Sử dụng phương pháp quy nạp toán học, chứng minh rằng số đường chéo của một đa giác n cạnh

Giải Chuyên đề Toán 10 Bài 3: Phương pháp quy nạp toán học

Bài 2.7 trang 30 Chuyên đề Toán 10: Sử dụng phương pháp quy nạp toán học, chứng minh rằng số đường chéo của một đa giác n cạnh (n ≥ 4) là $\frac{n\left(n-3\right)}{2}.$

Lời giải:

Ta chứng minh bằng quy nạp theo n với n ≥ 4.

Bước 1. Với n = 4 ta có đa giác là tứ giác.

Số đường chéo của tứ giác là 2 = $\frac{4\left(4-3\right)}{2}$.

Như vậy khẳng định đúng cho trường hợp n = 4.

Bước 2. Giả sử khẳng định đúng với n = k (k ≥ 4), tức là ta có: Số đường chéo của một đa giác k cạnh (k ≥ 4) là $\frac{k\left(k-3\right)}{2}.$

Ta sẽ chứng minh rằng khẳng định cũng đủng với n = k + 1, nghĩa là ta sẽ chứng minh: Số đường chéo của một đa giác (k + 1) cạnh (k ≥ 4) là $\frac{\left(k+1\right)\left[\left(k+1\right)-3\right]}{2}.$

Thật vậy, xét đa giác (k + 1) cạnh A₁A₂...A_kA_{k + 1}, nối hai đỉnh A₁ và A_k ta được đa giác k cạnh A₁A₂...A_k. Theo giả thiết quy nạp đa giác k cạnh này có $\frac{k\left(k-3\right)}{2}$ đường chéo.

 

Các đường chéo còn lại của đa giác (k + 1) cạnh ngoài $\frac{k\left(k-3\right)}{2}$ đường chéo này là các đoạn nối A_{k + 1} với các đỉnh từ A₂ đến A_{k – 1} và đoạn A₁A_k (màu đỏ). Tổng cộng có (k – 1) đường.

Vậy tổng số đường chéo của đa giác (k + 1) cạnh là:

$\frac{k\left(k-3\right)}{2}$ + (k – 1) = $\frac{k\left(k-3\right)+2\left(k-1\right)}{2}$

$=\frac{k^2-k-2}{2}=\frac{\left(k+1\right)\left(k-2\right)}{2}=\frac{\left(k+1\right)\left[\left(k+1\right)-3\right]}{2}.$

Vậy khẳng định đúng với mọi số tự nhiên n ≥ 4.

Xem thêm lời giải bài tập Chuyên đề học tập Toán 10 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

• HĐ1 trang 26 Chuyên đề Toán 10: Hãy quan sát các đẳng thức sau: 1 = 1²; 1 + 3 = 4 = 2²; 1 + 3 + 5 = 9 = 3² ....

• HĐ2 trang 26 Chuyên đề Toán 10: Xét đa thức p(n) = n²– n +41. Hãy tính p(1), p(2), p(3), p(4), p(5) và chứng tỏ rằng các kết quả nhận được đều là số nguyên tố ....

• Luyện tập 1 trang 27 Chuyên đề Toán 10: Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n ≥ 1, ta có: $1+2+3+\mathrm{...}+n=\frac{n\left(n+1\right)}{2}.$ ....

• Luyện tập 2 trang 28 Chuyên đề Toán 10: Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n ≥ 2, ta có đằng thức: aⁿ – bⁿ = (a – b)(a^{n – 1} + a^{n – 2}b + ... + ab^{n –2} + b^{n – 1}) ....

• Vận dụng trang 30 Chuyên đề Toán 10: Lãi suất gửi tiết kiệm trong ngân hàng thường được tính theo thể thức lãi kép theo định kì ....

• Bài 2.1 trang 30 Chuyên đề Toán 10: Sử dụng phương pháp quy nạp toán học, chứng minh các đẳng thức sau đúng với mọi số tự nhiên n ≥ 1: 2 + 4 + 6 + ... + 2n = n(n + 1) ....

• Bài 2.2 trang 30 Chuyên đề Toán 10: Mỗi khẳng định sau là đủng hay sai? Nếu em nghĩ là nó đủng, hãy chứng minh nó. Nếu em nghĩ là nó sai, hãy đưa ra một phản ví dụ ....

• Bài 2.3 trang 30 Chuyên đề Toán 10: Chứng minh rằng n³ - n + 3 chia hết cho 3 với mọi số tự nhiên n ≥ 1 ....

• Bài 2.4 trang 30 Chuyên đề Toán 10: Chứng minh rằng n² – n + 41 là số lẻ với mọi số nguyên dương n ....

• Bài 2.5 trang 30 Chuyên đề Toán 10: Chứng minh rằng nếu x > –1 thì (1 + x)ⁿ ≥ 1+ nx với mọi số tự nhiên n ....

• Bài 2.6 trang 30 Chuyên đề Toán 10: Cho tổng S_n = $\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+\mathrm{...}+\frac{1}{n\left(n+1\right)}$ ....

• Bài 2.8 trang 30 Chuyên đề Toán 10: Ta sẽ “lập luận” bằng quy nạp toán học đề chỉ ra rằng: “Mọi con mèo đều có cùng màu” ....

Xem thêm các tài liệu học tốt lớp 10 hay khác:

• Giải Chuyên đề học tập Toán 10 Kết nối tri thức
• Giải Chuyên đề học tập Toán 10 Chân trời sáng tạo
• Giải Chuyên đề học tập Toán 10 Cánh diều
• Giải lớp 10 Kết nối tri thức (các môn học)
• Giải lớp 10 Chân trời sáng tạo (các môn học)
• Giải lớp 10 Cánh diều (các môn học)

---