Bài 5.23 trang 53 Toán 12 Tập 2 - Kết nối tri thức

Giải Toán 12 Bài 16: Công thức tính góc trong không gian - Kết nối tri thức

Bài 5.23 trang 53 Toán 12 Tập 2: Kim tự tháp Kheops ở Ai Cập có dạng hình chóp S.ABCD, có đáy là hình vuông với cạnh dài 230 m, các cạnh bên bằng nhau và dài 219 m (theo britannica.com) (H.5.38). Tính góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SBC).

Lời giải:

Gọi O là giao điểm của AC và BD. Suy ra O là trung điểm của AC, BD.

Vì các tam giác SAC, SBD đều cân tại S, SO là trung tuyến nên SO đồng thời là đường cao.

Suy ra SO ⊥ AC, SO ⊥ BD nên SO ⊥ (ABCD).

Chọn hệ tọa độ như hình vẽ.

Vì ABCD là hình vuông cạnh 230 m nên OA = OB = OC = OD = $115\sqrt{2}$.

Xét tam giác SOB vuông tại O, có $SO=\sqrt{S{B}^2-O{B}^2}=\sqrt{{219}^2-{\left(115\sqrt{2}\right)}^2}=7\sqrt{439}$

Ta có $A\left(-115\sqrt{2};0;0\right),B\left(0;-115\sqrt{2};0\right),C\left(115\sqrt{2};0;0\right),S\left(0;0;7\sqrt{439}\right)$

Ta có $\overrightarrow{SA}=\left(-115\sqrt{2};0;-7\sqrt{439}\right),\overrightarrow{SB}=\left(0;-115\sqrt{2};-7\sqrt{439}\right),$

$\overrightarrow{SC}=\left(115\sqrt{2};0;-7\sqrt{439}\right)$

Ta có $\left[\overrightarrow{SA},\overrightarrow{SB}\right]=$$\left(\left|\begin{array}{cc}0& -7\sqrt{439}\\ -115\sqrt{2}& -7\sqrt{439}\end{array}\right|,\left|\begin{array}{cc}-7\sqrt{439}& -115\sqrt{2}\\ -7\sqrt{439}& 0\end{array}\right|,\left|\begin{array}{cc}-115\sqrt{2}& 0\\ 0& -115\sqrt{2}\end{array}\right|\right)$

$=\left(-805\sqrt{878};-805\sqrt{878};26450\right)$

$\left[\overrightarrow{SB},\overrightarrow{SC}\right]=\left(\left|\begin{array}{cc}-115\sqrt{2}& -7\sqrt{439}\\ 0& -7\sqrt{439}\end{array}\right|,\left|\begin{array}{cc}-7\sqrt{439}& 0\\ -7\sqrt{439}& 115\sqrt{2}\end{array}\right|,\left|\begin{array}{cc}0& -115\sqrt{2}\\ 115\sqrt{2}& 0\end{array}\right|\right)$

$=\left(805\sqrt{878};-805\sqrt{878};26450\right)$

Mặt phẳng (SAB) nhận $\overrightarrow{n}=\frac{1}{5}\left[\overrightarrow{SA},\overrightarrow{SB}\right]=\left(-161\sqrt{878};-161\sqrt{878};5290\right)$ làm vectơ pháp tuyến.

Mặt phẳng (SBC) nhận $\overrightarrow{n^{\text{'}}}=\frac{1}{5}\left[\overrightarrow{SB},\overrightarrow{SC}\right]=\left(161\sqrt{878};-161\sqrt{878};5290\right)$ làm vectơ pháp tuyến.

Do đó

$\begin{array}{l}\cos \left(\left(SAB\right),\left(SBC\right)\right)\\ =\frac{\left|-{\left(161\sqrt{878}\right)}^2+{\left(161\sqrt{878}\right)}^2+{5290}^2\right|}{\sqrt{{\left(-161\sqrt{878}\right)}^2+{\left(-161\sqrt{878}\right)}^2+{5290}^2}.\sqrt{{\left(161\sqrt{878}\right)}^2+{\left(-161\sqrt{878}\right)}^2+{5290}^2}}\end{array}$

$=\frac{{5290}^2}{{\left(161\sqrt{878}\right)}^2+{\left(-161\sqrt{878}\right)}^2+{5290}^2}$$\approx \mathrm{0,3807}$

Suy ra ((SAB), (SBC)) ≈ 67,6°.

