Chứng minh rằng đồ thị của hàm số y = ax^2 + bx + c (a khác 0) là một parabol

Giải Chuyên đề Toán 10 Bài tập cuối chuyên đề 3

Bài 3.23 trang 61 Chuyên đề Toán 10: Chứng minh rằng đồ thị của hàm số y = ax2 + bx + c (a ≠ 0) là một parabol có tiêu điểm là Fb2a;1Δ4a và đường chuẩn là Δ:y=1+Δ4a, trong đó Δ = b2 – 4ac.

Quảng cáo

Lời giải:

+) Mỗi điểm M thuộc đồ thị của hàm số y = ax2 + bx + c đều có toạ độ (x; ax2 + bx + c).

Ta cần chứng minh M cũng thuộc parabol đã cho, tức là MFdM,Δ=1 hay MF = d(M, Δ). Thật vậy:

MF = d(M, Δ) x+b2a2+ax2+bx+c1Δ4a2=ax2+bx+c+1+Δ4a

x+b2a2+ax2+bx+c1Δ4a2=ax2+bx+c+1+Δ4a2

x+b2a2+4a2x2+4abx+4ac1Δ4a2=4a2x2+4abx+4ac+1+Δ4a2

x+b2a2+4a2x2+4abx+4ac1b2+4ac4a2=4a2x2+4abx+4ac+1+b24ac4a2

x+b2a2+4a2x2+4abx+b214a2=4a2x2+4abx+b2+14a2

2ax+b2a2+2ax+b214a2=2ax+b2+14a2

42ax+b2+2ax+b212=2ax+b2+12

42ax+b2+2ax+b422ax+b2+1=2ax+b4+22ax+b2+1

2ax+b4+22ax+b2+1=2ax+b4+22ax+b2+1.

Đẳng thức cuối đúng, do đó ta có điều phải chứng minh.

+) Ngược lại, với mỗi điểm M(x; y) thuộc parabol đã cho, ta phải chứng minh M thuộc đồ thị hàm số y = ax2 + bx + c. Thật vậy:

Vì M(x; y) thuộc parabol đã cho nên MFdM,Δ=1 hay MF = d(M, Δ)

x+b2a2+y1Δ4a2=y+1+Δ4a

x+b2a2+y1Δ4a2=y+1+Δ4a2

2ax+b2a2+4ay1Δ4a2=4ay+1+Δ4a2

2ax+b2a2+4ay1b2+4ac4a2=4ay+1+b24ac4a2

2ax+b2a2+4ay4ac+b214a2=4ay4ac+b2+14a2

42ax+b2+4ay4ac+b212=4ay4ac+b2+12

42ax+b2=4ay4ac+b2+124ay4ac+b212

⇒ 4(4a2x2 + 4abx + b2) = 4(4ay – 4ac + b2)

⇒ 4a2x2  + 4abx = 4ay – 4ac

⇒ 4ay = 4a2x2 + 4abx + 4ac

⇒ y = ax2 + bx + c

Vậy M(x; y) thuộc đồ thị hàm số y = ax2 + bx + c.

Chứng minh được hoàn tất.

Quảng cáo


Xem thêm lời giải bài tập Chuyên đề học tập Toán 10 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

Tủ sách VIETJACK shopee lớp 10-11 cho học sinh và giáo viên (cả 3 bộ sách):

Săn shopee siêu SALE :

ĐỀ THI, GIÁO ÁN, SÁCH LUYỆN THI DÀNH CHO GIÁO VIÊN VÀ PHỤ HUYNH LỚP 10

Bộ giáo án, bài giảng powerpoint, đề thi, sách dành cho giáo viên và gia sư dành cho phụ huynh tại https://tailieugiaovien.com.vn/ . Hỗ trợ zalo VietJack Official

Tổng đài hỗ trợ đăng ký : 084 283 45 85

Đã có app VietJack trên điện thoại, giải bài tập SGK, SBT Soạn văn, Văn mẫu, Thi online, Bài giảng....miễn phí. Tải ngay ứng dụng trên Android và iOS.

Theo dõi chúng tôi miễn phí trên mạng xã hội facebook và youtube:

Nếu thấy hay, hãy động viên và chia sẻ nhé! Các bình luận không phù hợp với nội quy bình luận trang web sẽ bị cấm bình luận vĩnh viễn.


Giải bài tập lớp 10 sách mới các môn học
Tài liệu giáo viên