Bài 9 trang 37 Chuyên đề Toán 12 Cánh diều

Giải Chuyên đề Toán 12 Bài 2: Vận dụng đạo hàm để giải quyết một số bài toán tối ưu trong thực tiễn - Cánh diều

Bài 9 trang 37 Chuyên đề Toán 12: Một lò xo được làm từ một sợi dây kim loại. Gọi d là đường kính (trung bình) của sợi dây kim loại và D là đường kính (trung bình) của lò xo (Hình 7). Khi lò xo để thẳng đứng trên mặt đất thì nó bị nén lại bởi trọng lượng P của lò xo, vật chất trong dây kim loại chịu ứng suất lớn nhất S tại các điểm trên bề mặt sợi dây mà khoảng cách từ những điểm đó đến đường tâm của lò xo là nhỏ nhất.

Biết rằng S được cho bởi công thức:

$S=\frac{8PD}{\pi d^3}\left[\frac{\frac{4D}{d}-1}{4\left(\frac{D}{d}-1\right)}+\frac{0,615d}{D}\right].$

(Nguồn: John W. Cell, Engineering Problems Illustrating Mathematics,

McGraw-Hill Book Company, Inc. New York and London, 1943).

a) Giả sử sợi dây kim loại là cố định. Hỏi ta phải cuộn sợi dây kim loại đó thành lò xo với đường kính D bằng bao nhiêu để ứng xuất S là nhỏ nhất?

b) Giả sử lò xo có đường kính D cố định. Hỏi ta phải chọn loại dây kim loại với đường kính d bằng bao nhiêu để ứng xuất S là nhỏ nhất?

Lời giải:

a) Khi sợi dây kim loại cố định thì d và P là các hằng số.

Đặt a = $\frac{D}{d}$, ta có hàm số:

$S\left(a\right)=\frac{8Pa}{\pi d^2}\left[\frac{4a-1}{4\left(a-1\right)}+\frac{0,615}{a}\right]=\frac{8P}{\pi d^2}\left[\frac{4a^2-a}{4\left(a-1\right)}+0,615\right],$ với a > 0.

Ta có:

Do đó S’(a) = 0 ⇔ 4a² – 8a + 1 = 0

                          $\iff a=\frac{2-\sqrt{3}}{2}$ hoặc $a=\frac{2+\sqrt{3}}{2}.$

Bảng biến thiên của hàm số:

Căn cứ bảng biến thiên, ta có $\underset{\left(0;+\infty \right)}{\min }S\left(a\right)=S\left(\frac{2+\sqrt{3}}{2}\right)$ tại $a=\frac{2+\sqrt{3}}{2}$ hay $\frac{D}{d}=\frac{2+\sqrt{3}}{2}$ suy ra $D=\frac{\left(2+\sqrt{3}\right)d}{2}.$

Vậy ta phải cuộn sợi dây kim loại đó thành lò xo với đường kính $D=\frac{\left(2+\sqrt{3}\right)d}{2}$ để ứng xuất S là nhỏ nhất.

b) Với d > 0 ta có:

$S\left(d\right)=\frac{8PD}{\pi d^3}\left[\frac{\frac{4D}{d}-1}{4\left(\frac{D}{d}-1\right)}+\frac{0,615d}{D}\right]=\frac{8P}{\pi D^2}\cdot {\left(\frac{D}{d}\right)}^3\cdot \left[\frac{4\cdot \frac{D}{d}-1}{4\left(\frac{D}{d}-1\right)}+0,615\cdot \frac{d}{D}\right].$

Đặt $a=\frac{D}{d},$ ta có hàm số:

Do đó S’(a) = 0 ⇔ 12a⁴ – 13,08a³ – 6,84a² + 4,92a = 0

                          ⇔ a ≈ 1,285 hoặc a ≈ 0,476 (do a > 0).

Bảng biến thiên của hàm số:

Căn cứ bảng biến thiên, ta có $\underset{\left(0;+\infty \right)}{\min }S\left(a\right)=S\left(1,285\right)$ tại a ≈ 1,285 hay $\frac{D}{d}\approx 1,285$ suy ra $d\approx \frac{D}{1,285}.$

Vậy ta phải chọn loại dây kim loại với đường kính $d\approx \frac{D}{1,285}$ để ứng xuất S là nhỏ nhất.

