Bài 9 trang 37 Chuyên đề Toán 12 Cánh diều

Giải Chuyên đề Toán 12 Bài 2: Vận dụng đạo hàm để giải quyết một số bài toán tối ưu trong thực tiễn - Cánh diều

Bài 9 trang 37 Chuyên đề Toán 12: Một lò xo được làm từ một sợi dây kim loại. Gọi d là đường kính (trung bình) của sợi dây kim loại và D là đường kính (trung bình) của lò xo (Hình 7). Khi lò xo để thẳng đứng trên mặt đất thì nó bị nén lại bởi trọng lượng P của lò xo, vật chất trong dây kim loại chịu ứng suất lớn nhất S tại các điểm trên bề mặt sợi dây mà khoảng cách từ những điểm đó đến đường tâm của lò xo là nhỏ nhất.

Quảng cáo

Biết rằng S được cho bởi công thức:

$S = \frac{8 P D}{π d^{3}} [\frac{\frac{4 D}{d} - 1}{4 (\frac{D}{d} - 1)} + \frac{0, 615 d}{D}] .$

(Nguồn: John W. Cell, Engineering Problems Illustrating Mathematics,

McGraw-Hill Book Company, Inc. New York and London, 1943).

a) Giả sử sợi dây kim loại là cố định. Hỏi ta phải cuộn sợi dây kim loại đó thành lò xo với đường kính D bằng bao nhiêu để ứng xuất S là nhỏ nhất?

b) Giả sử lò xo có đường kính D cố định. Hỏi ta phải chọn loại dây kim loại với đường kính d bằng bao nhiêu để ứng xuất S là nhỏ nhất?

Lời giải:

a) Khi sợi dây kim loại cố định thì d và P là các hằng số.

Đặt a = $\frac{D}{d}$ , ta có hàm số:

$S (a) = \frac{8 P a}{π d^{2}} [\frac{4 a - 1}{4 (a - 1)} + \frac{0, 615}{a}] = \frac{8 P}{π d^{2}} [\frac{4 a^{2} - a}{4 (a - 1)} + 0, 615],$ với a > 0.

Ta có:

Bài 9 trang 37 Chuyên đề Toán 12 Cánh diều

Do đó S’(a) = 0 ⇔ 4a² – 8a + 1 = 0

$\Leftrightarrow a = \frac{2 - \sqrt{3}}{2}$ hoặc $a = \frac{2 + \sqrt{3}}{2} .$

Bảng biến thiên của hàm số:

Bài 9 trang 37 Chuyên đề Toán 12 Cánh diều

Căn cứ bảng biến thiên, ta có $\min_{(0; + \infty)} S (a) = S (\frac{2 + \sqrt{3}}{2})$ tại $a = \frac{2 + \sqrt{3}}{2}$ hay $\frac{D}{d} = \frac{2 + \sqrt{3}}{2}$ suy ra $D = \frac{(2 + \sqrt{3}) d}{2} .$

Vậy ta phải cuộn sợi dây kim loại đó thành lò xo với đường kính $D = \frac{(2 + \sqrt{3}) d}{2}$ để ứng xuất S là nhỏ nhất.

b) Với d > 0 ta có:

$S (d) = \frac{8 P D}{π d^{3}} [\frac{\frac{4 D}{d} - 1}{4 (\frac{D}{d} - 1)} + \frac{0, 615 d}{D}] = \frac{8 P}{π D^{2}} \cdot {(\frac{D}{d})}^{3} \cdot [\frac{4 \cdot \frac{D}{d} - 1}{4 (\frac{D}{d} - 1)} + 0, 615 \cdot \frac{d}{D}] .$

Đặt $a = \frac{D}{d},$ ta có hàm số:

Bài 9 trang 37 Chuyên đề Toán 12 Cánh diều

Do đó S’(a) = 0 ⇔ 12a⁴ – 13,08a³ – 6,84a² + 4,92a = 0

⇔ a ≈ 1,285 hoặc a ≈ 0,476 (do a > 0).

Bảng biến thiên của hàm số:

Bài 9 trang 37 Chuyên đề Toán 12 Cánh diều

Căn cứ bảng biến thiên, ta có $\min_{(0; + \infty)} S (a) = S (1, 285)$ tại a ≈ 1,285 hay $\frac{D}{d} \approx 1, 285$ suy ra $d \approx \frac{D}{1, 285} .$