Chứng minh rằng đồ thị của hàm số y = ax^2 + bx + c (a khác 0) là một parabol

Giải Chuyên đề Toán 10 Bài tập cuối chuyên đề 3

Bài 3.23 trang 61 Chuyên đề Toán 10: Chứng minh rằng đồ thị của hàm số y = ax² + bx + c (a ≠ 0) là một parabol có tiêu điểm là $F\left(-\frac{b}{2a};\frac{1-\Delta }{4a}\right)$ và đường chuẩn là $\Delta :y=-\frac{1+\Delta }{4a}$, trong đó Δ = b² – 4ac.

Lời giải:

+) Mỗi điểm M thuộc đồ thị của hàm số y = ax² + bx + c đều có toạ độ (x; ax² + bx + c).

Ta cần chứng minh M cũng thuộc parabol đã cho, tức là $\frac{MF}{d\left(M,\Delta \right)}=1$ hay MF = d(M, Δ). Thật vậy:

MF = d(M, Δ) $\iff \sqrt{{\left(x+\frac{b}{2a}\right)}^2+{\left(a{x}^2+bx+c-\frac{1-\Delta }{4a}\right)}^2}=\left|a{x}^2+bx+c+\frac{1+\Delta }{4a}\right|$

$\iff {\left(x+\frac{b}{2a}\right)}^2+{\left(a{x}^2+bx+c-\frac{1-\Delta }{4a}\right)}^2={\left(a{x}^2+bx+c+\frac{1+\Delta }{4a}\right)}^2$

$\iff {\left(x+\frac{b}{2a}\right)}^2+{\left[\frac{4a^2{x}^2+4abx+4ac-\left(1-\Delta \right)}{4a}\right]}^2={\left[\frac{4a^2{x}^2+4abx+4ac+\left(1+\Delta \right)}{4a}\right]}^2$

$\iff {\left(x+\frac{b}{2a}\right)}^2+{\left[\frac{4a^2{x}^2+4abx+4ac-\left(1-b^2+4ac\right)}{4a}\right]}^2={\left[\frac{4a^2{x}^2+4abx+4ac+\left(1+b^2-4ac\right)}{4a}\right]}^2$

$\iff {\left(x+\frac{b}{2a}\right)}^2+{\left(\frac{4a^2{x}^2+4abx+b^2-1}{4a}\right)}^2={\left(\frac{4a^2{x}^2+4abx+b^2+1}{4a}\right)}^2$

$\iff {\left(\frac{2ax+b}{2a}\right)}^2+{\left[\frac{{\left(2ax+b\right)}^2-1}{4a}\right]}^2={\left[\frac{{\left(2ax+b\right)}^2+1}{4a}\right]}^2$

$\iff 4{\left(2ax+b\right)}^2+{\left[{\left(2ax+b\right)}^2-1\right]}^2={\left[{\left(2ax+b\right)}^2+1\right]}^2$

$\iff 4{\left(2ax+b\right)}^2+\left[{\left(2ax+b\right)}^4-2{\left(2ax+b\right)}^2+1\right]={\left(2ax+b\right)}^4+2{\left(2ax+b\right)}^2+1$

$\iff {\left(2ax+b\right)}^4+2{\left(2ax+b\right)}^2+1={\left(2ax+b\right)}^4+2{\left(2ax+b\right)}^2+1.$

Đẳng thức cuối đúng, do đó ta có điều phải chứng minh.

+) Ngược lại, với mỗi điểm M(x; y) thuộc parabol đã cho, ta phải chứng minh M thuộc đồ thị hàm số y = ax² + bx + c. Thật vậy:

Vì M(x; y) thuộc parabol đã cho nên $\frac{MF}{d\left(M,\Delta \right)}=1$ hay MF = d(M, Δ)

$\Rightarrow \sqrt{{\left(x+\frac{b}{2a}\right)}^2+{\left(y-\frac{1-\Delta }{4a}\right)}^2}=\left|y+\frac{1+\Delta }{4a}\right|$

$\Rightarrow {\left(x+\frac{b}{2a}\right)}^2+{\left(y-\frac{1-\Delta }{4a}\right)}^2={\left(y+\frac{1+\Delta }{4a}\right)}^2$

$\Rightarrow {\left(\frac{2ax+b}{2a}\right)}^2+{\left[\frac{4ay-\left(1-\Delta \right)}{4a}\right]}^2={\left[\frac{4ay+\left(1+\Delta \right)}{4a}\right]}^2$

$\Rightarrow {\left(\frac{2ax+b}{2a}\right)}^2+{\left[\frac{4ay-\left(1-b^2+4ac\right)}{4a}\right]}^2={\left[\frac{4ay+\left(1+b^2-4ac\right)}{4a}\right]}^2$

$\Rightarrow {\left(\frac{2ax+b}{2a}\right)}^2+{\left[\frac{\left(4ay-4ac+b^2\right)-1}{4a}\right]}^2={\left[\frac{\left(4ay-4ac+b^2\right)+1}{4a}\right]}^2$

$\Rightarrow 4{\left(2ax+b\right)}^2+{\left[\left(4ay-4ac+b^2\right)-1\right]}^2={\left[\left(4ay-4ac+b^2\right)+1\right]}^2$

$\Rightarrow 4{\left(2ax+b\right)}^2={\left[\left(4ay-4ac+b^2\right)+1\right]}^2-{\left[\left(4ay-4ac+b^2\right)-1\right]}^2$

⇒ 4(4a²x² + 4abx + b²) = 4(4ay – 4ac + b²)

⇒ 4a²x²  + 4abx = 4ay – 4ac

⇒ 4ay = 4a²x² + 4abx + 4ac

⇒ y = ax² + bx + c

Vậy M(x; y) thuộc đồ thị hàm số y = ax² + bx + c.

Chứng minh được hoàn tất.

Xem thêm lời giải bài tập Chuyên đề học tập Toán 10 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

• Bài 3.21 trang 61 Chuyên đề Toán 10: Cho conic (S) có tâm sai e = 2, một tiêu điểm F(–2; 5) và đường chuẩn tương ứng với tiêu điểm đó là Δ: x + y – 1 = 0 ....

• Bài 3.22 trang 61 Chuyên đề Toán 10: Viết phương trình đường conic có tâm sai e = $\frac{1}{\sqrt{2}}$ , một tiêu điểm F(–1; 0) và đường chuẩn tương ứng là Δ: x + y + 1 = 0 ....

• Bài 3.24 trang 61 Chuyên đề Toán 10: Cho hai parabol có phương trình y² = 2px và y = ax² + bx + c (a ≠ 0). Chứng minh rằng nếu hai parabol đó cắt nhau tại bốn điểm phân biệt thì bốn điểm đó cùng nằm trên đường tròn ....

• Bài 3.25 trang 61 Chuyên đề Toán 10: Cho elip có phương trình $\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1$ . Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm M(2; 1) và cắt elip tại hai điểm A, B sao cho MA = MB ....

• Bài 3.26 trang 61 Chuyên đề Toán 10: Một tàu vũ trụ nằm trong một quỹ đạo tròn và ở độ cao 148 km so với bề mặt Trái Đất (H.3.27) ....

Xem thêm các tài liệu học tốt lớp 10 hay khác:

• Giải Chuyên đề học tập Toán 10 Kết nối tri thức
• Giải Chuyên đề học tập Toán 10 Chân trời sáng tạo
• Giải Chuyên đề học tập Toán 10 Cánh diều

---