Giải SBT Toán 10 trang 103 Tập 1 Chân trời sáng tạo

Với Giải sách bài tập Toán 10 trang 103 Tập 1 trong Bài tập cuối chương 5 SBT Toán 10 Chân trời sáng tạo hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh dễ dàng làm bài tập trong SBT Toán 10 trang 103.

Giải SBT Toán 10 trang 103 Tập 1 Chân trời sáng tạo

Bài 4 trang 103 SBT Toán 10 Tập 1: Chứng minh rằng với hai vectơ không cùng phương $\overrightarrow{\text{a}}$ và $\overrightarrow{\text{b}}$, ta có: $\overrightarrow{\left(\text{a}\right)}-\overrightarrow{\left(\text{b}\right)}<\left(\overrightarrow{\text{a}}+\overrightarrow{\text{b}}\right)<\overrightarrow{\left(\text{a}\right)}+\overrightarrow{\left(\text{b}\right)}$.

Lời giải:

Vẽ ba điểm O, A, B sao cho $\overrightarrow{\text{OA}}$ = $\overrightarrow{\text{a}}$, $\overrightarrow{\text{AB}}$ = $\overrightarrow{\text{b}}$. Ta có $\overrightarrow{\text{OB}}$ = $\overrightarrow{\text{a}}$ + $\overrightarrow{\text{b}}$.

Trong tam giác OAB ta có bất đẳng thức:

$\left(\text{OA}-\text{AB}\right)$ ≤ OB ≤ OA + AB

Suy ra $\overrightarrow{\left(\text{a}\right)}-\overrightarrow{\left(\text{b}\right)}<\left(\overrightarrow{\text{a}}+\overrightarrow{\text{b}}\right)<\overrightarrow{\left(\text{a}\right)}+\overrightarrow{\left(\text{b}\right)}$.

Bài 5 trang 103 SBT Toán 10 Tập 1: Cho hình ngũ giác đều ABCDE tâm O. Chứng minh rằng: $\overrightarrow{\text{OA}}+\overrightarrow{\text{OB}}+\overrightarrow{\text{OC}}+\overrightarrow{\text{OD}}+\overrightarrow{\text{OE}}=\overrightarrow{0}$.

Lời giải:

Đặt $\overrightarrow{\text{u}}$ = $\overrightarrow{\text{OA}}+\overrightarrow{\text{OB}}+\overrightarrow{\text{OC}}+\overrightarrow{\text{OD}}+\overrightarrow{\text{OE}}$

Ta có: $\overrightarrow{\text{u}}$ = $\overrightarrow{\text{OA}}+\left(\overrightarrow{\text{OB}}+\overrightarrow{\text{OE}}\right)+\left(\overrightarrow{\text{OC}}+\overrightarrow{\text{OD}}\right)$

Do OA nằm trên đường phân giác của $\widehat{\text{BOE}}$ và $\widehat{\text{DOC}}$ của hai tam giác cân BOE và DOC nên ta có các vectơ $\left(\overrightarrow{\text{OB}}+\overrightarrow{\text{OE}}\right)$ và $\left(\overrightarrow{\text{OC}}+\overrightarrow{\text{OD}}\right)$ nằm trên đường thẳng OA, suy ra $\overrightarrow{\text{u}}$ nằm trên đường thẳng OA.

Chứng minh tương tự ta có $\overrightarrow{\text{u}}$ cũng đồng thời nằm trên đường thẳng OB. Như vậy $\overrightarrow{\text{u}}$ = $\overrightarrow{0}$

Vậy $\overrightarrow{\text{OA}}+\overrightarrow{\text{OB}}+\overrightarrow{\text{OC}}+\overrightarrow{\text{OD}}+\overrightarrow{\text{OE}}$ = $\overrightarrow{0}$.

Bài 6 trang 103 SBT Toán 10 Tập 1: Cho tam giác ABC, gọi A’ là điểm đối xứng với B qua A, gọi B’ là điểm đối xứng với C qua B, gọi C’ là điểm đối xứng với A qua C. Chứng minh rằng với một điểm O tùy ý, ta có:

$\overrightarrow{\text{OA}}+\overrightarrow{\text{OB}}+\overrightarrow{\text{OC}}=\overrightarrow{\text{OA'}}+\overrightarrow{\text{OB'}}+\overrightarrow{\text{OC'}}$.

Lời giải:

A’ là điểm đối xứng với B qua A nên $\overrightarrow{\text{AB}}$ = $\overrightarrow{\text{AA'}}$.

