Giải Toán 12 trang 86 Tập 2 Cánh diều

Với Giải Toán 12 trang 86 Tập 2 trong Bài 3: Phương trình mặt cầu Toán 12 Tập 2 Cánh diều hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh dễ dàng làm bài tập Toán 12 trang 86.

Giải Toán 12 trang 86 Tập 2 Cánh diều

Bài 3 trang 86 Toán 12 Tập 2: Mặt cầu (S) tâm I(– 5; – 2; 3) bán kính 4 có phương trình là:

A. (x – 5)² + (y – 2)² + (z + 3)² = 4.

B. (x – 5)² + (y – 2)² + (z + 3)² = 16.

C. (x + 5)² + (y + 2)² + (z – 3)² = 4.

D. (x + 5)² + (y + 2)² + (z – 3)² = 16.

Lời giải:

Đáp án đúng là: D

Mặt cầu (S) tâm I(– 5; – 2; 3) bán kính 4 có phương trình là:

(x + 5)² + (y + 2)² + (z – 3)² = 16.

Bài 4 trang 86 Toán 12 Tập 2: Cho mặt cầu có phương trình (x – 1)² + (y + 2)² + (z – 7)² = 100.

a) Xác định tâm và bán kính của mặt cầu.

b) Mỗi điểm A(1; 1; 1), B(9; 4; 7), C(9; 9; 10) nằm trong, nằm ngoài hay nằm trên mặt cầu đó?

Lời giải:

a) Ta có (x – 1)² + (y + 2)² + (z – 7)² = 100 ⇔ (x – 1)² + [y – (– 2)]² + (z – 7)² = 10².

Mặt cầu đã cho có tâm I(1; – 2; 7) và bán kính R = 10.

b) Do IA = $\sqrt{{\left(1-1\right)}^2+{\left(1-\left(-2\right)\right)}^2+{\left(1-7\right)}^2}=3\sqrt{5}$ < 10 nên điểm A(1; 1; 1) nằm trong mặt cầu đó.

Do IB = $\sqrt{{\left(9-1\right)}^2+{\left(4-\left(-2\right)\right)}^2+{\left(7-7\right)}^2}=\sqrt{100}$ = 10 nên điểm B(9; 4; 7) nằm trên mặt cầu đó.

Do IC = $\sqrt{{\left(9-1\right)}^2+{\left(9-\left(-2\right)\right)}^2+{\left(10-7\right)}^2}=\sqrt{194}$ > 10 nên điểm C(9; 9; 10) nằm ngoài mặt cầu đó.

Bài 5 trang 86 Toán 12 Tập 2: Cho phương trình x² + y² + z² – 4x – 2y – 10z + 2 = 0

Chứng minh rằng phương trình trên là phương trình của một mặt cầu. Xác định tâm và bán kính của mặt cầu đó.

Lời giải:

Ta có x² + y² + z² – 4x – 2y – 10z + 2 = 0

⇔ x² – 2 ∙ 2 ∙ x + 4 + y² – 2y + 1 + z² – 2 ∙ 5 ∙ z + 25 = 4 + 1 + 25 – 2

⇔ (x – 2)² + (y – 1)² + (z – 5)² = 28.

Vậy phương trình đã cho là phương trình mặt cầu tâm I(2; 1; 5) và bán kính $R=\sqrt{28}=2\sqrt{7}$

Bài 6 trang 86 Toán 12 Tập 2: Lập phương trình mặt cầu (S) trong mỗi trường hợp sau:

a) (S) có tâm I(3; – 7; 1) và bán kính R = 2;

b) (S) có tâm I(– 1; 4; – 5) và đi qua điểm M(3; 1; 2);

c) (S) có đường kính là đoạn thẳng CD với C(1; – 3; – 1) và D(– 3; 1; 2).

Lời giải:

a) Phương trình mặt cầu (S) có tâm I(3; – 7; 1) và bán kính R = 2 là:

(x – 3)² + (y + 7)² + (z – 1)² = 4.

b) Ta có R = IM = $\sqrt{{\left(3-\left(-1\right)\right)}^2+{\left(1-4\right)}^2+{\left(2-\left(-5\right)\right)}^2}=\sqrt{74}$.

Phương trình mặt cầu (S) có tâm I(– 1; 4; – 5) và đi qua điểm M(3; 1; 2) là:

(x + 1)² + (y – 4)² + (z + 5)² = 74.

c) Tâm của mặt cầu (S) đường kính CD là trung điểm I của đoạn thẳng CD.

Ta có $x_I=\frac{1+\left(-3\right)}{2}=-1;y_I=\frac{\left(-3\right)+1}{2}=-1;z_I=\frac{\left(-1\right)+2}{2}=\frac{1}{2}$. Suy ra $I\left(-1;-1;\frac{1}{2}\right)$.

Bán kính R = IC = $\sqrt{{\left(1-\left(-1\right)\right)}^2+{\left(-3-\left(-1\right)\right)}^2+{\left(-1-\frac{1}{2}\right)}^2}=\frac{\sqrt{41}}{2}$.

Phương trình mặt cầu (S) có đường kính là đoạn thẳng CD là:

(x + 1)² + (y + 1)² +${\left(z-\frac{1}{2}\right)}^2$ = $\frac{41}{4}$.

