Giải Toán 7 trang 107 Tập 2 Cánh diều

Với Giải Toán 7 trang 107 Tập 2 trong Bài 10: Tính chất ba đường trung tuyến của tam giác Toán 7 Cánh diều hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh lớp 7 làm bài tập Toán 7 trang 107.

Giải Toán 7 trang 107 Tập 2 Cánh diều

Bài 1 trang 107 Toán lớp 7 Tập 2: Cho tam giác ABC. Ba đường trung tuyến AM, BN, CP đồng quy tại G. Chứng minh:

GA + GB + GC = $\frac{2}{3}$(AM + BN + CP).

Lời giải:

Tam giác ABC có ba đường trung tuyến AM, BN, CP cắt nhau tại G nên G là trọng tâm của tam giác ABC.

Khi đó GA = $\frac{2}{3}$AM; GB = $\frac{2}{3}$BN; GC = $\frac{2}{3}$CP.

Do đó GA + GB + GC = $\frac{2}{3}$AM + $\frac{2}{3}$BN + $\frac{2}{3}$CP = $\frac{2}{3}$(AM + BN + CP).

Bài 2 trang 107 Toán lớp 7 Tập 2: Cho tam giác ABC cân tại A, hai đường trung tuyến BM và CN cắt nhau tại G. Chứng minh:

a) BM = CN;

b) ∆GBC cân tại G.

Lời giải:

a) Tam giác ABC cân tại A nên AB = AC và $\widehat{ABC}=\widehat{ACB}$.

Do BM và CN là hai đường trung tuyến của tam giác ABC nên M là trung điểm của AC và N là trung điểm của AB.

Do đó BN = MC.

Xét ∆NBC và ∆MCB có:

BN = MC (chứng minh trên).

$\widehat{NBC}=\widehat{MCB}$ (chứng minh trên).

BC chung.

Do đó ∆NBC = ∆MCB (c - g - c).

Suy ra BM = CN (2 cạnh tương ứng).

b) Tam giác ABC có hai đường trung tuyến BM và CN cắt nhau tại G nên G là trọng tâm của tam giác ABC.

Khi đó GB = $\frac{2}{3}$BM; GC = $\frac{2}{3}$CN.

Mà BM = CN nên GB = GC.

Tam giác GBC có GB = GC nên tam giác GBC cân tại G.

Bài 3 trang 107 Toán lớp 7 Tập 2: Cho tam giác ABC có hai đường trung tuyến AM và BN cắt nhau tại G. Trên tia đối của tia MA lấy điểm D sao cho MD = MG. Chứng minh:

a) GA = GD;

b) ∆MBG = ∆MCD;

c) CD = 2GN.

Lời giải:

a) Tam giác ABC có hai đường trung tuyến AM, BN cắt nhau tại G nên G là trọng tâm của tam giác ABC.

Khi đó GM = $\frac{1}{2}$GA.

Trên tia đối của tia MA lấy điểm D sao cho MD = MG nên M là trung điểm của GD.

Suy ra GM = $\frac{1}{2}$GD.

Vậy GA = GD.

b) Do M là trung điểm của GD nên MG = MD.

Xét ∆MBG và ∆MCD có:

MB = MC (theo giả thiết).

$\widehat{GMB}=\widehat{DMC}$ (2 góc đối đỉnh).

MG = MD (chứng minh trên).

Do đó ∆MBG = ∆MCD (c - g - c).

c) Do ∆MBG = ∆MCD (c - g - c) nên CD = BG (2 cạnh tương ứng).

Do G là trọng tâm của tam giác ABC nên BG = 2GN.

Mà CD = BG nên CD = 2GN.

Bài 4 trang 107 Toán lớp 7 Tập 2: Cho tam giác ABC có hai đường trung tuyến AM và BN cắt nhau tại G. Gọi H là hình chiếu của A lên đường thẳng BC. Giả sử H là trung điểm của đoạn thẳng BM. Chứng minh:

a) ∆AHB = ∆AHM;

b) $AG=\frac{2}{3}AB$.

Lời giải:

a) Do H là hình chiếu của A trên BC nên AH ⊥ BC.

Xét ∆AHB vuông tại H và ∆AHM vuông tại H có:

AH chung.

HB = HM (theo giả thiết).

Do đó ∆AHB = ∆AHM (2 cạnh góc vuông).

b) Do ∆AHB = ∆AHM (2 cạnh góc vuông) nên AB = AM (2 cạnh tương ứng).

∆ABC có hai đường trung tuyến AM, BN cắt nhau tại G nên G là trọng tâm của ∆ABC.

Suy ra AG = $\frac{2}{3}$AM.

Mà AB = AM nên AG = $\frac{2}{3}$AB.

Bài 5 trang 107 Toán lớp 7 Tập 2: Hình 107 là mặt cắt đứng của một ngôi nhà có mái dốc. Mỗi tầng cao 3,3 m. Mặt cắt mái nhà có dạng tam giác ABC cân tại A với đường trung tuyến AH dài 1,2 m. Tại vị trí O là trọng tâm tam giác ABC, người ta làm tâm cho một cửa sổ có dạng hình tròn.

a) AH có vuông góc với BC không? Vì sao?

b) Vị trí O ở độ cao bao nhiêu mét so với mặt đất?

Lời giải:

a) ∆ABC cân tại A nên AB = AC và $\widehat{ABH}=\widehat{ACH}$.

AH là đường trung tuyến của ∆ABC nên H là trung điểm của BC.

Do đó BH = CH.

Xét ∆ABH và ∆ACH có:

AB = AC (chứng minh trên).

$\widehat{ABH}=\widehat{ACH}$ (chứng minh trên).

BH = CH (chứng minh trên).

Do đó ∆ABH = ∆ACH (c - g - c).

Suy ra $\widehat{AHB}=\widehat{AHC}$(2 góc tương ứng).

Mà $\widehat{AHB}+\widehat{AHC}=180°$ nên $\widehat{AHB}=\widehat{AHC}=90°$ hay AH ⊥ BC.

b) Do O là trọng tâm của tam giác ABC nên OH = $\frac{1}{3}$AH = $\frac{1}{3}$. 1,2 = 0,4 m.

Do mỗi tầng cao 3,3 m nên vị trí O ở độ cao 0,4 + 3,3 . 3 = 10,3 m so với mặt đất.

Lời giải bài tập Toán 7 Bài 10: Tính chất ba đường trung tuyến của tam giác hay khác:

• Giải Toán 7 trang 104 Tập 2

• Giải Toán 7 trang 105 Tập 2

Xem thêm lời giải bài tập Toán lớp 7 Cánh diều hay, chi tiết khác:

• Toán 7 Bài 11: Tính chất ba đường phân giác của tam giác

• Toán 7 Bài 12: Tính chất ba đường trung trực của tam giác

• Toán 7 Bài 13: Tính chất ba đường cao của tam giác

• Toán 7 Bài tập cuối chương 7

• Toán 7 Thực hành một số phần mềm

Xem thêm các tài liệu học tốt lớp 7 hay khác:

• Giải sgk Toán 7 Cánh diều
• Giải SBT Toán 7 Cánh diều
• Giải lớp 7 Cánh diều (các môn học)
• Giải lớp 7 Kết nối tri thức (các môn học)
• Giải lớp 7 Chân trời sáng tạo (các môn học)

---