Lời giải bài tập Chuyên đề Toán 12 Bài 2: Vận dụng đạo hàm để giải quyết một số bài toán tối ưu trong thực tiễn hay, chi tiết khác:

• Khởi động trang 29 Chuyên đề Toán 12: Độ giảm huyết áp của một bệnh nhân được cho bởi công thức G(x) = 0,025x²(30 – x), trong đó x là liều lượng thuốc được tiêm cho bệnh nhân...

• Luyện tập - vận dụng 1 trang 31 Chuyên đề Toán 12: Một nhà máy cần sản xuất một bể nước không nắp bằng tôn có dạng hình hộp chữ nhật với đáy có chiều dài gấp hai lần chiều rộng và thể tích là ....

• Luyện tập - vận dụng 2 trang 34 Chuyên đề Toán 12: Một công ty có 50 căn phòng cho thuê. Biết rằng nếu công ty cho thuê mỗi căn phòng với giá 2 triệu đồng/1 tháng thì mọi căn phòng đều có người thuê....

• Bài 1 trang 35 Chuyên đề Toán 12: Bạn Hà có một tấm bìa hình vuông cạnh 60 cm (Hình 2). Bạn muốn làm một cái hộp đựng đồ có dạng hình hộp chữ nhật mà có thể để được ....

• Bài 2 trang 35 Chuyên đề Toán 12: Hình 4 minh hoạ một màn hình BC có chiều cao 1,4 m được đặt thẳng đứng và mép dưới của màn hình cách mặt đất một khoảng BA = 1,8 m. ....

• Bài 3 trang 36 Chuyên đề Toán 12: Khi nuôi cá thí nghiệm trong hồ, một nhà sinh vật học thấy rằng: Nếu trên mỗi đơn vị diện tích của mặt hồ có n con cá thì trung bình mỗi con cá sau một vụ cân nặng:....

• Bài 4 trang 36 Chuyên đề Toán 12: Một con cá hồi bơi ngược dòng để vượt một khoảng cách là 300 km. Vận tốc dòng nước là 6 km/h ....

• Bài 5 trang 36 Chuyên đề Toán 12: Một nhà máy sản xuất xe đạp cho thị trường châu Âu theo đơn giá 120 euro (€). Chi phí mỗi ngày của nhà máy được cho bởi hàm số...

• Bài 6 trang 36 Chuyên đề Toán 12: Một nhà máy sản xuất một loại sản phẩm cho thị trường Mỹ. Biết rằng: Chi phí cho các công việc hành chính chung của nhà máy là 90 đô la Mỹ ....

• Bài 7 trang 37 Chuyên đề Toán 12: Trong một phản ứng hoá học, lượng khí CO₂ thoát ra V(t) được tính theo thời gian t bằng công thức:....

• Bài 8 trang 37 Chuyên đề Toán 12: Một doanh nghiệp dự định sản xuất các hộp đựng nước giải khát có dạng hình trụ với dung tích là 500 cm³ (Hình 5).....

Xem thêm lời giải bài tập Chuyên đề học tập Toán 12 Cánh diều hay, chi tiết khác:

• Chuyên đề Toán 12 Bài 2: Phân bố Bernoulli. Phân bố nhị thức

• Chuyên đề Toán 12 Bài 1: Vận dụng hệ bất phương trình bậc nhất để giải quyết một số bài toán quy hoạch tuyến tính

• Chuyên đề Toán 12 Bài 1: Một số vấn đề về tiền tệ, lãi suất

• Chuyên đề Toán 12 Bài 2: Tín dụng. Vay nợ

• Chuyên đề Toán 12 Bài 3: Đầu tư tài chính. Lập kế hoạch tài chính cá nhân

Xem thêm các tài liệu học tốt lớp 12 hay khác:

• Giải Chuyên đề học tập Toán 12 Kết nối tri thức
• Giải Chuyên đề học tập Toán 12 Chân trời sáng tạo
• Giải Chuyên đề học tập Toán 12 Cánh diều
• Giải lớp 12 Kết nối tri thức (các môn học)
• Giải lớp 12 Chân trời sáng tạo (các môn học)
• Giải lớp 12 Cánh diều (các môn học)

---