọa độ. Như vậy, điểm M là giao điểm của bốn mặt cầu với tâm lần lượt là bốn vệ tinh đã cho.

Bài 7 trang 86 Toán 12 Cánh diều Tập 2 | Giải Toán 12

Ta xét một ví dụ cụ thể như sau:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho bốn vệ tinh A(3; – 1; 6), B(1; 4; 8), C(7; 9; 6), D(7; – 15; 18). Tìm tọa độ của điểm M trong không gian biết khoảng cách từ các vệ tinh đến điểm M lần lượt là MA = 6, MB = 7, MC = 12, MD = 24.

Lời giải:

Gọi tọa độ điểm M là M(x; y; z).

Ta có MA = $\sqrt{{(3 - x)}^{2} + {(- 1 - y)}^{2} + {(6 - z)}^{2}} = 6$ ;

MB = $\sqrt{{(1 - x)}^{2} + {(4 - y)}^{2} + {(8 - z)}^{2}} = 7$ ;

MC = $\sqrt{{(7 - x)}^{2} + {(9 - y)}^{2} + {(6 - z)}^{2}}$ = 12;

MD = $\sqrt{{(7 - x)}^{2} + {(- 15 - y)}^{2} + {(18 - z)}^{2}} = 24$ .

Từ đó ta có hệ phương trình $\{\begin{cases} {(3 - x)}^{2} + {(- 1 - y)}^{2} + {(6 - z)}^{2} = 36 (1) \\ {(1 - x)}^{2} + {(4 - y)}^{2} + {(8 - z)}^{2} = 49 (2) \\ {(7 - x)}^{2} + {(9 - y)}^{2} + {(6 - z)}^{2} = 144 (3) \\ {(7 - x)}^{2} + {(- 15 - y)}^{2} + {(18 - z)}^{2} = 576 (4) \end{cases}$ .

Lấy (3) – (1) ta được: (7 – x)² – (3 – x)² + (9 – y)² – (– 1 – y)² = 144 – 36

⇔ – 8x – 20y = – 12 ⇔ 2x + 5y = 3 ⇔ x = $\frac{3 - 5 y}{2}$ (5).

Lấy (4) – (3) ta được: (– 15 – y)² – (9 – y)² + (18 – z)² – (6 – z)² = 576 – 144

⇔ 48y – 24z = 0 ⇔ 2y – z = 0 ⇔ z = 2y (6).

Thay (5) và (6) vào (2) ta được: ${(1 - \frac{3 - 5 y}{2})}^{2}$ + (4 – y)² + (8 – 2y)² = 49

⇔ 45y² – 170y + 125 = 0 ⇔ y = 1 hoặc y = $\frac{25}{9}$ .

+ Với y = 1 thì x = – 1, z = 2. Khi đó M(– 1; 1; 2).

Thử lại bằng cách thay x = – 1, y = 1, z = 2 vào các phương trình (1), (2), (3), (4) ta thấy thỏa mãn.

+ Với y = $\frac{25}{9}$ thì x = $- \frac{49}{9}$ , z = $\frac{50}{9}$ . Khi đó M $(- \frac{49}{9}; \frac{25}{9}; \frac{50}{9})$ .

Thử lại bằng cách thay x = $- \frac{49}{9}$ , y = $\frac{25}{9}$ , z = $\frac{50}{9}$ vào các phương trình (1), (2), (3), (4) ta thấy thỏa mãn.

Vậy M(– 1; 1; 2) là điểm cần tìm.

Lời giải bài tập Toán 12 Bài 3: Phương trình mặt cầu hay khác:

Xem thêm lời giải bài tập Toán lớp 12 Cánh diều hay, chi tiết khác:

Xem thêm các tài liệu học tốt lớp 12 hay khác:

Tài liệu cho giáo viên: Giáo án, powerpoint, đề thi giữa kì cuối kì, đánh giá năng lực, thi thử THPT, HSG, chuyên đề, bài tập cuối tuần..... độc quyền VietJack, giá hợp lí

Sách VietJack thi THPT quốc gia 2025 cho học sinh 2k7:

Săn shopee giá ưu đãi :

ĐỀ THI, GIÁO ÁN, GÓI THI ONLINE DÀNH CHO GIÁO VIÊN VÀ PHỤ HUYNH LỚP 12

Bộ giáo án, đề thi, bài giảng powerpoint, khóa học dành cho các thầy cô và học sinh lớp 12, đẩy đủ các bộ sách cánh diều, kết nối tri thức, chân trời sáng tạo tại https://tailieugiaovien.com.vn/ . Hỗ trợ zalo VietJack Official