Bài 6 trang 118 Toán 7 Tập 2 Cánh diều

Voucher giảm giá Shopee dịp 15-08

Giải Toán 7 Bài 13: Tính chất ba đường cao của tam giác - Cánh diều

Bài 6 trang 118 Toán lớp 7 Tập 2: Cho tam giác ABC có G là trọng tâm, H là trực tâm, I là giao điểm của ba đường phân giác, O là giao điểm của ba đường trung trực. Chứng minh rằng:

a) Nếu tam giác ABC đều thì bốn điểm G, H, I, O trùng nhau;

b) Nếu tam giác ABC có hai điểm H, I trùng nhau thì tam giác ABC là tam giác đều.

Quảng cáo

Lời giải:

Bài 6 trang 118 Toán 7 Tập 2 Cánh diều

Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, CA, AB.

Do tam giác ABC đều nên AB = BC = CA và $\hat{A B C} = \hat{A C B} = \hat{B A C}$ .

Do M là trung điểm của BC nên BM = CM.

Xét ∆AMB và ∆AMC có:

AB = AC (chứng minh trên).

$\hat{A B M} = \hat{A C M}$ (chứng minh trên).

BM = CM (chứng minh trên).

Do đó ∆AMB = ∆AMC (c - g - c).

Suy ra $\hat{A M B} = \hat{A M C}$ (2 góc tương ứng) và $\hat{M A B} = \hat{M A C}$ (2 góc tương ứng).

Do $\hat{A M B} = \hat{A M C}$ , mà $\hat{A M B} + \hat{A M C} = 180 °$ nên $\hat{A M B} = \hat{A M C} = 90 °$ .

Khi đó AM vuông góc với BC tại trung điểm M của BC nên AM là đường trung trực của đoạn thẳng BC.

Lại có $\hat{M A B} = \hat{M A C}$ nên AM là đường phân giác của $\hat{B A C}$ .

Thực hiện tương tự ta chứng minh được BN là đường trung trực của đoạn thẳng CA và BN là đường phân giác của $\hat{A B C}$ .

CP là đường trung trực của đoạn thẳng AB và CP là đường phân giác của $\hat{A C B}$ .

Mà AM, BN, CP cắt nhau tại G nên G, H, I, O trùng nhau.

Bài 6 trang 118 Toán 7 Tập 2 Cánh diều

Gọi M, N, P lần lượt là chân đường cao kẻ từ H đến BC, CA, AB.

Khi đó HN ⊥ AC.

Mà H là trực tâm của ∆ABC nên BH ⊥ AC.

HN ⊥ AC, BH ⊥ AC nên B, H, N thẳng hàng.

Xét ∆APH vuông tại P và ∆CMH vuông tại M có:

$\hat{A H P} = \hat{C H M}$ (2 góc đối đỉnh).

HP = HM (theo giả thiết).

Do đó ∆APH = ∆CMH (góc nhọn - cạnh góc vuông).

Suy ra HA = HC (2 cạnh tương ứng).

Xét ∆HNA vuông tại N và ∆HNC vuông tại N có:

HN chung.

HA = HC (chứng minh trên).

Do đó ∆HNA = ∆HNC (2 cạnh góc vuông).

Suy ra AN = CN (2 cạnh tương ứng).

Khi đó N là trung điểm của AC.

HN ⊥ AC tại trung điểm N của AC nên HN là đường trung trực của đoạn thẳng AC.

Mà B, H, N thẳng hàng nên B thuộc đường trung trực của đoạn thẳng AC.

Do đó BA = BC.

Thực hiện tương tự, ta chứng minh được CA = CB.

Do đó AB = BC = CA.

Vậy tam giác ABC đều.

Quảng cáo

Lời giải bài tập Toán 7 Bài 13: Tính chất ba đường cao của tam giác hay, chi tiết khác:

Quảng cáo

Xem thêm lời giải bài tập Toán lớp 7 Cánh diều hay, chi tiết khác:

Sách VietJack cho con lớp 6-9: Trọng tâm Toán, Văn, Anh ... . Giảm 10% năm học mới!

Tủ sách VIETJACK shopee lớp 6-8 cho phụ huynh và giáo viên (cả 3 bộ sách):

Săn shopee giá ưu đãi :

ĐỀ THI, GIÁO ÁN, SÁCH LUYỆN THI DÀNH CHO GIÁO VIÊN VÀ PHỤ HUYNH LỚP 7

Bộ giáo án, bài giảng powerpoint, đề thi, sách dành cho giáo viên và khóa học dành cho phụ huynh tại https://tailieugiaovien.com.vn/ . Hỗ trợ zalo VietJack Official

Tổng đài hỗ trợ đăng ký : 084 283 45 85

Giáo án, bài giảng powerpoint Văn, Toán, Lí, Hóa....

4.5 (243)

799,000đs

199,000 VNĐ

Đề thi, chuyên đề Cánh diều, Kết nối tri thức, Chân trời sáng tạo...

4.5 (243)

799,000đ

99,000 VNĐ

Sách Toán - Văn- Anh 6-7-8-9, luyện thi vào 10

4.5 (243)

199,000đ

99.000 - 149.000 VNĐ

xem tất cả

Đã có app VietJack trên điện thoại, giải bài tập SGK, SBT Soạn văn, Văn mẫu, Thi online, Bài giảng....miễn phí. Tải ngay ứng dụng trên Android và iOS.