Bài 4 trang 70 Chuyên đề Toán 12 Chân trời sáng tạo

Giải Chuyên đề Toán 12 Bài 2: Phân bố Bernoulli và phân bố nhị thức - Chân trời sáng tạo

Bài 4 trang 70 Chuyên đề Toán 12: Tỉ lệ phát bóng hỏng của một vận động viên bóng chuyền là 15%. Vận động viên đó thực hiện 40 quả phát bóng một cách độc lập với nhau. Gọi X là số quả phát bóng hỏng trong 40 quả đó.

a) Tính kì vọng và phương sai của X.

b) Hỏi xác suất X nhận giá trị bằng bao nhiêu là lớn nhất?

Lời giải:

Gọi T là phép thử “Vận động viên phát ngẫu nhiên một quả bóng”. Theo đề bài, phép thử T được lặp lại 40 lần một cách độc lập. Gọi A là biến cố “Quả bóng bị phát hỏng”. Ta có P(A) = 15% = 0,15.

Do phép thử T được thực hiện 40 lần một cách độc lập với nhau và xác suất xảy ra biến cố A trong mỗi lần thử đều bằng 0,15 nên X là biến cố ngẫu nhiên rời rạc có phân bố nhị thức B(40; 0,15).

a) Kì vọng của X là: E(X) = np = 40 . 0,15 = 6.

Phương sai của X là: V(X) = np(1 – p) = 40 . 0,15 . (1 – 0,15) = 5,1.

b) Ta có:

$P\left(X=k\right)=C_{40}^k\cdot 0,{15}^k\cdot {\left(1-0,15\right)}^{40-k}$ (với k = 0, 1, …, 40)

$=C_{40}^k\cdot 0,{15}^k\cdot 0,{85}^{40-k}=C_{40}^k\cdot {\left(\frac{0,15}{0,85}\right)}^k\cdot 0,{85}^{40}=C_{40}^k\cdot {\left(\frac{3}{17}\right)}^k\cdot 0,{85}^{40}.$

Khi đó: $P\left(X=k+1\right)=C_{40}^{k+1}\cdot {\left(\frac{3}{17}\right)}^{k+1}\cdot 0,{85}^{40}$ với k = 0, 1, …, 39.

⦁ Trường hợp 1. Nếu P(X = k) > P(X = k + 1) thì ta có:

⇔ 17k + 17 – 120 + 3k > 0 (do 40 – k > 0)

⇔ 20k > 103

$\iff k>\frac{103}{20}=5,15$

Mà k ∈ {0; 1; …; 40} nên k ∈ {6; 7; …; 50}.

Khi đó P(X = 6) > P(X = 7) > … > P(X = 40).

⦁ Trường hợp 2. Nếu P(X = k) < P(X = k + 1) thì tương tự trường hợp 1, ta có: k < 5,15.

Mà k ∈ {0; 1; …; 39} nên k ∈ {0; 1; ..; 5}.

Khi đó P(X = 0) < P(X = 1) < … < P(X = 5).

⦁ Xét $P\left(X=5\right)=C_{40}^5\cdot {\left(\frac{3}{17}\right)}^5\cdot 0,{85}^{40}\approx 0,169;$

        $P\left(X=6\right)=C_{40}^6\cdot {\left(\frac{3}{17}\right)}^6\cdot 0,{85}^{40}\approx 0,174.$

Do đó P(X = 5) < P(X = 6).

Suy ra P(X = 0) < P(X = 1) < … < P(X = 5) < P(X = 6) > P(X = 7) > … > P(X = 40).

Vì vậy, P(X = 6) có giá trị lớn nhất.

Vậy xác suất X nhận giá trị bằng 6 là lớn nhất.

Lời giải bài tập Chuyên đề Toán 12 Bài 2: Phân bố Bernoulli và phân bố nhị thức hay, chi tiết khác:

• Khởi động trang 64 Chuyên đề Toán 12: Một loại hạt giống có xác suất nảy mầm là 0,9. Bác Hoan gieo 100 hạt giống đó một cách độc lập với nhau...

• Khám phá 1 trang 64 Chuyên đề Toán 12: Thuyền trưởng Vinh gửi một tín hiệu vô tuyến từ thuyền đến trạm điều khiển....

• Thực hành 1 trang 65 Chuyên đề Toán 12: Trong các biến ngẫu nhiên rời rạc sau, biến ngẫu nhiên rời rạc nào có phân bố Bernoulli? ....

• Khám phá 2 trang 66 Chuyên đề Toán 12: Xét phép thử ngẫu nhiên T là “Gieo một đồng xu cân đối và đồng chất”. Hãy liệt kê tất cả các kết quả có thể xảy ....

• Thực hành 2 trang 67 Chuyên đề Toán 12: Trong Hoạt động khởi động (trang 64), hãy tính xác suất của biến cố “Trong 100 hạt giống bác Hoan gieo, có đúng 90 hạt nảy mầm”.....

• Thực hành 3 trang 67 Chuyên đề Toán 12: Tỉ lệ người lao động có bằng đại học ở một khu công nghiệp là 30%. Tiến hành phỏng vấn lần lượt 10 người lao động ....

• Khám phá 3 trang 67 Chuyên đề Toán 12: Một công ty dược nhận thấy xác suất một bệnh nhân có phản ứng phụ khi được điều trị bằng một loại thuốc M là 0,08....

• Thực hành 4 trang 70 Chuyên đề Toán 12: Tính kì vọng của X ở Hoạt động khám phá 3 (trang 67).....

• Thực hành 5 trang 70 Chuyên đề Toán 12: Cho biến ngẫu nhiên rời rạc X có phân bố nhị thức B(5; 0,2).....

• Vận dụng trang 70 Chuyên đề Toán 12: Vào đầu mùa đông, trang trại A lắp mới 10 bóng đèn để sưởi ấm cho gà. Các bóng đèn hoạt động độc lập với nhau ....

• Bài 1 trang 70 Chuyên đề Toán 12: Một hộp chứa 10 tấm thẻ cùng loại được đánh số từ 1 đến 10. Trong các biến ngẫu nhiên rời rạc dưới đây...

• Bài 2 trang 70 Chuyên đề Toán 12: Tỉ lệ người có nhóm máu O trong một cộng đồng là 40%. Chọn ngẫu nhiên một cách độc lập 8 người từ cộng đồng đó.....

• Bài 3 trang 70 Chuyên đề Toán 12: Có 60% tài xế thường xuyên nghe tin tức giao thông trên đài khi lái xe. Chọn ngẫu nhiên một cách độc lập 6 tài xế....

Xem thêm lời giải bài tập Chuyên đề học tập Toán 12 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác:

• Chuyên đề Toán 12 Bài 2: Tín dụng. Vay nợ

• Chuyên đề Toán 12 Bài 3: Đầu tư tài chính. Lập kế hoạch tài chính cá nhân

• Chuyên đề Toán 12 Bài tập cuối chuyên đề 2

• Chuyên đề Toán 12 Bài 1: Biến ngẫu nhiên rời rạc

• Bài tập cuối chuyên đề 3

Xem thêm các tài liệu học tốt lớp 12 hay khác:

• Giải Chuyên đề học tập Toán 12 Kết nối tri thức
• Giải Chuyên đề học tập Toán 12 Chân trời sáng tạo
• Giải Chuyên đề học tập Toán 12 Cánh diều

---