Cho nửa đường tròn tâm O có đường kính AB = 2R

Giải sách bài tập Toán 10 Bài 4: Tích vô hướng của hai vectơ

Bài 3 trang 101 SBT Toán 10 Tập 1: Cho nửa đường tròn tâm O có đường kính AB = 2R. Gọi M và N là hai điểm thuộc nửa đường tròn sao cho AM và BN cắt nhau tại I như Hình 5.

a) Chứng minh $\overrightarrow{\text{AI}}.\overrightarrow{\text{AM}}=\overrightarrow{\text{AI}}.\overrightarrow{\text{AB}}$; $\overrightarrow{\text{BI}}.\overrightarrow{\text{BN}}=\overrightarrow{\text{BI}}.\overrightarrow{\text{BA}}$.

b) Tính $\overrightarrow{\text{AI}}.\overrightarrow{\text{AM}}+\overrightarrow{\text{BI}}.\overrightarrow{\text{BN}}$ theo R.

Lời giải:

a) AB là đường kính nên $\widehat{\text{AMB}}$ = $\widehat{\text{ANB}}$ = 90° ( góc nội tiếp chắn nửa đường tròn ).

AM ⊥ MB và AN ⊥ NB.

Ta có: $\overrightarrow{\text{AI}}$. $\overrightarrow{\text{AM}}$ = $\overrightarrow{\text{AI}}$ . ($\overrightarrow{\text{AB}}$ + $\overrightarrow{\text{BM}}$) = $\overrightarrow{\text{AI}}$. $\overrightarrow{\text{AB}}$ + $\overrightarrow{\text{AI}}$. $\overrightarrow{\text{BM}}$

Mà AI ⊥ BM do AM ⊥ MB nên $\overrightarrow{\text{AI}}$. $\overrightarrow{\text{BM}}$ = 0.

Như vậy $\overrightarrow{\text{AI}}$. $\overrightarrow{\text{AM}}$ = $\overrightarrow{\text{AI}}$. $\overrightarrow{\text{AB}}$ + 0 = $\overrightarrow{\text{AI}}$. $\overrightarrow{\text{AB}}$.

Tương tự ta có: $\overrightarrow{\text{BI}}$. $\overrightarrow{\text{BN}}$ = $\overrightarrow{\text{BI}}$. ( $\overrightarrow{\text{BA}}$ + $\overrightarrow{\text{AN}}$ ) = $\overrightarrow{\text{BI}}$. $\overrightarrow{\text{BA}}$ + $\overrightarrow{\text{BI}}$. $\overrightarrow{\text{AN}}$

Mà BI ⊥ AN do AN ⊥ NB nên $\overrightarrow{\text{BI}}$. $\overrightarrow{\text{AN}}$ = 0.

Như vậy $\overrightarrow{\text{BI}}$. $\overrightarrow{\text{BN}}$ = $\overrightarrow{\text{BI}}$. $\overrightarrow{\text{BA}}$ + 0 = $\overrightarrow{\text{BI}}$. $\overrightarrow{\text{BA}}$.

b) Ta có:

$\overrightarrow{\text{AI}}.\overrightarrow{\text{AM}}+\overrightarrow{\text{BI}}.\overrightarrow{\text{BN}}$ = $\overrightarrow{\text{AI}}$. $\overrightarrow{\text{AB}}$ + $\overrightarrow{\text{BI}}$. $\overrightarrow{\text{BA}}$ = $\overrightarrow{\text{AI}}$. $\overrightarrow{\text{AB}}$ – $\overrightarrow{\text{BI}}$. $\overrightarrow{\text{AB}}$ = $\overrightarrow{\text{AB}}$. ( $\overrightarrow{\text{AI}}$– $\overrightarrow{\text{BI}}$)

= $\overrightarrow{\text{AB}}$. ( $\overrightarrow{\text{AI}}$ + $\overrightarrow{\text{IB}}$) = $\overrightarrow{\text{AB}}$.$\overrightarrow{\text{AB}}$ = $\overrightarrow{\text{AB}}$² = 4R².

Xem thêm các bài giải sách bài tập Toán lớp 10 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác:

• Bài 1 trang 100 SBT Toán 10 Tập 1: Cho tam giác vuông cân ABC có AB = AC = a. Tính các tích vô hướng $\overrightarrow{\mathrm{AB}}.\overrightarrow{\text{AC}}$, $\overrightarrow{\text{AC}}.\overrightarrow{\text{CB}}$. ....

• Bài 2 trang 100 SBT Toán 10 Tập 1: Cho hình chữ nhật ABCD có tâm O và AD = 2a, AB = a. Tính: a) $\overrightarrow{\text{AB}}.\overrightarrow{\text{AO}}$; ....

• Bài 4 trang 101 SBT Toán 10 Tập 1: Tính công sinh bởi một lực $\overrightarrow{\text{F}}$ có độ lớn 60N kéo một vật dịch chuyển một vectơ $\overrightarrow{\text{d}}$ có độ dài 200 m. ....

• Bài 5 trang 101 SBT Toán 10 Tập 1: Cho hai vectơ có độ dài lần lượt là 6 và 8 có tích vô hướng là 24. Tính góc giữa hai vectơ đó. ....

Xem thêm các tài liệu học tốt lớp 10 hay khác:

• Giải sgk Toán 10 Chân trời sáng tạo
• Giải Chuyên đề học tập Toán 10 Chân trời sáng tạo
• Giải SBT Toán 10 Chân trời sáng tạo
• Giải lớp 10 Chân trời sáng tạo (các môn học)
• Giải lớp 10 Kết nối tri thức (các môn học)
• Giải lớp 10 Cánh diều (các môn học)

---