B’ là điểm đối xứng với C qua B nên $\overrightarrow{\text{BC}}$ = $\overrightarrow{\text{BB'}}$.

C’ là điểm đối xứng với A qua C nên $\overrightarrow{\text{CA}}$ = $\overrightarrow{\text{CC'}}$.

Ta có: $\overrightarrow{\text{OA}}$ + $\overrightarrow{\text{OB}}$ + $\overrightarrow{\text{OC}}$ = $\overrightarrow{\text{OA'}}$ + $\overrightarrow{\text{AA'}}$ + $\overrightarrow{\text{OB'}}$ + $\overrightarrow{\text{BB'}}$ + $\overrightarrow{\text{OC'}}$ + $\overrightarrow{\text{CC'}}$

= $\overrightarrow{\text{OA'}}$ + $\overrightarrow{\text{OB'}}$ + $\overrightarrow{\text{OC'}}$ + $\overrightarrow{\text{AB}}$ + $\overrightarrow{\text{BC}}$ + $\overrightarrow{\text{CA}}$

= $\overrightarrow{\text{OA'}}$ + $\overrightarrow{\text{OB'}}$ + $\overrightarrow{\text{OC'}}$ + $\overrightarrow{\text{AC}}$ + $\overrightarrow{\text{CA}}$

= $\overrightarrow{\text{OA'}}$ + $\overrightarrow{\text{OB'}}$ + $\overrightarrow{\text{OC'}}$.

Vậy $\overrightarrow{\text{OA}}+\overrightarrow{\text{OB}}+\overrightarrow{\text{OC}}=\overrightarrow{\text{OA'}}+\overrightarrow{\text{OB'}}+\overrightarrow{\text{OC'}}$.

Bài 7 trang 103 SBT Toán 10 Tập 1: Tam giác ABC là tam giác gì nếu nó thỏa mãn một trong các điều kiện sau đây?

a) $\left(\overrightarrow{\text{AB}}+\overrightarrow{\text{AC}}\right)=\left(\overrightarrow{\text{AB}}-\overrightarrow{\text{AC}}\right)$;

b) Vectơ $\overrightarrow{\text{AB}}+\overrightarrow{\text{AC}}\text{}$ vuông góc với vectơ $\overrightarrow{\text{AB}}+\overrightarrow{\text{CA}}$.

Lời giải:

a) Gọi M là trung điểm BC ta có:

$\overrightarrow{\text{AB}}$ + $\overrightarrow{\text{AC}}$ = 2$\overrightarrow{\text{AM}}$ ⇒ $\left(\overrightarrow{\text{AB}}+\overrightarrow{\text{AC}}\text{}\right)$ = 2AM

$\left(\overrightarrow{\text{AB}}-\overrightarrow{\text{AC}}\right)$ = $\left(\overrightarrow{\text{CB}}\right)$ = BC

$\left(\overrightarrow{\text{AB}}+\overrightarrow{\text{AC}}\right)=\left(\overrightarrow{\text{AB}}-\overrightarrow{\text{AC}}\right)$ ⇔2AM = BC.

Khi đó tam giác ABC vuông tại A.

b) Vectơ $\overrightarrow{\text{AB}}+\overrightarrow{\text{AC}}\text{}$ vuông góc với vectơ $\overrightarrow{\text{AB}}+\overrightarrow{\text{CA}}$ ⇔ $\left(\overrightarrow{\text{AB}}+\overrightarrow{\text{AC}}\text{}\right)$.$\left(\overrightarrow{\text{AB}}+\overrightarrow{\text{CA}}\right)$ = $\overrightarrow{0}$

hay $\left(\overrightarrow{\text{AB}}+\overrightarrow{\text{AC}}\text{}\right)$.$\left(\overrightarrow{\text{AB}}-\overrightarrow{\text{AC}}\right)$ = $\overrightarrow{0}$.

Suy ra AB² – AC² = 0 hay AB = AC. Khi đó tam giác ABC cân tại A.

Vậy Vectơ $\overrightarrow{\text{AB}}+\overrightarrow{\text{AC}}\text{}$ vuông góc với vectơ $\overrightarrow{\text{AB}}+\overrightarrow{\text{CA}}$ khi tam giác ABC cân tại A.

Bài 8 trang 103 SBT Toán 10 Tập 1: Tứ giác ABCD là tứ giác gì nếu nó thỏa mãn một trong các điều kiện sau đây?

a) $\overrightarrow{\text{AC}}-\overrightarrow{\text{BC}}=\overrightarrow{\text{DC}}$;

b) $\overrightarrow{\text{DB}}=\text{k}\overrightarrow{\text{DC}}+\overrightarrow{\text{DA}}$.

