HĐ1 trang 114 Toán 9 Kết nối tri thức Tập 1 | Giải Toán 9

Giải Toán 9 Pha chế dung dịch theo nồng độ yêu cầu - Kết nối tri thức

HĐ1 trang 114 Toán 9 Tập 1: Tính toán lượng chất tan và dung môi để pha chế dung dịch có nồng độ phần trăm cho trước

Quảng cáo

Ta cần tính số gam đường cát và số gam nước tinh khiết cần thiết để có thể tạo ra n = 1000 ml dung dịch có nồng độ a%. Biết rằng khối lượng riêng của đường cát là d = 1,1 g /ml và 1 lít nước tinh khiết nặng 1 kg.

a) Gọi x (gam) và y (gam) lần lượt là lượng đường cát và nước cần để pha chế. Lập biểu thức tính thể tích và nồng độ dung dịch để chứng minh rằng x, y thỏa mãn hệ phương trình

$\{\begin{cases} \frac{x}{1, 1} + y = 1 000 \\ \frac{x}{x + y} \cdot 100 = a . \end{cases}$

b) Biến đổi hệ phương trình trên về dạng hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn

$\{\begin{cases} x + 1, 1 y = 1 100 \\ (100 - a) x - a y = 0. \end{cases}$

Từ đó chứng tỏ nghiệm (x; y) của hệ phương trình này là

$\{\begin{cases} x = \frac{1 100}{110 - 0, 1 a} \\ y = \frac{1 100 (100 - a)}{110 - 0, 1 a} . \end{cases}$

c) Áp dụng: Tính lượng nước và đường cát tương ứng để pha n = 1 000 ml nước đường với nồng độ là a = 63%.

Lời giải:

Gọi x (gam) và y (gam) lần lượt là lượng đường cát và nước cất cần pha chế

Thể tích của x gam đường cát là $\frac{x}{1, 1}$ (ml).

Thể tích của y gam nước cất là y (ml).

Thể tích của dung dịch gồm x gam đường cát và y gam nước cất là

$\frac{x}{1, 1} + y = 1 000$ (ml). (1)

Khối lượng dung dịch là: x + y (gam).

Dung dịch có nồng độ a% nên ta có: $\frac{x}{x + y} \cdot 100 = a$ . (2)

Từ (1) và (2) ta có x và y là nghiệm của hệ $\{\begin{cases} \frac{x}{1, 1} + y = 1 000 \\ \frac{x}{x + y} \cdot 100 = a . \end{cases}$

b) Nhân cả hai vế của phương trình (1) với 1,1 ta được x + 1,1y = 1 100. (3)

Từ (2) ta có $\frac{x}{x + y} \cdot 100 = a$ hay 100x = a(x + y)

Suy ra x(100 − a) – ay = 0. (4)

Từ (3) và (4) nên ta có hệ phương trình $\{\begin{cases} x + 1, 1 y = 1 100 \\ (100 - a) x - a y = 0. \end{cases}$

Từ phương trình (3) ta có x = 1 100 − 1,1y thay vào phương trình (4) ta được

(100 − a)(1100 − 1,1y) – ay = 0

Hay 1100(100 − a) − 1,1y(100 − a) – ay = 0

Suy ra y[1,1.(100 − a) + a] = 1100(100 − a)

Nên y(1100 − 0,1a) = 1 100(100 − a)

Do đó $y = \frac{1 100 (100 - a)}{110 - 0, 1 a}$

Mà $x = 1 100 - 1, 1 y = 1 100 - 1, 1 \cdot \frac{1 100 (100 - a)}{110 - 0, 1 a}$

$= 1 100 - \frac{1 210 (100 - a)}{110 - 0, 1 a}$

$= \frac{121 000 - 110 a - 121 000 + 1 210 a}{110 - 0, 1 a}$ $= \frac{1 100 a}{110 - 0, 1 a}$

Nên (x; y) của hệ phương trình này là $\{\begin{cases} x = \frac{1 100}{110 - 0, 1 a} \\ y = \frac{1 100 (100 - a)}{110 - 0, 1 a} . \end{cases}$

c) Với a = 63% ta có $\{\begin{cases} x = \frac{1 100 \cdot 63}{110 - 0, 1 \cdot 63} \\ y = \frac{1 100 (100 - 63)}{110 - 0, 1 \cdot 63} \end{cases}$ hay $\{\begin{cases} x \approx 668, 3 \\ y \approx 392, 5 \end{cases}$ .