Vậy góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SBC) khoảng 67,6°.

Lời giải bài tập Toán 12 Bài 16: Công thức tính góc trong không gian hay, chi tiết khác:

• Mở đầu trang 50 Toán 12 Tập 2: Một mái nhà hình tròn được đặt trên ba cây cột trụ (H.5.33). Các cây cột vuông góc với mặt sàn nhà phẳng và có độ cao lần lượt là 7 m, 6 m, 5 m ....

• HĐ1 trang 50 Toán 12 Tập 2: Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng ∆ và ∆' tương ứng có các vectơ chỉ phương ....

• Luyện tập 1 trang 51 Toán 12 Tập 2: Trong không gian Oxyz, tính góc giữa trục Oz và đường thẳng $\Delta :\frac{x-3}{1}=\frac{y+1}{2}=\frac{z-1}{-2}$ ....

• HĐ2 trang 51 Toán 12 Tập 2: Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng ∆ và mặt phẳng (P) ....

• Luyện tập 2 trang 51 Toán 12 Tập 2: Trong không gian Oxyz, tính góc giữa đường thẳng ∆ và mặt phẳng (P) ....

• HĐ3 trang 52 Toán 12 Tập 2: Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng (P), (Q) tương ứng có các vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n}=\left(A;B;C\right), \overrightarrow{n^{\text{'}}}=\left(A^{\text{'}};B^{\text{'}};C^{\text{'}}\right)$ ....

• Luyện tập 3 trang 52 Toán 12 Tập 2: Trong không gian Oxyz, tính góc giữa hai mặt phẳng (P) $x-\sqrt{2}y+z-2=0$ và (Oxz): y = 0 ....

• Vận dụng trang 53 Toán 12 Tập 2: Hãy trả lời câu hỏi đã được nêu ra trong tình huống mở đầu ....

• Bài 5.20 trang 53 Toán 12 Tập 2: Trong không gian Oxyz, tính góc giữa hai đường thẳng: ${\Delta }_1:\left\{\begin{array}{l}x=1+2t\\ y=1-t\\ z=2+3t\end{array}\right.$ và ${\Delta }_2:\frac{x-2}{-1}=\frac{x+1}{1}=\frac{z-2}{2}$ ....

• Bài 5.21 trang 53 Toán 12 Tập 2: Trong không gian Oxyz, tính góc giữa trục Oz và mặt phẳng (P): x + 2y – z – 1 = 0 ....

• Bài 5.22 trang 53 Toán 12 Tập 2: Tính góc giữa đường thẳng $\Delta :\frac{x+1}{-1}=\frac{y-3}{2}=\frac{z+2}{3}$ và mặt phẳng (P): x + y + z + 3 = 0 ....

• Bài 5.24 trang 53 Toán 12 Tập 2: (H.5.39) Trong một bể hình lập phương cạnh 1 m có chứa một ít nước. Người ta đặt đáy bể nghiêng so với mặt phẳng nằm ngang ....

Xem thêm lời giải bài tập Toán lớp 12 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

• Toán 12 Bài 17: Phương trình mặt cầu

• Toán 12 Bài tập cuối chương 5

• Toán 12 Bài 18: Xác suất có điều kiện

• Toán 12 Bài 19: Công thức xác suất toàn phần và công thức Bayes

• Toán 12 Bài tập cuối chương 6

Xem thêm các tài liệu học tốt lớp 12 hay khác:

• Giải sgk Toán 12 Kết nối tri thức
• Giải Chuyên đề học tập Toán 12 Kết nối tri thức
• Giải SBT Toán 12 Kết nối tri thức
• Giải lớp 12 Kết nối tri thức (các môn học)
• Giải lớp 12 Chân trời sáng tạo (các môn học)
• Giải lớp 12 Cánh diều (các môn học)

---