Lời giải:

a) $\overrightarrow{\text{AC}}-\overrightarrow{\text{BC}}=\overrightarrow{\text{DC}}$ ⇒ $\overrightarrow{\text{AB}}$ = $\overrightarrow{\text{DC}}$ ⇒ ABCD là hình bình hành.

b) $\overrightarrow{\text{DB}}=\text{k}\overrightarrow{\text{DC}}+\overrightarrow{\text{DA}}$ ⇒ $\overrightarrow{\text{DB}}$ – $\overrightarrow{\text{DA}}$ = k$\overrightarrow{\text{DC}}$ ⇒ $\overrightarrow{\text{AB}}$ = k$\overrightarrow{\text{DC}}$ ⇒ AB // CD.

Như vậy ta có ABCD là hình thang.

Bài 9 trang 103 SBT Toán 10 Tập 1: Cho tam giác ABC, trên cạnh AB lấy hai điểm M, N sao cho AM = MN = NB. Chứng minh rằng hai tam giác ABC và MNC có cùng trọng tâm.

Lời giải:

Ta có: MA = NB và hai vectơ $\text{}\overrightarrow{\text{MA}}$, $\overrightarrow{\text{NB}}$ cùng phương, ngược chiều ⇒ $\text{}\overrightarrow{\text{MA}}$ + $\overrightarrow{\text{NB}}$ = $\overrightarrow{0}$

Gọi G là trọng tâm tam giác ABC.

Ta có $\overrightarrow{\text{GA}}$ + $\overrightarrow{\text{GB}}$ + $\overrightarrow{\text{GC}}$ = $\overrightarrow{\text{GM}}$ + $\overrightarrow{\text{MA}}$ + $\overrightarrow{\text{GN}}$ + $\overrightarrow{\text{NB}}$ + $\overrightarrow{\text{GC}}$ = $\overrightarrow{\text{GM}}$ + $\overrightarrow{\text{GN}}$ + $\overrightarrow{\text{GC}}$ = $\overrightarrow{0}$.

Vậy G cũng là trọng tâm tam giác MNC.

Vậy hai tam giác ABC và MNC có cùng trọng tâm.

Bài 10 trang 103 SBT Toán 10 Tập 1: Cho ba điểm O, M, N và số thực k. Lấy các điểm M’ và N’ sao cho $\overrightarrow{\text{OM'}}=\text{k}\overrightarrow{\text{OM}}$, $\overrightarrow{\text{ON'}}=\text{k}\overrightarrow{\text{ON}}$. Chứng minh rằng: $\overrightarrow{\text{M'N'}}=\text{k}\overrightarrow{\text{MN}}$.

Lời giải:

Ta có:

$\overrightarrow{\text{M'N'}}$ = $\overrightarrow{\text{ON'}}$ – $\overrightarrow{\text{OM'}}$ = k$\overrightarrow{\text{ON}}$ – k$\overrightarrow{\text{OM}}$ = k ( $\overrightarrow{\text{ON}}$ – $\overrightarrow{\text{OM}}$ ) = k$\overrightarrow{\text{MN}}$.

Vậy $\overrightarrow{\text{M'N'}}=\text{k}\overrightarrow{\text{MN}}$.

Bài 11 trang 103 SBT Toán 10 Tập 1: Cho tam giác ABC, O là điểm sao cho ba vectơ $\overrightarrow{\text{OA}}$, $\overrightarrow{\text{OB}}$, $\overrightarrow{\text{OC}}\text{}$ có độ dài bằng nhau và $\overrightarrow{\text{OA}}$ + $\overrightarrow{\text{OB}}$ + $\overrightarrow{\text{OC}}\text{}$ = $\overrightarrow{0}$. Tính các góc $\widehat{\text{AOB}}$, $\widehat{\text{BOC}}$, $\widehat{\text{COA}}$.

Lời giải:

Ta có OA = OB = OC nên O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Lại có $\overrightarrow{\text{OA}}$ + $\overrightarrow{\text{OB}}$ + $\overrightarrow{\text{OC}}\text{}$ = $\overrightarrow{0}$ nên O cũng là trọng tâm tam giác ABC.

Suy ra ABC là tam giác đều ( vì tâm đường tròn ngoại tiếp và trọng tâm trùng nhau).