Bài 7 trang 86 Toán 12 Tập 2: Hệ thống định vị toàn cầu (tên tiếng Anh là: Global Positioning System, viết tắt là GPS) là một hệ thống cho phép xác định chính xác vị trí của một vật thể trong không gian (Hình 42). Ta có thể mô phỏng cơ chế hoạt động của hệ thống GPS trong không gian như sau: Trong cùng một thời điểm, toạ độ của một điểm M trong không gian sẽ được xác định bởi bốn vệ tinh cho trước, trên mỗi vệ tinh có một máy thu tín hiệu. Bằng cách so sánh sự sai lệch về thời gian từ lúc tín hiệu được phát đi với thời gian nhận phản hồi tín hiệu đó, mỗi máy thu tín hiệu xác định được khoảng cách từ vệ tinh đến vị trí M cần tìm tọa độ. Như vậy, điểm M là giao điểm của bốn mặt cầu với tâm lần lượt là bốn vệ tinh đã cho.

Ta xét một ví dụ cụ thể như sau:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho bốn vệ tinh A(3; – 1; 6), B(1; 4; 8), C(7; 9; 6), D(7; – 15; 18). Tìm tọa độ của điểm M trong không gian biết khoảng cách từ các vệ tinh đến điểm M lần lượt là MA = 6, MB = 7, MC = 12, MD = 24.

Lời giải:

Gọi tọa độ điểm M là M(x; y; z).

Ta có MA = $\sqrt{{\left(3-x\right)}^2+{\left(-1-y\right)}^2+{\left(6-z\right)}^2}=6$;

MB =$\sqrt{{\left(1-x\right)}^2+{\left(4-y\right)}^2+{\left(8-z\right)}^2}=7$;

MC = $\sqrt{{\left(7-x\right)}^2+{\left(9-y\right)}^2+{\left(6-z\right)}^2}$ = 12;

MD = $\sqrt{{\left(7-x\right)}^2+{\left(-15-y\right)}^2+{\left(18-z\right)}^2}=24$.

Từ đó ta có hệ phương trình $\left\{\begin{array}{l}{\left(3-x\right)}^2+{\left(-1-y\right)}^2+{\left(6-z\right)}^2=36\left(1\right)\\ {\left(1-x\right)}^2+{\left(4-y\right)}^2+{\left(8-z\right)}^2=49\left(2\right)\\ {\left(7-x\right)}^2+{\left(9-y\right)}^2+{\left(6-z\right)}^2=144\left(3\right)\\ {\left(7-x\right)}^2+{\left(-15-y\right)}^2+{\left(18-z\right)}^2=576\left(4\right)\end{array}\right.$.

Lấy (3) – (1) ta được: (7 – x)² – (3 – x)² + (9 – y)² – (– 1 – y)² = 144 – 36

⇔ – 8x – 20y = – 12 ⇔ 2x + 5y = 3 ⇔ x = $\frac{3-5y}{2}$ (5).

Lấy (4) – (3) ta được: (– 15 – y)² – (9 – y)² + (18 – z)² – (6 – z)² = 576 – 144

⇔ 48y – 24z = 0 ⇔ 2y – z = 0 ⇔ z = 2y (6).

Thay (5) và (6) vào (2) ta được: ${\left(1-\frac{3-5y}{2}\right)}^2$+ (4 – y)² + (8 – 2y)² = 49

⇔ 45y² – 170y + 125 = 0 ⇔ y = 1 hoặc y = $\frac{25}{9}$.

+ Với y = 1 thì x = – 1, z = 2. Khi đó M(– 1; 1; 2).

Thử lại bằng cách thay x = – 1, y = 1, z = 2 vào các phương trình (1), (2), (3), (4) ta thấy thỏa mãn.

+ Với y = $\frac{25}{9}$ thì x = $-\frac{49}{9}$, z = $\frac{50}{9}$. Khi đó M $\left(-\frac{49}{9};\frac{25}{9};\frac{50}{9}\right)$.

Thử lại bằng cách thay x = $-\frac{49}{9}$, y =$\frac{25}{9}$, z = $\frac{50}{9}$ vào các phương trình (1), (2), (3), (4) ta thấy thỏa mãn.

Vậy M(– 1; 1; 2) là điểm cần tìm.

Lời giải bài tập Toán 12 Bài 3: Phương trình mặt cầu hay khác:

• Giải Toán 12 trang 81
• Giải Toán 12 trang 82
• Giải Toán 12 trang 85

Xem thêm lời giải bài tập Toán lớp 12 Cánh diều hay, chi tiết khác:

• Toán 12 Bài 2: Phương trình đường thẳng

• Toán 12 Bài tập cuối chương 5

• Toán 12 Bài 1: Xác xuất có điều kiện

• Toán 12 Bài 2: Công thức xác suất toàn phần. Công thức Bayes

• Toán 12 Bài tập cuối chương 6

Xem thêm các tài liệu học tốt lớp 12 hay khác:

• Giải sgk Toán 12 Cánh diều
• Giải Chuyên đề học tập Toán 12 Cánh diều
• Giải SBT Toán 12 Cánh diều
• Giải lớp 12 Cánh diều (các môn học)
• Giải lớp 12 Kết nối tri thức (các môn học)
• Giải lớp 12 Chân trời sáng tạo (các môn học)

---