Cho hình vuông ABCD, M là trung điểm của BC, N là điểm nằm giữa hai điểm A và C

Giải sách bài tập Toán 10 Bài 6: Tích vô hướng của hai vectơ

Bài 64 trang 106 SBT Toán 10 Tập 1: Cho hình vuông ABCD, M là trung điểm của BC, N là điểm nằm giữa hai điểm A và C. Đặt x = $\frac{AN}{AC}$ . Tìm x thỏa mãn AM ⊥ BN.

Lời giải:

 

Gọi a là độ dài cạnh của hình vuông ABCD

Vì M là trung điểm của BC nên ta có:

$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{AM}$

⇔ $\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{BM}-\overrightarrow{BA}=\frac{1}{2}\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{BA}$

Ta lại có: $\overrightarrow{BN}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AN}=-\overrightarrow{AB}+x\overrightarrow{AC}=-\overrightarrow{AB}+x\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}\right)$

Ta lại có: $=(1-x)\overrightarrow{BA}+x\overrightarrow{BC}$

⇒ $\overrightarrow{AM}.\overrightarrow{BN}=\left(\frac{1}{2}\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{BA}\right)\left((1-x)\overrightarrow{BA}+x\overrightarrow{BC}\right)$

⇔ $\overrightarrow{AM}.\overrightarrow{BN}=\frac{1}{2}(1-x)\overrightarrow{BC}.\overrightarrow{BA}+\frac{1}{2}x{\overrightarrow{BC}}^2-\left(1-x\right){\overrightarrow{BA}}^2-x\overrightarrow{BA}.\overrightarrow{BC}$

⇔ $\overrightarrow{AM}.\overrightarrow{BN}=\frac{1}{2}x.a^2-\left(1-x\right)a^2$

⇔ $\overrightarrow{AM}.\overrightarrow{BN}=\left(\frac{3}{2}x-1\right)a^2$

Để AM vuông góc với BN thì

⇔ $\left(\frac{3}{2}x-1\right)a^2=0$

⇔ $\frac{3}{2}x-1=0$

⇔ $x=\frac{2}{3}$

Vậy với $x=\frac{2}{3}$ thì AM ⊥ BN.

Xem thêm các bài giải sách bài tập Toán lớp 10 Cánh diều hay, chi tiết khác:

• Bài 57 trang 105 SBT Toán 10 Tập 1: Cho tam giác ABC. Giá trị của ( vectơ BA).( vectơ CA ) bằng ....

• Bài 58 trang 105 SBT Toán 10 Tập 1: Cho tam giác ABC. Giá trị của ( vectơ AB). ( vectơ AC ) bằng ....

• Bài 59 trang 105 SBT Toán 10 Tập 1: Cho đoạn thẳng AB. Tập hợp các điểm M nằm trong mặt phẳng thỏa mãn (vectơ MA) . (vectơ MB) = 0 là: ....

• Bài 60 trang 105 SBT Toán 10 Tập 1: Nếu hai điểm M và N thỏa mãn (vectơ MN).(vectơ NM) thì: A. MN = 9. B. MN = 3. C. MN = 81. C. MN = 81 ....

• Bài 61 trang 105 SBT Toán 10 Tập 1: Cho tam giác ABC đều cạnh a. Các điểm M, N lần lượt thuộc các tia BC và CA thỏa mãn BM = 1/3 BC, CN = 5/4 CA ....

• Bài 62 trang 106 SBT Toán 10 Tập 1: Cho hình thoi ABCD cạnh a và ∠A = 120° . Tính ( vectơ AC ).( vectơ BC ) ....

• Bài 63 trang 106 SBT Toán 10 Tập 1: Cho bốn điểm A, B, C, D. Chứng minh ( vectơ AB).( vectơ CD ) + ( vectơ AC).( vectơ DB ) + ( vectơ AD).( vectơ BC ) = vectơ 0 ....

• Bài 65 trang 106 SBT Toán 10 Tập 1: Cho tam giác ABC và G là trọng tâm tam giác. Với mỗi điểm M, chứng minh MA^2 + MB^2 + MC^2 = 3MG^2 + GA^2 + GB^2 + GC^2 ....

• Bài 66 trang 106 SBT Toán 10 Tập 1: Một máy bay đang bay từ hướng đông sang hướng tây với tốc độ 650km/h thì gặp luồng gió thổi ....

Xem thêm các tài liệu học tốt lớp 10 hay khác:

• Giải sgk Toán 10 Cánh diều
• Giải Chuyên đề học tập Toán 10 Cánh diều
• Giải SBT Toán 10 Cánh diều
• Giải lớp 10 Cánh diều (các môn học)
• Giải lớp 10 Kết nối tri thức (các môn học)
• Giải lớp 10 Chân trời sáng tạo (các môn học)

---