⇒ AB = BC = CA.

Như vậy $\widehat{\text{AOB}}$ = $\widehat{\text{BOC}}$ = $\widehat{\text{COA}}$ = $\frac{360°}{3}$ = 120° ( vì đều là góc ở tâm chắn các cung bằng nhau ).

Bài 12 trang 103 SBT Toán 10 Tập 1: Cho ngũ giác ABCDE. Gọi M, N, P, Q, R lần lượt là trung điểm các cạnh AB, BC, CD, DE, EA. Chứng minh hai tam giác EMP và NQR có cùng trọng tâm.

Lời giải:

Gọi G là trọng tâm tam giác NRQ, ta có: $\overrightarrow{\text{GN}}$ + $\overrightarrow{\text{GR}}$ + $\overrightarrow{\text{GQ}}$ = $\overrightarrow{\text{0}}$

N là trung điểm của AB nên $\overrightarrow{\text{GB}}$ + $\overrightarrow{\text{GC}}$ = 2$\overrightarrow{\text{GN}}$ ⇒ $\overrightarrow{\text{GN}}$ = $\frac{1}{2}$( $\overrightarrow{\text{GB}}$ + $\overrightarrow{\text{GC}}$ ).

Tương tự ta có: $\overrightarrow{\text{GR}}$ = $\frac{1}{2}$ ($\overrightarrow{\text{GE}}$ + $\overrightarrow{\text{GA}}$) và $\overrightarrow{\text{GQ}}$ = $\frac{1}{2}$ ($\overrightarrow{\text{GD}}$ + $\overrightarrow{\text{GE}}$).

$\overrightarrow{\text{GN}}$ + $\overrightarrow{\text{GR}}$ + $\overrightarrow{\text{GQ}}$ = $\frac{1}{2}$( $\overrightarrow{\text{GB}}$ + $\overrightarrow{\text{GC}}$ ) + $\frac{1}{2}$ ($\overrightarrow{\text{GE}}$ + $\overrightarrow{\text{GA}}$) + $\frac{1}{2}$ ($\overrightarrow{\text{GD}}$ + $\overrightarrow{\text{GE}}$)

= $\frac{1}{2}$( $\overrightarrow{\text{GE}}$ + $\overrightarrow{\text{GE}}$ ) + $\frac{1}{2}$( $\overrightarrow{\text{GA}}$ + $\overrightarrow{\text{GB}}$) + $\frac{1}{2}$ ( $\overrightarrow{\text{GC}}$ + $\overrightarrow{\text{GD}}$ )

= $\overrightarrow{\text{GE}}$ + $\overrightarrow{\text{GM}}$ + $\overrightarrow{\text{GP}}$.

( Do M, N lần lượt là trung điểm của AB và CD nên $\frac{1}{2}$( $\overrightarrow{\text{GA}}$ + $\overrightarrow{\text{GB}}$) = $\overrightarrow{\text{GM}}$

và $\frac{1}{2}$ ( $\overrightarrow{\text{GC}}$ + $\overrightarrow{\text{GD}}$ ) = $\overrightarrow{\text{GN}}$ )

Suy ra G cũng là trọng tâm tam giác EMP.

Vậy hai tam giác EMP và NQR có cùng trọng tâm.

Lời giải sách bài tập Toán lớp 10 Bài tập cuối chương 5 Chân trời sáng tạo hay khác:

• Giải SBT Toán 10 trang 101 Tập 1

• Giải SBT Toán 10 trang 102 Tập 1

Xem thêm lời giải Sách bài tập Toán 10 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác:

• SBT Toán 10 Bài 1: Số gần đúng và sai số

• SBT Toán 10 Bài 2: Mô tả và biểu diễn dữ liệu trên các bảng và biểu đồ

• SBT Toán 10 Bài 3: Các số đặc trưng đo xu thế trung tâm của mẫu số liệu

• SBT Toán 10 Bài 4: Các số đặc trưng đo mức độ phân tán của mẫu số liệu

• SBT Toán 10 Bài tập cuối chương 6

Xem thêm các tài liệu học tốt lớp 10 hay khác:

• Giải sgk Toán 10 Chân trời sáng tạo
• Giải Chuyên đề học tập Toán 10 Chân trời sáng tạo
• Giải SBT Toán 10 Chân trời sáng tạo
• Giải lớp 10 Chân trời sáng tạo (các môn học)
• Giải lớp 10 Kết nối tri thức (các môn học)
• Giải lớp 10 Cánh diều (các môn học)

---