Giải Toán 12 trang 87 Tập 2 Cánh diều

Với Giải Toán 12 trang 87 Tập 2 trong Bài tập cuối chương 5 Toán 12 Tập 2 Cánh diều hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh dễ dàng làm bài tập Toán 12 trang 87.

Giải Toán 12 trang 87 Tập 2 Cánh diều

Các bài toán dưới đây, nếu không có chú ý gì thêm thì ta hiểu xét trong không gian với hệ tọa độ Oxyz.

Bài 1 trang 87 Toán 12 Tập 2: Mặt phẳng (P): 3x – 4y + 5z – 6 = 0 có một vectơ pháp tuyến là:

Lời giải:

Đáp án đúng là: B

Mặt phẳng (P): 3x – 4y + 5z – 6 = 0 có một vectơ pháp tuyến là: $\overrightarrow{n}=\left(3;-4;5\right)$

Bài 2 trang 87 Toán 12 Tập 2: Đường thẳng $d:\frac{x-2}{3}=\frac{y-3}{6}=\frac{z-1}{9}$ có một vectơ chỉ phương là:

Lời giải:

Đáp án đúng là: D

Đường thẳng $d:\frac{x-2}{3}=\frac{y-3}{6}=\frac{z-1}{9}$ có một vectơ chỉ phương là: $\overrightarrow{u}=\left(3;6;9\right)$.

Khi đó $\overrightarrow{u^{\text{'}}}=\frac{1}{3}\overrightarrow{u}=\left(1;2;3\right)$ cũng là một vectơ chỉ phương của đường thẳng d.

Bài 3 trang 87 Toán 12 Tập 2: a) Mặt cầu (S): (x – 11)² + (y – 12)² + (z – 13)² = 100 có bán kính là:

A. 10.

B. 11.

C. 12.

D. 13.

b) Tọa độ tâm của mặt cầu (S): (x – 5)² + (y + 6)² + (z – 7)² = 8 là:

A. (5; 6; 7).

B. (5; 6; – 7).

C. (5; – 6; 7).

D. (– 5; 6; 7).

Lời giải:

a) Đáp án đúng là: A

Mặt cầu (S): (x – 11)² + (y – 12)² + (z – 13)² = 100 có bán kính là $R=\sqrt{100}=10$.

b) Đáp án đúng là: C

Ta có (x – 5)² + (y + 6)² + (z – 7)² = 8 ⇔ (x – 5)² + [y – (– 6)]² + (z – 7)² = 8.

Vậy tọa độ tâm của mặt cầu (S) là (5; – 6; 7).

Bài 4 trang 87 Toán 12 Tập 2: Khoảng cách từ điểm M(a; b; c) đến mặt phẳng x – a – b – c = 0 là:

A. |a + b|.

B. |b + c|.

C. |c + a|.

D.$\frac{\left|b+c\right|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$.

Lời giải:

Đáp án đúng là: B

Khoảng cách từ điểm M(a; b; c) đến mặt phẳng x – a – b – c = 0 là:

$\frac{\left|1\cdot a+0\cdot b+0\cdot c-a-b-c\right|}{\sqrt{1^2+0^2+0^2}}=\left|-b-c\right|=\left|b+c\right|$

Bài 5 trang 87 Toán 12 Tập 2: Cho bốn điểm A(0; 1; 3), B(– 1; 0; 5), C(2; 0; 2) và D(1; 1; – 2).

a) Tìm toạ độ của hai vectơ $\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}$ và một vectơ vuông góc với cả hai vectơ đó.

b) Viết phương trình tham số và phương trình chính tắc của hai đường thẳng AB và AC.

c) Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng (ABC).

d) Chứng minh rằng bốn điểm A, B, C, D không đồng phẳng.

e) Tính khoảng cách từ điểm D đến mặt phẳng (ABC).

Lời giải:

a) Ta có $\overrightarrow{AB}=\left(-1;-1;2\right),\overrightarrow{AC}=\left(2;-1;-1\right)$.

Xét vectơ $\overrightarrow{n}=\left[\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right]=\left(\left|\begin{array}{cc}-1& 2\\ -1& -1\end{array}\right|;\left|\begin{array}{cc}2& -1\\ -1& 2\end{array}\right|;\left|\begin{array}{cc}-1& -1\\ 2& -1\end{array}\right|\right)=\left(3;3;3\right)$.

Khi đó, $\overrightarrow{n}=\left(3;3;3\right)$ là một vectơ vuông góc với cả hai vectơ $\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}$.

b) + Đường thẳng AB đi qua điểm A và nhận vectơ $\overrightarrow{AB}=\left(-1;-1;2\right)$ làm vectơ chỉ phương.

Phương trình tham số của đường thẳng AB là $\left\{\begin{array}{l}x=-t\\ y=1-t\\ z=3+2t\end{array}\right.$ (t là tham số).

Phương trình chính tắc của đường thẳng AB là $\frac{x}{-1}=\frac{y-1}{-1}=\frac{z-3}{2}$.

+ Đường thẳng AC đi qua điểm A và nhận vectơ $\overrightarrow{AC}=\left(2;-1;-1\right)$ làm vectơ chỉ phương.

