Bài 7 trang 37 Chuyên đề Toán 12 Cánh diều

Giảm giá 50% sách VietJack đánh giá năng lực các trường trên Shopee Mall

Giải Chuyên đề Toán 12 Bài 2: Vận dụng đạo hàm để giải quyết một số bài toán tối ưu trong thực tiễn - Cánh diều

Bài 7 trang 37 Chuyên đề Toán 12: Trong một phản ứng hoá học, lượng khí CO₂ thoát ra V(t) được tính theo thời gian t bằng công thức:

Quảng cáo

$V (t) = \frac{0, 2 k_{1}}{k_{1} - k_{2}} (e^{- k_{2} t} - e^{- k_{1} t}),$

trong đó V(t) được tính theo đơn vị mililít và t được tính theo đơn vị giây; k₁, k₂ là các hằng số sao cho k₁ > k₂ > 0 (Nguồn: John W. Cell, Engineering Problems Illustrating Mathematics, McGraw-Hill Book Company, Inc. New York and London, 1943).

Lượng khí CO₂thoát ra trong phản ứng đó có giá trị lớn nhất là bao nhiêu?

Lời giải:

Xét hàm số $V (t) = \frac{0, 2 k_{1}}{k_{1} - k_{2}} (e^{- k_{2} t} - e^{- k_{1} t}),$ với k₁ > k₂ > 0 và t ∈ (0; +∞).

Ta có $V^{'} (t) = \frac{0, 2 k_{1}}{k_{1} - k_{2}} (- k_{2} e^{- k_{2} t} + k_{1} e^{- k_{1} t}) .$

Do đó $V^{'} (t) = 0 \Leftrightarrow \frac{0, 2 k_{1}}{k_{1} - k_{2}} (- k_{2} e^{- k_{2} t} + k_{1} e^{- k_{1} t}) = 0 \Leftrightarrow k_{2} e^{- k_{2} t} = k_{1} e^{- k_{1} t}$

$\Leftrightarrow e^{(k_{2} - k_{1}) t} = \frac{k_{2}}{k_{1}} \Leftrightarrow (k_{2} - k_{1}) t = \ln (\frac{k_{2}}{k_{1}}) \Leftrightarrow t = \frac{\ln (\frac{k_{2}}{k_{1}})}{k_{2} - k_{1}} .$

Đặt $t_{0} = \frac{\ln (\frac{k_{2}}{k_{1}})}{k_{2} - k_{1}} .$

Bảng biến thiên của hàm số:

Bài 7 trang 37 Chuyên đề Toán 12 Cánh diều

Căn cứ bảng biến thiên, ta có $\max_{(0; + \infty)} V (t) = V (t_{0}) = \frac{0, 2 k_{1}}{k_{1} - k_{2}} [{(\frac{k_{2}}{k_{1}})}^{- \frac{k_{2}}{k_{2} - k_{1}}} - {(\frac{k_{2}}{k_{1}})}^{- \frac{k_{1}}{k_{2} - k_{1}}}]$ tại $t = t_{0} = \frac{\ln (\frac{k_{2}}{k_{1}})}{k_{2} - k_{1}} .$

Vậy lượng khí CO₂thoát ra trong phản ứng đó có giá trị lớn nhất là $\frac{0, 2 k_{1}}{k_{1} - k_{2}} [{(\frac{k_{2}}{k_{1}})}^{- \frac{k_{2}}{k_{2} - k_{1}}} - {(\frac{k_{2}}{k_{1}})}^{- \frac{k_{1}}{k_{2} - k_{1}}}]$ (mililít).

Quảng cáo

Lời giải bài tập Chuyên đề Toán 12 Bài 2: Vận dụng đạo hàm để giải quyết một số bài toán tối ưu trong thực tiễn hay, chi tiết khác:

Quảng cáo

Xem thêm lời giải bài tập Chuyên đề học tập Toán 12 Cánh diều hay, chi tiết khác:

Xem thêm các tài liệu học tốt lớp 12 hay khác:

Tài liệu cho giáo viên: Giáo án, powerpoint, đề thi giữa kì cuối kì, đánh giá năng lực, thi thử THPT, HSG, chuyên đề, bài tập cuối tuần..... độc quyền VietJack, giá hợp lí

Sách VietJack thi THPT quốc gia 2025 cho học sinh 2k7:

ĐỀ THI, GIÁO ÁN, GÓI THI ONLINE DÀNH CHO GIÁO VIÊN VÀ PHỤ HUYNH LỚP 12

Bộ giáo án, đề thi, bài giảng powerpoint, khóa học dành cho các thầy cô và học sinh lớp 12, đẩy đủ các bộ sách cánh diều, kết nối tri thức, chân trời sáng tạo tại https://tailieugiaovien.com.vn/ . Hỗ trợ zalo VietJack Official