Phương trình tham số của đường thẳng AC là $\left\{\begin{array}{l}x=2t\\ y=1-t\\ z=3-t\end{array}\right.$ (t là tham số).

Phương trình chính tắc của đường thẳng AC là $\frac{x}{2}=\frac{y-1}{-1}=\frac{z-3}{-1}$.

c) Mặt phẳng (ABC) đi qua điểm A và nhận vectơ $\overrightarrow{n^{\text{'}}}=\frac{1}{3}\overrightarrow{n}=\left(1;1;1\right)$ làm vectơ pháp tuyến. Phương trình tổng quát của mặt phẳng (ABC) là:

1(x – 0) + 1(y – 1) + 1(z – 3) = 0 ⇔ x + y + z – 4 = 0.

d) Thay tọa độ điểm D(1; 1; – 2) vào phương trình mặt phẳng (ABC) ta được:

1 + 1 + (– 2) – 4 = – 4 ≠ 0.

Suy ra điểm D không thuộc mặt phẳng (ABC).

Vậy bốn điểm A, B, C, D không đồng phẳng.

e) Khoảng cách từ điểm D đến mặt phẳng (ABC) là:

d(D, (ABC)) = $\frac{\left|1+1+\left(-2\right)-4\right|}{\sqrt{1^2+1^2+1^2}}=\frac{4}{\sqrt{3}}=\frac{4\sqrt{3}}{3}$

Bài 6 trang 87 Toán 12 Tập 2: Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng (P) trong mỗi trường hợp sau:

a) (P) đi qua điểm M(– 3; 1; 4) và có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n}=\left(2;-4;1\right)$;

b) (P) đi qua điểm N(2; – 1; 5) và có cặp vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{u_1}=\left(1;-3;-2\right)$ và $\overrightarrow{u_2}=\left(-3;4;1\right)$;

c) (P) đi qua điểm I(4; 0; – 7) và song song với mặt phẳng (Q): 2x + y – z – 3 = 0;

d) (P) đi qua điểm K(– 4; 9; 2) và vuông góc với đường thẳng $\Delta :\frac{x-1}{2}=\frac{y}{1}=\frac{z-6}{5}$

Lời giải:

a) Phương trình tổng quát của mặt phẳng (P) đi qua điểm M(– 3; 1; 4) và có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n}=\left(2;-4;1\right)$ là:

2(x + 3) – 4(y – 1) + 1(z – 4) = 0 ⇔ 2x – 4y + z + 6 = 0.

b) Xét vectơ $\overrightarrow{n}=\left[\overrightarrow{u_1},\overrightarrow{u_2}\right]=\left(\left|\begin{array}{cc}-3& -2\\ 4& 1\end{array}\right|;\left|\begin{array}{cc}-2& 1\\ 1& -3\end{array}\right|;\left|\begin{array}{cc}1& -3\\ -3& 4\end{array}\right|\right)$, tức là $\overrightarrow{n}=\left(5;5;-5\right)$.

Khi đó, $\overrightarrow{n}$ là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P).

Vậy phương trình tổng quát của mặt phẳng (P) là:

5(x – 2) + 5(y – (– 1)) – 5(z – 5) = 0 ⇔ x + y – z + 4 = 0.

c) Mặt phẳng (Q): 2x + y – z – 3 = 0 có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n_Q}=\left(2;1;-1\right)$.

Vì mặt phẳng (P) song song với mặt phẳng (Q) nên mặt phẳng (P) nhận $\overrightarrow{n_Q}=\left(2;1;-1\right)$ làm một vectơ pháp tuyến. Vậy phương trình tổng quát của mặt phẳng (P) là:

2(x – 4) + 1(y – 0) – 1(z + 7) = 0 ⇔ 2x + y – z – 15 = 0.

d) Đường thẳng $\Delta :\frac{x-1}{2}=\frac{y}{1}=\frac{z-6}{5}$ có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{u}=\left(2;1;5\right)$.

Vì ∆ ⊥ (P) nên mặt phẳng (P) nhận $\overrightarrow{u}=\left(2;1;5\right)$ làm vectơ pháp tuyến. Vậy phương trình tổng quát của mặt phẳng (P) là:

2(x + 4) + 1(y – 9) + 5(z – 2) = 0 ⇔ 2x + y + 5z – 11 = 0.

Lời giải bài tập Toán 12 Bài tập cuối chương 5 hay khác:

• Giải Toán 12 trang 88
• Giải Toán 12 trang 89

Xem thêm lời giải bài tập Toán lớp 12 Cánh diều hay, chi tiết khác:

• Toán 12 Bài 2: Phương trình đường thẳng

• Toán 12 Bài 3: Phương trình mặt cầu

• Toán 12 Bài 1: Xác xuất có điều kiện

• Toán 12 Bài 2: Công thức xác suất toàn phần. Công thức Bayes

• Toán 12 Bài tập cuối chương 6

Xem thêm các tài liệu học tốt lớp 12 hay khác:

• Giải sgk Toán 12 Cánh diều
• Giải Chuyên đề học tập Toán 12 Cánh diều
• Giải SBT Toán 12 Cánh diều
• Giải lớp 12 Cánh diều (các môn học)
• Giải lớp 12 Kết nối tri thức (các môn học)
• Giải lớp 12 Chân trời sáng tạo (các môn học)

---